opgave 1Een parabool
De functie f wordt gegeven door f(x) = 2x2 + 3x − 4. De lijn l met
vergelijking y = 2x −1 snijdt de grafiek van f in de punten A en B.
Zie figuur 1.
figuur 1
33pTransformaties van grafieken 2p · Rekenen met een gegeven formule 1pexact
Onderzoek op exacte wijze of het punt
op de grafiek van
g ligt.
Op de grafiek van f liggen twee punten C en D met dezelfde y-coördinaat.
De afstand tussen
C en
D is
. Zie figuur 2.
figuur 2
Het punt T is de top van de grafiek van f.
opgave 2Watertemperatuur
De temperatuur van het zeewater vlak bij het strand ‘Playa de San Juan’
bij het Spaanse Alicante varieert door het jaar heen. Zie de figuur.
Om deze figuur te kunnen maken, is ruim twintig jaar1) lang op dezelfde
plek dagelijks de watertemperatuur gemeten. Daarna is van elke dag in
het jaar de gemiddelde watertemperatuur berekend. Dit geeft 365 punten
in een assenstelsel. Door deze punten kan bij benadering een sinusoïde
worden getekend. Deze sinusoïde staat in de figuur.
figuur
Bij de sinusoïde past een formule van de volgende vorm:
Hierin is W de watertemperatuur in °C en t het dagnummer, met t = 0 op
1 januari.
De minimale watertemperatuur is 14°C en deze wordt op 13 februari
bereikt (t = 43). De maximale watertemperatuur is 26°C en deze wordt op
15 augustus (t = 226) bereikt.
54pSinusoïden: periode, amplitude en formule 4pGR mag
Bereken mogelijke waarden van a, b, c en d. Geef a, c en d als gehele
getallen en b in vijf decimalen.
noot 1 We gaan er in deze opgave van uit dat elk jaar 365 dagen heeft.
Iemand beschrijft de temperatuur van het zeewater in het Nederlandse
Bergen aan Zee met de volgende formule:
Z = 12 + 6sin(0,0172(t − 150))
Hierin is Z de watertemperatuur in °C en t het dagnummer, met t = 0 op
1 januari.
Bij het zwemonderdeel van een triatlon zijn deelnemers verplicht een
wetsuit te dragen als de watertemperatuur lager dan 16°C is.
Stel dat in Bergen aan Zee een triatlon wordt georganiseerd. Je kunt dan
berekenen wat volgens de formule de eerste dag van het jaar is waarop
deelnemers aan deze triatlon bij het zwemonderdeel géén wetsuit meer
hoeven te dragen.
opgave 3Drie punten op een grafiek
De functie f wordt gegeven door:
De grafiek van f heeft een horizontale asymptoot met vergelijking y = 0.
Dit kun je beredeneren met behulp van het functievoorschrift van f.
72pEigenschappen van functies en grafieken 2pexact
Geef deze beredenering. Het geven van een getallenvoorbeeld of een
verwijzing naar een grafiek is niet voldoende.
Het punt P ligt op de grafiek van f. De y-coördinaat van P is 2.
Zie figuur 1.
figuur 1
opgave 4Een cirkel met rakende en snijdende lijnen
De cirkel c heeft vergelijking (x − 4)2 + (y − 4)2 = 16.
De lijn j is de verticale lijn door het middelpunt van c.
De lijn
k heeft vergelijking
.
Het punt S is het snijpunt van lijn k en lijn j.
De lijn l heeft vergelijking y = 8.
De lijn m gaat door O en S en snijdt lijn l in het punt Q.
Zie figuur 1.
figuur 1
De x-coördinaat van Q is 6.
115pLijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 5pexact
Bewijs dat de x-coördinaat van Q inderdaad gelijk is aan 6.
Het punt P(12,0) is het snijpunt van k met de x-as.
De lijn n is de lijn door P en Q.
