bij dit examen
Ga verder op de volgende pagina.
opgave 1Raken aan de x -as
De functie f wordt gegeven door f(x) = x3 − 9x2 + 24x − 16.
De grafiek van f heeft twee toppen.
De rechter top ligt op de x-as.
15p
Extremen en optimaliseren 2p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 2p · De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 1pexact
Bewijs dit.
Verder worden de volgende twee raaklijnen aan de grafiek van f gegeven:
− lijn k met vergelijking y = 9x − 41;
− lijn l met vergelijking 3x + y = 11.
Lijnen k en l snijden elkaar in punt S.
De cirkel c heeft middelpunt S en raakt de x-as.
Zie de figuur.
figuur
25p
Lijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 3p · Cirkels: vergelijking, middelpunt en straal 2pexact
Stel op exacte wijze een vergelijking op van cirkel c.
opgave 2Sloeproeien
Bij een wedstrijd sloeproeien wordt er
foto
geroeid in houten sloepen. Zie de foto.
Bij zo’n wedstrijd kunnen de vorm en de
grootte van de sloepen en het aantal roeiers
per sloep verschillen. Hiermee wordt
rekening gehouden bij het bepalen van de
uitslag van de wedstrijd.
De sloep waarin het gemiddelde geleverde vermogen P per roeier het
grootst is, wint. De waarde van P wordt na afloop van de wedstrijd als
volgt berekend:
− Eerst wordt op basis van de tijd die een sloep nodig had om de
wedstrijdafstand af te leggen de gemiddelde snelheid v van de sloep
berekend.
− Daarna wordt voor de sloep een waarde W berekend die aangeeft hoe
makkelijk of moeilijk de sloep door het water glijdt. De waarde van W
is afhankelijk van de vorm van de sloep en de gemiddelde snelheid
van de sloep. Er geldt:
(formule 1)
Hierin zijn A en B constanten die afhankelijk zijn van de vorm van de
sloep en is v de gemiddelde snelheid van de sloep in m/s.
− Ten slotte wordt het gemiddelde geleverde vermogen P per roeier in
watt berekend:
Hierin is n het aantal roeiers in de sloep, W de waarde die volgt uit
formule 1 en v de gemiddelde snelheid van de sloep in m/s.
Bij een wedstrijd hebben de roeiers in sloep 1 en sloep 2 een afstand van
17,3 km geroeid. Na afloop van de wedstrijd wordt voor beide sloepen de
waarde van P berekend. De sloep met de hoogste waarde wint.
Voor sloep 1 is de waarde van P al berekend. Zie de tabel.
tabel
Sloep 2 heeft de afstand van 17,3 km afgelegd in een tijd van
1 uur, 53 minuten en 58 seconden.
34p
Rekenen met een gegeven formule 4pGR mag
Onderzoek welk van de twee sloepen de wedstrijd heeft gewonnen.
Stel dat een van de acht roeiers in sloep 1 niet mee roeit maar alleen
stuurt en dat voor de overige zeven roeiers het gemiddelde geleverde
vermogen P per roeier 73,1 watt blijft. Volgens de formules zou dan de
gemiddelde snelheid van deze sloep - met nu dus zeven roeiers - lager
zijn dan de 2,62 m/s in de tabel.
43p
Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pGR mag
Bereken de gemiddelde snelheid van sloep 1 in m/s in deze situatie.
Geef je eindantwoord in twee decimalen.
De gemiddelde snelheid v van sloep 1 ligt ook tijdens andere wedstrijden
tussen 2 en 3 m/s. Voor de waarde W van sloep 1 geldt:
(formule 3)
Met formule 3 kan voor sloep 1 beredeneerd worden dat hoe groter de
waarde van v is, hoe groter de waarde van W is.
53p
Stijgen, dalen en veranderingsgedrag 3pexact
Geef deze redenering. Het geven van een getallenvoorbeeld of een
verwijzing naar een grafiek is niet voldoende.
opgave 3Een exponentiële functie
De functie f wordt gegeven door 
.
.Op de grafiek van f ligt punt A met y-coördinaat 4.
De x-coördinaat van A kan geschreven worden in de vorm x =plog(q).
63p
Exponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 3pexact
Bereken exact mogelijke waarden van p en q.
Op de grafiek van f ligt het punt B zodanig dat B de rechterbovenhoek is
van een vierkant waarvan twee zijden samenvallen met de assen.
De oorsprong O(0,0) is de linkeronderhoek van dit vierkant.
Zie de figuur.
figuur
74p
Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p · Rekenen met een gegeven formule 1pGR mag
Bereken de oppervlakte van het vierkant. Geef je eindantwoord in één
decimaal.
De grafiek van f ontstaat door op de standaardgrafiek met formule y = 3x
de volgende twee transformaties toe te passen:
− eerst een horizontale verschuiving 2 naar links;
− dan een vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met -1.
83p
Transformaties van grafieken 2p · Formules herleiden en omwerken 1pexact
Bewijs dat de grafiek van f inderdaad ontstaat door op deze
standaardgrafiek de twee genoemde transformaties toe te passen.
opgave 4Een wortelfunctie
De functie f wordt gegeven door 
.
.De grafiek van f heeft randpunt A en snijdt de y-as in het punt B.
