opgave 1Lichaamsoppervlak
De buitenkant van je lichaam is je lichaamsoppervlak. Gegevens over
iemands lichaamsoppervlak worden bijvoorbeeld gebruikt voor risico-
analyse bij bestrijdingsmiddelen. De schadelijke stoffen hierin kunnen via
de huid in het lichaam worden opgenomen. In een rapport van het RIVM
(Rijksinstituut voor Volksgezondheid en Milieu) is een tabel te vinden
waarin onder andere de lichaamsoppervlakte is af te lezen. Een gedeelte
van deze tabel is hieronder weergegeven.
tabel
Bij jonge kinderen is het hoofd ten opzichte van de rest van het lichaam
relatief groot. Als kinderen ouder worden, groeien de armen en handen en
de benen en voeten sneller dan de rest van het lichaam.
Het aandeel van armen en handen in de lichaamsoppervlakte is voor
kinderen in de periode van 1,5 jaar tot 17,5 jaar gestegen van 18,15%
naar 21,0%. Ook het aandeel van de benen en voeten is in die 16 jaar
groter geworden.
13pOnderzoek of de relatieve toename van het aandeel van armen en
handen groter is dan de relatieve toename van het aandeel van benen en
voeten.
In het RIVM-rapport vinden we ook gegevens over de lichaamsgewichten
van kinderen. Als kinderen ouder worden, neemt het gemiddelde
lichaamsgewicht toe. Ook de standaardafwijking van het lichaamsgewicht
neemt toe.
Het gemiddelde lichaamsgewicht van kinderen van 12,5 jaar is 44,8 kg.
De 25% lichtste kinderen van 12,5 jaar hebben een lichaamsgewicht van
hoogstens 39,3 kg.
In de rest van deze opgave nemen we aan dat voor iedere leeftijdsgroep
het lichaamsgewicht normaal verdeeld is.
24pBereken de standaardafwijking van het lichaamsgewicht op 12,5-jarige
leeftijd in één decimaal nauwkeurig.
Er zijn ook formules waarmee we de lichaamsoppervlakte kunnen
berekenen. Voor volwassen vrouwen is de volgende formule de meest
gebruikte formule:
SDubois = 0,007184 ⋅ L0,725 ⋅ M0,425
In deze formule, die ook wel de formule van Dubois wordt genoemd, is
SDubois de lichaamsoppervlakte in m2, L de lichaamslengte in cm en M het
lichaamsgewicht in kg.
Bij een volwassen vrouw met een lengte van 1,75 m hoort dan de formule
SDubois = 0,303787 ⋅ M0,425
33pBereken door middel van differentiëren van deze laatste formule de
waarde van de afgeleide voor M = 66 kg en leg uit wat de betekenis is van
die waarde.
Voor het berekenen van de lichaamsoppervlakte bij kinderen worden
vooral de volgende twee formules gebruikt:
(formule van Mosteller)
SHaycock = 0,024265 ⋅ L0,3964 ⋅ M0,5378 (formule van Haycock)
Ook in deze formules is S de lichaamsoppervlakte in m2, L de
lichaamslengte in cm en M het lichaamsgewicht in kg.
Om de formules beter met elkaar te kunnen vergelijken is het handig om
de formule van Mosteller in dezelfde vorm te schrijven als de formule van
Haycock.
43pSchrijf de formule van Mosteller in de vorm S = c ⋅ La ⋅ Mb en licht toe hoe
je je antwoord gevonden hebt.
opgave 2Beleggen in aandelen
De waarde van aandelen kan sterk schommelen. Zo kan een aandeel op
dit moment 23,30 euro waard zijn en over een maand gezakt zijn tot
21,10 euro, dat is een daling met ongeveer 9,44%. We zeggen dat het
eenmaandsrendement over die maand gelijk is aan –9,44%.
Aan het begin van 2005 was een aandeel van de firma LUXA 22,25 euro
waard. Een jaar later was de waarde gestegen tot 29,71 euro.
Veronderstel dat in 2005 het eenmaandsrendement van dit aandeel elke
maand even groot was.
54pLaat met een berekening zien dat het eenmaandsrendement dan
ongeveer 2,44% zou zijn geweest.
In de financiële wiskunde berekent men het gemiddelde rendement door
gewoon het (rekenkundige) gemiddelde te berekenen.