Zie figuur 2.
figuur 2
opgave 5De veldleeuwerik
Het aantal veldleeuweriken in Nederland
wordt jaarlijks bijgehouden. In de figuur is
voor elk jaar in de periode 1990-2014 met
een stip het percentage veldleeuweriken
aangeven als percentage van het aantal
in 1990.
Bij 1990 is dus een stip op hoogte 100
getekend. In deze figuur is bijvoorbeeld af
te lezen dat in 2005 het aantal
veldleeuweriken 40% van het aantal
veldleeuweriken in 1990 bedroeg.
figuur
Het verloop van het percentage veldleeuweriken kan met een
exponentieel verband worden benaderd. In de figuur is de grafiek bij dit
exponentiële verband getekend. Hierbij wordt uitgegaan van een jaarlijkse
afname van het percentage veldleeuweriken met 5%.
Een vogelbeschermer beweert dat volgens dit model in het jaar 2040
minder dan 4% over zal zijn van het aantal veldleeuweriken in 1990.
133pExponentiële functies en groei 3pGR mag
Onderzoek of de uitspraak van de vogelbeschermer juist is.
De metingen voor de periode 1990-2014 kunnen ook worden benaderd
met een kwadratisch verband waarvan de grafiek door het punt (0,100)
gaat. Een formule bij dit verband is dus van de vorm P = at2 + bt +100.
Hierin is P het percentage veldleeuweriken ten opzichte van 1990 en t het
aantal jaren na 1990.
Andere punten op de grafiek van dit kwadratisch verband zijn
(10;58,66) en (20;36,52). Je kunt hieruit afleiden dat a = 0,10 en
b = −5,09. Deze twee waarden zijn afgerond, en kunnen nauwkeuriger
worden berekend.
opgave 6Dezelfde y -coördinaat
De functie f wordt gegeven door f(x) = 8 − 23x2−6x.
Het punt S is het snijpunt van de grafiek van f met de y-as.
Het punt A is een ander punt op de grafiek van f en heeft dezelfde
y-coördinaat als S. Zie de figuur.
figuur
opgave 8Waterleiding
Een waterleiding is van een
bepaald materiaal gemaakt. De
sterkte van dit materiaal, de
materiaalsterkte, neemt door de
druk van het water in de
waterleiding in de loop van de tijd
af. Bij het ontwerp van een
waterleiding rekent men daarom
met de materiaalsterkte die een
leiding na 50 jaar gebruik nog
heeft. Deze materiaalsterkte wordt
aangegeven met S50.
Voor de materiaalsterkte van een bepaalde kunststof waterleiding geldt de
volgende formule:
St =0,427 log(t) + 12,9 met t ≥ 1
Hierin is:
− t het aantal jaar dat de leiding in gebruik is;
− St de materiaalsterkte na t jaar gebruik in N/mm2.
De eerste onderhoudsinspectie vindt plaats zodra de materiaalsterkte is
afgenomen tot een waarde die 20% hoger ligt dan S50.
174pExponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 2p · Rekenen met een gegeven formule 1p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pexact
Bereken algebraïsch na hoeveel jaar gebruik de eerste
onderhoudsinspectie plaatsvindt. Geef je eindantwoord in één decimaal.
De wand van een waterleiding moet dik genoeg zijn om tegen de
maximale waterdruk in de waterleiding bestand te zijn.
In de figuur is een dwarsdoorsnede van een cilindervormige waterleiding
weergegeven, waarin aangegeven is wat met buitendiameter,
binnendiameter en wanddikte bedoeld wordt.
figuur
De minimale wanddikte van een bepaalde cilindervormige waterleiding
kan berekend worden met de volgende formule:
Hierin is:
− w de minimale wanddikte in mm;
− D de buitendiameter in mm;
− P de maximale waterdruk in N/mm2.
Voor deze waterleiding gelden bij een nieuwbouwproject de volgende
ontwerpeisen:
− De maximale waterdruk is 1,75 N/mm2.
− De binnendiameter is 312,9 mm.
ligt op de grafiek van 
en 
. Zie de figuur.
in graden. Geef je eindantwoord als een geheel getal.