Verder is gegeven het punt C(0; − 10,75). Zie figuur 1.
figuur 1
Er geldt: AC = BC
96p
Eigenschappen van functies en grafieken 3p · Afstanden met coördinaten 2p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pexact
Toon dit op algebraïsche wijze aan.
De grafiek van f snijdt de x-as in het punt D. De lijn l gaat door de punten
C en D en de lijn m raakt de grafiek van f in D. Zie figuur 2.
figuur 2
De hoek tussen l en m is net geen 90°.
108p
Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 2p · Kettingregel 2p · Hoek tussen lijnen 2p · +2exact
Bereken op algebraïsche wijze de scherpe hoek in graden tussen l en m.
Geef je eindantwoord in één decimaal.
opgave 5Zonnepanelen
De hoeveelheid energie die een zonnepaneel ontvangt, is afhankelijk van
de dag in het jaar en de hellingshoek van het paneel.
Gedurende een jaar is door een weerstation elke dag de hoeveelheid
ontvangen energie E (in Wh) gemeten. Bij deze metingen is een zo
passend mogelijk model opgesteld. In figuur 1 is de bijbehorende grafiek
getekend. Hierbij is E uitgezet tegen de tijd t in dagen met t = 0 op
1 januari.
figuur 1
De formule die bij het model hoort heeft een periode van 365 dagen en
ziet er als volgt uit:
E = p ⋅ sin(q ⋅ (t − r)) + s
(formule 1)
115p
Sinusoïden: periode, amplitude en formule 5pGR mag
Bepaal mogelijke waarden van p, q, r en s. Geef de waarde van q in vier
decimalen en de waarden van p, r en s als geheel getal.
Zonnepanelen worden ten opzichte van de
foto
grond onder een bepaalde hellingshoek h
geplaatst. Zie de foto.
Om een verband te vinden tussen deze hellingshoek h en de hoeveelheid
ontvangen energie, heeft een onderzoeker tien dezelfde zonnepanelen
naast elkaar geplaatst, elk onder een verschillende hoek h.
Vervolgens heeft hij gemeten hoeveel energie elk zonnepaneel een jaar
lang ontvangen heeft. Deze hoeveelheid per zonnepaneel heeft hij
vergeleken met de hoeveelheid bij het zonnepaneel met h = 0.
De resultaten van zijn onderzoek zijn weergegeven in figuur 2.
figuur 2
In figuur 2 is af te lezen dat bij een hellingshoek van 30 graden de
zogenaamde ‘tiltfactor’ 1,11 is. Dit betekent dat het zonnepaneel met
h = 30 in een jaar tijd 11 procent meer energie heeft ontvangen dan het
zonnepaneel met h = 0.
Het zonnepaneel met h = 90 heeft de minste energie ontvangen.
123p
Rekenen met een gegeven formule 3pGR mag
Bereken met behulp van figuur 2 hoeveel procent minder energie dit
zonnepaneel heeft ontvangen ten opzichte van de optimale situatie met
h = 30. Geef je eindantwoord in één decimaal.
Het verband tussen de tiltfactor T en de hellingshoek h in graden kan voor
hellingshoeken tussen 0 en 50 graden benaderd worden door een formule
van de vorm:
T = a ⋅ h2 + b ⋅ h + 1
(formule 2)
Hierin zijn a en b constanten.
We nemen aan dat de grafiek die bij formule 2 hoort de top (30; 1,11)
heeft. Op basis van alleen deze top liggen de waarden van a en b in
formule 2 vast. (Verder lezen we dus geen punten af.)
135p
Formules herleiden en omwerken 2p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 2p · Kwadratische functies en parabolen 1pexact
Bereken op algebraïsche wijze deze waarden van a en b.
Geef je eindantwoorden in vier decimalen.
opgave 6Twee driehoeken
Gegeven is driehoek ABC met AB = 6 en BC = 5.
Verder is gegeven driehoek CDE met CD = 2, DE = 3 en CE = 4.
Punt C is het snijpunt van lijnstuk AD en lijnstuk BE. Zie de figuur.
figuur
Zijde AC is de enige zijde waarvan de lengte onbekend is.
147p
Sinusregel en cosinusregel 4p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 3pexact
Bereken op algebraïsche wijze de lengte van deze zijde AC. Geef je
eindantwoord in één decimaal.
opgave 7Punten op een cirkelboog
Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 3p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p · Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 1pexact
Bereken exact de x -coördinaat van A . De grafiek van f valt samen met de bovenste helft van een cirkel met middelpunt M (2,0) en straal 2. In figuur 2 is de grafiek van f nogmaals weergegeven, maar nu met daarop een ander punt, punt B . Bovendien is hierin het gebied onder de grafiek van f én boven lijnstuk OB grijs gemaakt. Verder geldt α = OMB . figuur 2 Voor de oppervlakte S van het grijze gebied geldt: S = 2 α − 2sin( α ) met α in radialen De positie van punt B is zo gekozen dat oppervlakte S de helft is van de oppervlakte van de halve cirkel.
Bij dit examen hoort geen uitwerkbijlage.
15p
25p
34p
43p
53p
63p
74p
83p
96p
108p
115p
123p
135p
147p
155p
165p
