bronnen

Eindexamen wiskunde B havo 2026, tijdvak 1

opgave 1Hoeken

De cirkel c met middelpunt M is gegeven door de vergelijking:
x2 + y2 −10x − 6y =135
De lijn k heeft vergelijking y = −2x.
De lijn l is de lijn door de punten O en M. Zie figuur 1.
figuur 1
figuur 1
14p

Lijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 3p · Cirkels: vergelijking, middelpunt en straal 1pexact

Onderzoek op exacte wijze of k en l elkaar loodrecht snijden.
Lijn k snijdt het deel van de cirkel boven de x-as in het punt P. Het punt
Q(0,15) is het snijpunt van c met de positieve y-as. Zie figuur 2.
figuur 2
figuur 2
In figuur 2 is de hoek aangegeven die de lijn door P en Q met de x-as
maakt.
27p

Lijn en cirkel: snijpunten en raaklijnen 3p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 2p · Lijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 1p · +1exact

Bereken algebraïsch deze hoek in graden. Geef je eindantwoord als
geheel getal.

opgave 2Exponentiële functies

De functie f wordt gegeven door f(x) = 23−x2 en de functie g wordt
gegeven door g(x) = ((1)/(2))^2^ −^x^2.
De grafieken van f en g hebben twee snijpunten. Beide snijpunten hebben
dezelfde y-coördinaat.
34p

Exponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 3p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pexact

Bereken exact deze y-coördinaat. Schrijf je antwoord in de vorm √(a) met
a een geheel getal.
De functie h wordt gegeven door h(x) = f(x) + g(x).
De grafiek van h heeft drie toppen, waaronder het punt T op de y-as. Zie
de figuur.
figuur
figuur
Op de grafiek van h liggen links van de y-as twee punten waarin de
raaklijn helling 2 heeft; het punt dat het dichtst bij de y-as ligt, is het
punt A. De hoogte van A is kleiner dan de hoogte van T.
45p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Eigenschappen van functies en grafieken 1p · Helling en snelheid met de afgeleide 1p · +1GR mag

Bereken het verschil tussen deze hoogtes. Geef je eindantwoord in drie
decimalen.

opgave 3Hyperbool

De functie f wordt gegeven door f (x) = (3)/(x) + 2. De grafiek van f is een
hyperbool. Op deze hyperbool ligt het punt P(2,3(1)/(2)). De lijn k raakt de
hyperbool in P. Zie figuur 1.
figuur 1
Een vergelijking van k is y 3 x5. 4
54p

De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 2p · Raaklijnen aan grafieken 2pexact

Bewijs dit.
De lijn l met vergelijking y = − (3)/(4)x − 1 raakt de hyperbool in het punt
Q(− 2,(1)/(2)). Lijn l snijdt de y-as in het punt A. Zie figuur 2.
In deze figuur is ook de horizontale asymptoot van de hyperbool
gestippeld weergegeven. Lijn k snijdt deze asymptoot in het punt B.
figuur 2
figuur 2
Het lijkt of de lijnstukken AB en PQ even lang zijn.
65p

Afstanden met coördinaten 2p · Lijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 2p · Eigenschappen van functies en grafieken 1pexact

Onderzoek op exacte wijze of AB en PQ even lang zijn.
De functie g ontstaat uit de functie f door een logaritme van f te nemen:
g(x) =2 log (3)/(x) + 2
De grafiek van g snijdt de x-as in het punt C.
De y-as is een verticale asymptoot van de grafiek van g. Links van de y-as
is er nog een verticale asymptoot. Deze asymptoot snijdt de x-as in het
punt D. Zie figuur 3.
figuur 3
figuur 3
74p

Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 2p · Exponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 1p · Eigenschappen van functies en grafieken 1pexact

Bereken exact de lengte van het lijnstuk CD.
De functie h wordt gegeven door h(x) =^2log(2x) −^2log(x − 1(1)/(2)). In figuur 4
is de grafiek van h weergegeven. Het deel van de grafiek van g dat rechts
van de y-as ligt, is ook weergegeven.
figuur 4
figuur 4
Bewering: als de grafiek van h 1(1)/(2) naar links wordt verschoven, dan valt
de verschoven grafiek samen met het rechterdeel van de grafiek van g.
83p

Formules herleiden en omwerken 2p · Transformaties van grafieken 1pexact

Onderzoek op exacte wijze of deze bewering juist is.