In de praktijk kunnen de eenmaandsrendementen van een aandeel veel
van elkaar verschillen. De waarden van rendementen schommelen rond
het gemiddelde. De standaardafwijking speelt ook een grote rol: een hoge
waarde van de standaardafwijking betekent dat met dat aandeel grote
verliezen of winsten gemaakt worden.
In tabel 1 zie je de eenmaandsrendementen van het aandeel LUXA over
2005, steeds afgerond op twee decimalen.
tabel 1
63pBereken van de rendementen uit tabel 1 het gemiddelde en de
standaardafwijking. Rond je antwoorden af op twee decimalen.
Men gebruikt de waarden van een aandeel uit het verleden om een idee
te krijgen van het verwachte eenmaandsrendement in de toekomst.
Daarover gaat de rest van deze opgave.
We gaan uit van twee aandelen A en B met de volgende gemiddelde
eenmaandsrendementen.
tabel 2
Iemand stelt een beleggingsportefeuille samen van 2000 euro. Hij belegt
dat bedrag als volgt: 820 euro in aandeel A en 1180 euro in aandeel B.
73pBereken het verwachte eenmaandsrendement (in procenten) voor deze
portefeuille. Rond je antwoord af op twee decimalen.
Door het bedrag van 2000 euro anders te verdelen tussen de beide
aandelen A en B krijg je een ander verwacht eenmaandsrendement van
de portefeuille. Onze belegger wil zijn portefeuille zo samenstellen dat de
standaardafwijking van het verwachte eenmaandsrendement van de
portefeuille zo klein mogelijk is.
Om dat te kunnen onderzoeken moeten we ook weten wat de
standaardafwijking is van de gemiddelde eenmaandsrendementen van elk
van beide aandelen. Die staan in tabel 3, samen met de gemiddelde
eenmaandsrendementen, vermeld.
tabel 3
Verder nemen we aan dat de eenmaandsrendementen van beide
aandelen onafhankelijk zijn.
Onze belegger wil van zijn geld een deel α (met 0 ≤ α ≤ 1) investeren in
aandeel A en de rest, dus 1 − α, in aandeel B. In dat geval geldt voor het
verwachte eenmaandsrendement μA+B van zijn portefeuille de volgende
formule:
μA+B = α ⋅ μA + (1 − α) ⋅ μB
Met de gegevens uit tabel 3 is deze formule te herleiden tot:
μA+B = α ⋅1,6 + (1 − α) ⋅1,1 = 1,1 + 0,5α
Voor de standaardafwijking van het verwachte eenmaandsrendement van
de portefeuille geldt de algemene formule:
84pLaat met behulp van de gegevens uit tabel 3 en bovenstaande algemene
formule zien dat de standaardafwijking van het verwachte
eenmaandsrendement van de portefeuille kan worden herleid tot
.
Voor een portefeuille met twee aandelen zouden we door middel van
differentiëren kunnen berekenen bij welke verdeling de standaardafwijking
zo klein mogelijk is. Bij een portefeuille met drie aandelen kan dat niet.
Daarvan geven we hier een voorbeeld. We voegen aan de aandelen A en
B nog een aandeel C toe. We veronderstellen weer dat hun
eenmaandsrendementen onderling onafhankelijk zijn.
Van A, B en C weten we verder nog het volgende:
tabel 4
De portefeuille bestaat voor een deel α uit aandelen A, voor een deel β uit
aandelen B en voor de rest uit aandelen C. Daarbij geldt 0 ≤ α ≤ 1 en
0 ≤ β ≤ 1 en 0 ≤ α + β ≤ 1.
In de tabel op de uitwerkbijlage staat voor een groot aantal combinaties
van α en β de bijbehorende standaardafwijking van het verwachte
eenmaandsrendement van de portefeuille met aandelen A, B en C. Je
kunt bijvoorbeeld aflezen dat een verwacht eenmaandsrendement van
een portefeuille met 20% aandelen A, 70% aandelen B en dus 10%
aandelen C een standaardafwijking van 4,16% heeft.
Het verwachte eenmaandsrendement en de bijbehorende
standaardafwijking van de portefeuille hangen af van de samenstelling
van de portefeuille. Men wil de beleggingsportefeuille zo samenstellen dat
de standaardafwijking zo klein mogelijk is. Daarbij beperkt men zich tot de
combinaties die in de tabel op de uitwerkbijlage vermeld zijn.
