Eindexamen wiskunde B vwo 2001 tijdvak 1 (wiskunde B1)

bij dit examen

Oppervlakte

figuur 1

6 is de functie f(x) = – x + 2 y 11 A O 11 x C B

O aan de grafiek van f verdeelt rechthoek OABC in twee delen.

19p

Bereken exact de verhouding van de oppervlaktes van deze twee delen.

figuur 2

De grafiek van f verdeelt de rechthoek in twee delen met gelijke oppervlakte.

28p

Bereken b in twee decimalen nauwkeurig.

Water met koolzuur

Hieronder staat een samenvatting van een krantenartikel afkomstig uit

NRC-Handelsblad van 23 oktober 1997.

^a^r^t^i^k^e^l D^ED^NeH^AC^Ao^Gn,s2u3m^Oe^Kn^T.tenbond ver-

Water met hwoarteecraggeelseegrevneheerddenalsheutzietlfddee

opgave 1richtte panel van een 23 smaaktest geoefende met proe- een koolzuur

vers. De proevers dronken het

hetwaterdooreenpompjevan

kraanwatervannegenwaterlei-

koolzuur voorzien.

dingbedrijven en negen ge-

In een reactie op de conclu-

bottelde koolzuurvrije waters.

bestelt, krijgt vaak een glas sies zegt directeur J.H. Peters

Opmerkelijk was dat het lek- leidingwater vermengd met van het Bedrijfschap Horeca

kerste flessenwater werd ver- koolzuur. Dat concludeert de dat de gesuggereerde omvang

slagen door zes kraanwaters.

Consumentenbond in zijn gids van het verschijnsel ”schrome-

Tegelijkertijd met dit onder- van november. Onderzoekers lijk overdreven” is.

zoek werd een onderzoek onder kregenbij11 vande31 bezochte

In het artikel wordt het opmerkelijk genoemd dat het lekkerste flessenwater

werd verslagen door zes kraanwaters. Stel dat de 18 geproefde waters in een

willekeurige volgorde worden geplaatst. Je kunt je nu afvragen hoe groot de kans

is dat op de zevende plaats voor het eerst een flessenwater voorkomt.

35p

Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat op de zevende plaats voor het

eerst een flessenwater voorkomt.

In een reactie op het onderzoek beweert de heer Peters dat de omvang van het

verschijnsel schromelijk overdreven is.

Een café dat kraanwater-met-koolzuur serveert als mineraalwater noemen we

een ’knoeier’. Misschien heeft Peters wel gelijk en schetst het artikel een te

somber beeld. Veronderstel dat in werkelijkheid 20% van de cafés tot de

’knoeiers’ behoort.

44p

Bereken in vier decimalen de kans dat in een aselecte steekproef van 31 cafés

minstens 11 ’knoeiers’ voorkomen.

Het werkelijke percentage ’knoeiers’ is onbekend.

De kans dat je in een café kraanwater-met-koolzuur krijgt wanneer je om

mineraalwater vraagt noemen we p.

55p

Onderzoek bij welke waarden van p de kans op minstens 11 ’knoeiers’ in een

steekproef van 31 cafés kleiner is dan 5%. Geef je antwoord in twee decimalen

nauwkeurig.

opgave 2Laagste kosten

Een chauffeur moet met een vrachtwagen een traject van 100 km lengte rijden. Zijn firma wil weten bij welke snelheid de totale vervoerkosten het laagst zijn. Een vrachtwagen verbruikt bij een snelheid van 60 kilometer per uur voor elke kilometer ½ –/2 liter brandstof. Bij toename van de snelheid neemt het verbruik exponentieel toe: bij elke toename van de snelheid met 10 kilometer per uur stijgt het verbruik per kilometer met 10%. Het arbeidsloon van de chauffeur is ƒ 90,– per uur. De brandstofkosten zijn ƒ 3,– per liter. De totale vervoerkosten bestaan uit brandstofkosten en het arbeidsloon van de chauffeur.

Toon aan dat de totale vervoerkosten over het traject bij een snelheid van 80 kilometer per uur ƒ 294,– bedragen.

opgave 3Geneesmiddelenonderzoek

Deze opgave gaat over een voorbeeld uit de farmacokinetiek, de wetenschap die onder andere het verloop bestudeert van de concentratie van een geneesmiddel in het bloed. In een praktijktest wordt op geregelde tijden met tussenpozen ∆ t de concentratie van een geneesmiddel bij een persoon gemeten. Op de tijdstippen t 0 , t 1 , t 2 , …, t n is de gemeten concentratie c 0 , c 1 , c 2 , …, c n . In figuur 3 zijn de punten C k ( t k , c k ) weergegeven. Deze punten liggen op de kromme die het verloop weergeeft van de concentratie van dit geneesmiddel. Een maat voor de werkzaamheid van een geneesmiddel is de oppervlakte onder deze kromme. In de farmacokinetiek noemt men dit de AUC (Area Under Curve) . figuur 3

In figuur 4 is aangegeven hoe de oppervlakte onder de kromme benaderd kan worden.Twee opeenvolgende meetpunten bepalen een trapezium. Het trapezium tussen t k en t k + 1 is grijs aangegeven. De som van de oppervlakten van alle trapezia is een benadering van de AUC. figuur 4 De vraag rijst natuurlijk ”Hoe nauwkeurig is deze methode?”. Dit gaan we in deze opgave voor een speciaal geval onderzoeken.

Toon aan dat de oppervlakte van het grijsgemaakte trapezium gelijk is aan 1/– ( c k + c k + 1) ⋅∆ t 2

( Bewijs dat de AUC tussen t 0 en t n benaderd wordt door / – 1 ( c 0 + c n ) + Σ c p / ⋅∆ t 2 Om de nauwkeurigheid van deze manier van benaderen aan de hand van een voorbeeld te testen, nemen we aan dat het dalende gedeelte van de kromme gegeven wordt door c = 32 ⋅ e – –/2 1 t + –/2 1 met c in mg/liter en t in uren, 1 ≤ t ≤ 5.

Bewijs met behulp van integraalrekening dat de AUC voor 1 ≤ t ≤ 5 gelijk is aan 64 – 64/—. e 2 Neem aan dat de concentratie om het half uur gemeten wordt en dat de

meetpunten inderdaad op de grafiek van c liggen. Bereken hoeveel procent de benadering van de AUC voor 1 ≤ t ≤ 5, bepaald met behulp van de formule van vraag 9, afwijkt van de werkelijke oppervlakte. Geef het antwoord in twee decimalen nauwkeurig. De hoeveelheid werkzame stof per tablet van het geneesmiddel mag niet te hoog zijn omdat er dan schadelijke bijwerkingen optreden. Maar ze mag ook niet te laag zijn omdat het middel dan onvoldoende effect heeft. De hoeveelheid werkzame stof in een tablet is normaal verdeeld met een gemiddelde van 100 mg en een standaardafwijking van 3 mg. Het medicijn is effectief en niet schadelijk als de hoeveelheid werkzame stof per tablet tussen de 90 mg en 110 mg ligt.