opgave 4Temperatuur in de grond

Gedurende de dag verandert de temperatuur van de buitenlucht. Meestal
is het in de nacht kouder dan overdag en is het in de middag het warmst.
De temperatuur van de grond op verschillende diepten zal zich aanpassen
aan de temperatuur van de buitenlucht. Die aanpassing loopt in de tijd wat
achter ten opzichte van de temperatuur van de buitenlucht.
We kijken eerst naar gemeten temperaturen op verschillende diepten in
veengrond. We doen dat voor een bepaalde periode van twee dagen.
Op basis van de meetresultaten op de grond (0 cm diep) en op twee
verschillende diepten (5 cm diep en 10 cm diep) zijn in een model drie
sinusoïden getekend. Zie de figuur.
Hierbij is T de temperatuur in graden Celsius en t het aantal uren na het
begin van de twee dagen, met t = 0 om 0.00 uur.
De figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage.
figuur
figuur
In deze figuur is bijvoorbeeld af te lezen dat de temperatuur op de grond
in de loop van de middag maximaal is. De maximale temperaturen op een
diepte van 5 cm en 10 cm worden op een later tijdstip bereikt.
Bij elke grafiek hoort een formule van de vorm T = a + b ⋅ sin(c(t − d)).
94puitwerkbijlage

Sinusoïden: periode, amplitude en formule 4pGR mag

Bepaal de waarden van a, b, c en d voor de grafiek op de grond. Geef a, b
en d als geheel getal en geef c in één decimaal. Gebruik de figuur op de
uitwerkbijlage.
Naarmate je dieper in de grond meet, worden de verschillen tussen de
maximale en minimale temperatuur kleiner. Dit is in de figuur aan de
amplitudes van de grafieken te zien. In het model neemt de amplitude van
de grafiek exponentieel af met de diepte.
De amplitude van de grafiek van 5 cm diepte is 5,5. De amplitude van de
grafiek van 10 cm diepte is 2,3. Met behulp van deze amplitudes kan de
groeifactor van de amplitude per 5 cm diepte worden berekend. Hieruit
volgt de procentuele afname per 1 cm diepte.
103p

Exponentiële functies en groei 3pexact

Bereken algebraïsch deze procentuele afname van de amplitude per 1 cm
diepte. Geef je eindantwoord in gehele procenten.
Tijdens een periode van vorst bevriest de grond. Om te weten hoe diep de
vorst in de grond zit, wordt dagelijks de vorstindex bepaald. Hiervoor
worden de gemiddelde dagtemperaturen (in °C) vanaf het begin van de
vorstperiode opgeteld. De vorstindex I is het tegengestelde van de
uIit = k − om(sosmtvvaannddeezgeemoipdtdeelllidnegd.aEgrtegmepldertadtuurse:nvanafhetbeginvandevorstperiode)
Voor drie opeenvolgende dagen op een bepaalde plaats staat hieronder
een voorbeeld van de berekening van de vorstindex I, waarbij het op
dag 1 begint te vriezen.
voorbeeld
dagnummer gemiddelde dagtemperatuur som van de gemiddelde dagtemperaturen vanaf het begin van de vorstperiode vorstindex I 1 − 4,5 ° C − 4,5 4,5 2 − 7,5 ° C − 4,5 + − 7,5 = − 12 12 3 2 ° C − 4,5 + − 7,5 + 2 = − 10 10
Op een plaats met lichte kleigrond willen we bepalen tot hoe diep de vorst
in de grond zit. Deze diepte wordt in een vereenvoudigd wiskundig model
benaderd met de formule:
z = 4√(I), met z de diepte in cm en I de vorstindex
Op deze plaats geldt na een aantal dagen flinke vorst dat de vorst tot
20 cm in de grond zit.
De weersvoorspelling is dat op de dagen die volgen, de gemiddelde
dagtemperatuur elke dag 6 graden Celsius boven 0 is.
Met die weersvoorspelling is te berekenen na hoeveel dagen de vorst op
deze plaats voor het eerst helemaal uit de grond is verdwenen.
114p

Formules en vergelijkingen opstellen 2p · Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 1p · Rekenen met een gegeven formule 1pGR mag

Bereken met behulp van de formule voor z na hoeveel hele dagen de
vorst voor het eerst helemaal uit de grond is verdwenen.

opgave 5Een wortelfunctie benaderen

De functie f wordt gegeven door f(x) = 1 + 2√(4 − x).
De functie g wordt gegeven door g(x) = a ⋅ x3 + b ⋅ x2 + c ⋅ x + d. Hierin zijn
a, b, c en d constanten.
In de figuur is de grafiek van f weergegeven.
Ook is voor een keuze van de waarden van a, b, c en d de grafiek van g
gestippeld weergegeven.
In de buurt van x = 0 benadert de grafiek van g de grafiek van f.
figuur
figuur
Voor de weergegeven grafieken geldt: f(0) = g(0) en f'(0) = g'(0).
Uit f(0) = g(0) volgt d = 5.
De waarde van c volgt uit f'(0) = g'(0).
Er geldt: c = − (1)/(2).
124p

Kettingregel 2p · De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 1p · Helling en snelheid met de afgeleide 1pexact