94puitwerkbijlageBereken, met behulp van de tabel op de uitwerkbijlage, het verwachte
eenmaandsrendement bij deze beleggingsportefeuille. Rond je antwoord
af op twee decimalen.
opgave 3Dialecten vergelijken
Taalkundigen doen veel onderzoek naar de dialecten in Nederland en
Vlaanderen.
Onderzoeker M. Spruit onderzocht in 2008 in hoeverre dialecten op elkaar
lijken. De mate waarin twee dialecten verschillen, wilde hij uitdrukken in
een getal. Daarom vergeleek hij steeds twee dialecten op een aantal
kenmerken en telde hij vervolgens de verschillen. Elk verschil tussen deze
twee dialecten leverde een punt op. Het totale aantal punten is de
Hammingafstand tussen deze twee dialecten.
Bijvoorbeeld: in Lunteren kan men zeggen: “Jan herinnert zich dat
verhaal wel”, maar ook: “Jan herinnert z’n eigen dat verhaal wel”. In
Veldhoven zegt men altijd: “Jan herinnert zich dat verhaal wel”. In geen
van beide dialecten gebruikt men hier “hem” of “zichzelf” of “hemzelf”,
iets dat in andere dialecten wel voorkomt.
Het vergelijken van deze vijf kenmerken levert dus in totaal 1 punt op voor
de Hammingafstand. Dat is in tabel 1 weergegeven.
tabel 1
Stel men vergelijkt dialect X met het dialect van Lunteren. En stel dat
vergelijken van de vijf kenmerken uit tabel 1 in totaal 3 punten oplevert
voor de Hammingafstand. In dialect X wordt ook “zich” gebruikt.
104puitwerkbijlageSchrijf alle mogelijkheden voor deze vijf kenmerken voor dialect X op.
Gebruik hiervoor de tabel op de uitwerkbijlage.
De onderzoeker vergeleek niet vijf, maar 507 kenmerken. Het resultaat is
een tabel waarin per tweetal dialecten de Hammingafstand te zien is. In
tabel 2 zie je hier een gedeelte van.
Het getal 66 in deze tabel voor het tweetal Lunteren-Bellingwolde (of
Bellingwolde-Lunteren) betekent dat bij deze twee dialecten 66 van de
507 kenmerken verschillen: de Hammingafstand is 66.
tabel 2
In tabel 2 heeft de onderzoeker dus 15 Hammingafstanden berekend.
In totaal stonden er echter geen 6 dialecten, maar 267 dialecten in de
tabel. Bij elk tweetal heeft de onderzoeker de Hammingafstand berekend.
113pBereken hoeveel Hammingafstanden de onderzoeker in totaal heeft
berekend.
De onderzoeker zocht naar een verband tussen de geografische afstand
en de Hammingafstand van dialecten. In het kaartje in de figuur zie je een
aantal dialecten met stippen aangegeven. In het assenstelsel is voor elk
tweetal dialecten de Hammingafstand (in punten) uitgezet tegen de
geografische afstand (in km).
In het assenstelsel kun je zien dat bij punt A de afstand tussen twee
plaatsen gelijk is aan 200 km en de Hammingafstand ongeveer gelijk is
aan 58.
De onderzoeker heeft op twee manieren geprobeerd het verband tussen
de geografische afstand en de Hammingafstand met een wiskundig
verband te benaderen. Beide manieren, een lineair verband en een
logaritmisch verband, zijn weergegeven in het assenstelsel.
De onderzoeker heeft in het assenstelsel dus ook een grafiek voor een
logaritmisch verband getekend. De formule voor dit logaritmische verband
is:
H = −45,88 + 66,44log(x)
Hierin is H de Hammingafstand en x de geografische afstand in km.
Op de getekende rechte lijn liggen de punten (10, 55) en (400, 145).
125pStel met behulp van deze twee punten een formule op voor het lineaire
verband in het assenstelsel en bereken met behulp van de formules bij
welke geografische afstanden de Hammingafstanden volgens het lineaire
en het logaritmische verband gelijk zijn. Rond je antwoord af op gehele
kilometers.
De grafiek van het logaritmische verband in het assenstelsel gaat
bijvoorbeeld door de punten (50, 67), (100, 87), (200, 107) en (400, 127).
Hieraan kun je zien dat volgens het logaritmisch verband bij een
verdubbeling van de geografische afstand de Hammingafstand steeds met
20 toeneemt. Met behulp van de formule H = −45,88 + 66,44log(x) kun je
aantonen dat dit altijd zo is.
133pToon met behulp van de rekenregels van de logaritmen aan dat
−45,88 + 66,44log(2x) ongeveer gelijk is aan −45,88 + 66,44log(x) + 20.
opgave 4Voetbalplaatjes
In het voetbalseizoen 2008-2009 hield een grote supermarktketen een
actie: bij elke besteding van 10 euro aan boodschappen kreeg je één
zakje met vijf voetbalplaatjes. Deze plaatjes konden in een
verzamelalbum geplakt worden waarin de 18 eredivisieclubs stonden. Per
club kon je 15 plaatjes inplakken. In totaal waren er dus 18 ⋅15 = 270
verschillende plaatjes. Er zijn miljoenen plaatjes gedrukt. We nemen aan
dat de plaatjes willekeurig over de zakjes verdeeld werden en dat er van
alle plaatjes evenveel waren.
De actie duurde zeven weken.
Jeroen heeft na zes weken bijna alle plaatjes verzameld. Hij mist nog
8 voetbalplaatjes. Zijn moeder doet boodschappen voor € 22,85 en krijgt
dus twee zakjes met plaatjes.
144pBereken de kans dat hier een of meer ontbrekende plaatjes bij zitten.
figuur 1
Hoewel alle verzamelaars hun collectie
compleet willen hebben, zijn sommige plaatjes
meer gewild dan de andere. Ze worden niet
vaak geruild en lijken daardoor zeldzamer.
Zo was het plaatje met Klaas-Jan Huntelaar, de
toenmalige spits van Ajax, zeldzaam in de
Achterhoek waar hij vandaan komt. Zie figuur 1.
Het leek wel alsof er van dit plaatje minder
exemplaren in omloop waren.
Twee jongens uit Doetinchem (in de Achterhoek) hadden samen
1240 plaatjes verzameld maar ze hadden samen slechts één ‘Klaas-Jan
Huntelaar’. We beschouwen deze 1240 plaatjes als een aselecte
steekproef.
156pStel een nulhypothese en een alternatieve hypothese op en onderzoek of
er reden is om aan te nemen dat er in de Achterhoek inderdaad minder
plaatjes van Huntelaar in omloop waren dan gemiddeld. Gebruik een
significantieniveau van 5%.
De Rijksuniversiteit Groningen heeft een programma ontwikkeld om met
behulp van ‘rapportcijfers’ voor de kwaliteiten van spelers een optimaal
team samen te stellen: de Computer Coach. Dit programma is onder
andere gebruikt voor FC Groningen.
Alle spelers krijgen voor 50 verschillende kwaliteiten een rapportcijfer. De
‘Computer Coach’ berekent dan met behulp van vooraf geformuleerde
eisen het optimale team.
Uit een selectie van 3 keepers en 22 veldspelers moet een elftal worden
samengesteld. Eén van de 3 keepers moet gekozen worden en 10
veldspelers. De tien plaatsen in het veld zijn verschillend, dus het maakt
uit welke speler op welke plaats opgesteld wordt. De ‘Computer Coach’
rekent, uitgaande van 3 keepers en 22 veldspelers, niet alle mogelijke
opstellingen door, omdat dit er zelfs voor een computer veel te veel zijn.
163pBereken hoeveel opstellingen er in deze situatie in totaal mogelijk zijn.
Met behulp van de voetbalplaatjes kunnen we in een sterk
vereenvoudigde situatie zien hoe de ‘Computer Coach’ te werk gaat. Op
ieder spelersplaatje staan twee cijfers. Het bovenste cijfer is een soort
‘rapportcijfer’ voor de aanvallende kwaliteiten van de speler, het onderste
voor zijn verdedigende kwaliteiten. In figuur 2 heeft speler A bijvoorbeeld
voor aanvallende kwaliteiten het cijfer 5 en voor verdedigende kwaliteiten
een 8.
We gaan uit van een minivoetbalteam: één keeper K en vier andere
spelers A, B, C en D. De keeper heeft een vaste plaats en daarom laten
we hem verder buiten beschouwing. Van de andere vier spelers worden er
twee opgesteld in de aanval en twee in de verdediging. In figuur 2 zie je
hiervan een voorbeeld.