Bewijs dat c = − (1)/(2).
Voor de grafiek van g in de figuur geldt verder: a = − (1)/(256) en b = − (1)/(32).
Daarmee wordt de functie g gegeven door g(x) = − (1)/(256)x^3 − (1)/(32)x^2 − (1)/(2)x + 5.
De grafiek van f ligt nergens boven de grafiek van g.
Hoe verder x van 0 afwijkt, des te groter is de verticale afstand tussen de
twee grafieken.
133p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pGR mag

Bereken voor welke twee waarden van x de verticale afstand gelijk is aan
0,05. Geef je eindantwoorden in twee decimalen.

opgave 6Gelijkvormige driehoeken

Gegeven zijn de gelijkvormige driehoeken ABS en CDS . De zijden AB en CD zijn evenwijdig. Het punt S is het snijpunt van de lijnstukken AC en BD . Het punt E ligt op het lijnstuk AB en het punt F ligt op het lijnstuk AS zodanig dat het lijnstuk EF evenwijdig is met het lijnstuk BS . Verder geldt…

Gegeven zijn de gelijkvormige driehoeken ABS en CDS . De zijden AB en CD zijn evenwijdig. Het punt S is het snijpunt van de lijnstukken AC en BD . Het punt E ligt op het lijnstuk AB en het punt F ligt op het lijnstuk AS zodanig dat het lijnstuk EF evenwijdig is met het lijnstuk BS . Verder geldt dat BS = 11 , DS = 4 , CD = 5 , EB = 2 en CSD = 60 o . Zie de figuur. figuur

opgave 7Komeetbanen

Kometen zijn relatief kleine hemellichamen die vaak in een baan om een
ster draaien. In deze opgave bekijken we komeetbanen rondom onze zon.
Zo’n baan heeft twee symmetrieassen, een lange en een korte as, die
loodrecht op elkaar staan. Het snijpunt van deze assen is het midden van
de baan. De zon Z bevindt zich op de lange as, maar niet in het midden.
De afstand van de komeet tot het middelpunt van de zon varieert. Als de
komeet zich op de lange as bevindt, worden de grootste afstand g en de
kleinste afstand k bereikt.
In figuur 1 zijn twee voorbeelden van een komeetbaan met zijn
symmetrieassen getekend.
figuur 1
figuur 1
Komeetbanen hebben verschillende vormen. De vorm hangt samen met g
en k. Hoe kleiner het verschil tussen g en k, hoe meer de baan op een
cirkel gaat lijken. Een maat voor de vorm van de baan is de
excentriciteit.
De excentriciteit e wordt berekend met de formule:
e = (g − k)/(g + k)
Voor twee komeetbanen met een verschillende waarde voor g en ook voor
k geldt dat afstand g vier keer zo groot is als afstand k.
153p

Formules herleiden en omwerken 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pexact

Onderzoek op exacte wijze of beide banen dezelfde excentriciteit hebben.
Bij dit onderzoek is het gebruik van getallenvoorbeelden onvoldoende.
Kometen worden aangeduid met een nummer gevolgd door een letter.
In figuur 2 is de baan van komeet 53P weergegeven. Figuur 2 is vergroot
weergegeven op de uitwerkbijlage.
figuur 2
figuur 2
Voor deze baan geldt:
− de lengte van de lange as op de uitwerkbijlage is gelijk aan 10 cm;
− de excentriciteit is 0,553.
Met een stelsel van vergelijkingen kan de plaats van de zon op de lange
as in de tekening worden bepaald. Ga ervan uit dat de zon zich rechts van
het midden bevindt.
165puitwerkbijlage

Formules en vergelijkingen opstellen 2p · Stelsels van lineaire vergelijkingen 2p · Tekenen en construeren in een figuur 1pGR mag

Bereken de waarde van g (of k) in één decimaal en teken vervolgens de
plaats van de zon op de uitwerkbijlage.
Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.
De omlooptijd T is de tijd die een komeet er over doet om één keer om de
zon te draaien. De lengte van de halve lange as van de baan is a.
In figuur 3 is voor de kometen 53P, 54P, 56P en 57P a3 uitgezet tegen
T2. De omlooptijd T is in jaren en de lengte a in miljarden kilometer.
Tussen a en T bestaat een verband: er geldt dat a3 recht evenredig is
met T2. In figuur 3 is door middel van een lijn het recht evenredige
verband weergegeven.
Figuur 3 staat vergroot op de uitwerkbijlage.
figuur 3
figuur 3
De komeet 55P draait in 33,2226 jaar om de zon. Het bijbehorende punt
ligt buiten figuur 3.
175puitwerkbijlage

Evenredigheden en machtsverbanden 3p · Rekenen met een gegeven formule 1p · Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 1pGR mag

Bereken de lengte a van de halve as van de baan van komeet 55P. Voor
het bepalen van de evenredigheidsconstante kun je de figuur op de
uitwerkbijlage gebruiken. Geef je eindantwoord in miljarden kilometer in
twee decimalen.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.