Men kan de totale waarde van de opstelling van figuur 2 nu als volgt
berekenen: de cijfers voor de aanvallende kwaliteiten van A en B plus de
cijfers van de verdedigende kwaliteiten van C en D, dus 5 + 4 + 8 + 6 = 23.
Het gaat er in deze vereenvoudigde situatie alleen om wie er in de aanval
en wie in de verdediging staan en niet wie er links en wie er rechts staat.
Er zijn nog meer opstellingen mogelijk. Hoe hoger de totale waarde van
een opstelling, des te beter de opstelling.
174pOnderzoek wat de beste opstelling is. Licht je antwoord toe.
opgave 5Zevenkamp
Een relatief jong atletieknummer van de Olympische Spelen is de
zevenkamp voor vrouwen. De vrouwen strijden in twee dagen op zeven
verschillende baan- en veldonderdelen. De baanonderdelen zijn
100 meter horden, 200 meter en 800 meter hardlopen. De veldonderdelen
zijn hoogspringen, kogelstoten, verspringen en speerwerpen.
De prestaties van elk onderdeel worden omgerekend naar punten. Deze
punten worden vervolgens bij elkaar opgeteld waarna een ranglijst kan
worden opgesteld.
De punten worden als volgt berekend:
− Punten = A ⋅ (B − X)C voor baanonderdelen
− Punten = A ⋅ (X − B)C voor veldonderdelen
− De puntenaantallen worden altijd naar beneden afgerond
A, B en C zijn constanten die per onderdeel verschillen, zoals te zien is in
tabel 1 hieronder. X is de prestatie van de atleet in eenheden zoals deze
in de laatste kolom staat weergegeven.
tabel 1
onderdeel A B C eenheden 100 m horden 9,23076 26,7 1,835 seconden hoogspringen 1,84523 75 1,348 centimeters kogelstoten 56,0211 1,5 1,05 meters 200 m hardlopen 4,99087 42,5 1,81 seconden verspringen 0,188807 210 1,41 centimeters speerwerpen 15,9803 3,8 1,04 meters 800 m hardlopen 0,11193 254 1,88 seconden
Jacky Joyner behaalde in 1988 een wereldrecord op de zevenkamp voor
vrouwen. In tabel 2 staan per onderdeel de punten van Joyner en van
Sabine John, de nummer 2.
tabel 2
Voor de 100 meter horden geldt de volgende formule:
Hierbij is
de hoeveelheid punten voor dit onderdeel en
X de tijd op
dit onderdeel in seconden.
Met behulp van tabel 2 en de formule kun je de tijd van Joyner berekenen
op de 100 meter horden.
183pBereken de tijd van Joyner op de 100 meter horden in 2 decimalen
nauwkeurig.
Aan de formules is te zien dat de puntenaantallen voor veldonderdelen in
theorie onbeperkt groot kunnen worden. Je zou een speer 1000 meter ver
kunnen werpen, dat levert veel punten op. Er is geen bovengrens. Aan de
formules is ook te zien dat de puntenaantallen voor de baanonderdelen
wel een bovengrens hebben.
195pBereken de bovengrens voor de 100 meter horden en bereken vervolgens
hoe ver een atlete moet springen om ten minste ditzelfde aantal punten te
behalen voor het onderdeel verspringen.
Met de afgeleide van de formule voor de 200 meter,
, met de tijd
Xtussen 0 seconden en 42,5 seconden, is na te gaan of
toenemend
stijgend, toenemend dalend, afnemend stijgend of afnemend dalend is.
206pBepaal deze afgeleide en onderzoek met behulp van een schets van de
grafiek van deze afgeleide of
toenemend stijgend, toenemend
dalend, afnemend stijgend of afnemend dalend is.
Bij het onderdeel speerwerpen mogen alle atletes driemaal werpen. De
verste afstand telt. Voor een score van 800 punten moet je de speer
minimaal een keer 46,87 meter ver werpen.
Door de statistieken van atlete Q te bestuderen weten we dat zij bij het
onderdeel speerwerpen een gemiddelde heeft van 40,9 meter met een
standaardafwijking van 3,0 meter. We gaan er in dit model van uit dat de
afstand van haar worp normaal verdeeld is en dat de drie worpen
onafhankelijk van elkaar zijn.
216pBereken de kans dat deze atlete op het onderdeel speerwerpen ten
minste 800 punten zal scoren.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift, dat na afloop van het examen wordt gepubliceerd.
