bronnen

Eindexamen wiskunde A vwo 2012, tijdvak 2

bij dit examen

OVERZICHT FORMULES Kansrekening toevalsvariabelen X en Y geldt: E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) onafhankelijke -wet: bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten voor de som S en het gemiddelde X van de uitkomsten X : = n ⋅ E ( X ) σ ( S ) = n ⋅σ ( X ) ) = E ( X ) Binomiale…

OVERZICHT FORMULES Kansrekening toevalsvariabelen X en Y geldt: E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) onafhankelijke -wet: bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten voor de som S en het gemiddelde X van de uitkomsten X : = n ⋅ E ( X ) σ ( S ) = n ⋅σ ( X ) ) = E ( X ) Binomiale Voor de binomiaal verdeling verdeelde toevalsvariabele X , waarbij n het aantal experimenten is en p de kans op succes per keer, geldt: n k n − k P( X = k ) = ⋅ p ⋅ (1 − p ) met k = 0, 1, 2, 3, …, n Verwachting: E ( X ) = n ⋅ p Normale Voor een verdeling toevalsvariabele X die normaal verdeeld is met gemiddelde μ en Z = is standaard-normaal verdeeld en P( X < g ) = P( Z < Differentiëren Logaritmen regel voorwaarde g log a + g log b = g log ab g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g g g a log a − log b = log b g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g log a p = p ⋅ g log a g >0, g ≠ 1, a >0 p log a g log a = g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1 log a = p log g g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1

opgave 1Scores

Op een internetsite kunnen liefhebbers Stepbridge spelen. Elke keer dat je
Stepbridge speelt, wordt je prestatie uitgedrukt in een aantal punten.
Om prestaties van spelers met elkaar te kunnen vergelijken, laat men hen
allemaal onder dezelfde condities dezelfde versie van dit spelletje spelen. Dat
noemt men een spel.
Daarna worden hun voorlopige scores berekend volgens een methode die
hieronder beschreven staat. De laagst mogelijke score is 0, de hoogst mogelijke
score is 100 en de gemiddelde score is altijd 50. Zo nodig worden scores
afgerond op twee decimalen.
We geven een voorbeeld. Op een bepaald moment hebben acht spelers
hetzelfde spel een keer gespeeld. De spelers worden geordend naar hun
puntentotalen. In tabel 1 zie je een overzicht van hun rangnummers en hun
voorlopige scores.
tabel 1
speler Karin Mike Marian Reza Loes William Ria Ton rangnummer 1 2 3 4 5 6 7 8 voorlopige score 100 85,71 71,43 57,14 42,86 28,57 14,29 0
Je ziet in tabel 1 bijvoorbeeld dat Marian, met rangnummer 3, hoger is geëindigd
dan vijf van haar zeven concurrenten. Haar voorlopige score wordt daarom
(5)/(7) ⋅ 100≈71,43. Voor de anderen zijn de voorlopige scores volgens hetzelfde
principe bepaald.
Ditzelfde spel wordt ook gespeeld door een nieuwe speler, Jeanette. Zij is dus
de 9e speler, en zij haalt meer punten dan Mike, maar minder dan Karin.
13p
Bereken de voorlopige score van Jeanette.
Als spelers evenveel punten behalen, krijgen ze dezelfde voorlopige score: het
gemiddelde van de scores die ze zouden krijgen als ze na elkaar geëindigd
waren. Dus als Mike en Marian in de situatie van tabel 1 evenveel punten
behaald zouden hebben, zouden zij allebei een voorlopige score van
((85,71 + 71,43)/(2) =) 78,57 gehad hebben.
Een ander spel is door negen spelers gespeeld. Zie tabel 2.
tabel 2
speler Ali Ben Chris Dirk Eva Fred Ger Hans Isa rangnummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 punten 300 300 200 180 180 180 70 50 0 voorlopige score     75,00         12,50 0
25p
Bereken de ontbrekende voorlopige scores.
Nadat 21 spelers hetzelfde spel hebben gespeeld, veranderen de voorlopige
scores voor dat spel niet meer en deze worden dan definitieve scores.
34p
Onderzoek of het mogelijk is dat een speler een definitieve score van precies 52
haalt.
Als de voorlopige scores van een serie van 30 spellen van een speler definitief
zijn geworden, wordt het gemiddelde van die 30 scores voor de speler
genoteerd als eindscore voor die serie.
Johan is een fanatieke Stepbridger. Hij heeft zijn prestaties enkele jaren
bijgehouden. In die tijd speelde hij 719 series van 30 spellen.
Johan scoorde 360 keer een eindscore tussen 46,00 en 54,00 en 173 keer een
eindscore boven de 54,00. Hij heeft dus 186 keer onder de 46,00 gescoord.
Zijn eindscores voor deze 719 series zijn bij benadering normaal verdeeld.
Johan schat het gemiddelde van zijn 719 eindscores op 50,00.
Hij gebruikt het feit dat hij 360 keer een eindscore tussen de 46,00 en 54,00
gehaald heeft om de daarbij horende standaardafwijking te berekenen.
45p
Bereken deze standaardafwijking in twee decimalen nauwkeurig.
In werkelijkheid was het gemiddelde van de 719 eindscores 49,73 en de
standaardafwijking 5,91.
Als de eindscores precies zouden voldoen aan de normale verdeling, zou Johan
niet 173 keer hoger dan 54,00 gescoord hebben, maar een kleiner aantal.
54p
Bereken dit aantal.

opgave 2Woordenschat

De woorden die je begrijpt of kunt gebruiken, vormen samen je woordenschat.
Hoe groter je woordenschat is, des te beter kun je teksten lezen, teksten
begrijpen en je mondeling en schriftelijk in een taal uitdrukken.
In deze opgave beperken we ons tot mensen die opgroeien met de Nederlandse
taal als moedertaal.
De woordenschat van een kind groeit bijna onmerkbaar door luisteren, spreken
en lezen. In Nederland heeft een kind als het de leeftijd van 4 jaar bereikt een
woordenschat van gemiddeld 3000 woorden. Tot de 12e verjaardag groeit dit tot
gemiddeld 17 000 woorden.
In onderstaande figuur is dit grafisch weergegeven. De figuur staat ook vergroot
op de uitwerkbijlage.
figuur
gemiddelde woordenschat van Nederlandstalige kinderen in Nederland
18000 aantal 16000 woorden 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 leeftijd
Uit de figuur blijkt dat de gemiddelde woordenschat van de 8e tot de 12e
verjaardag sneller groeit dan van de 4e tot de 8e verjaardag.
64puitwerkbijlage
Bereken met hoeveel woorden per jaar de gemiddelde woordenschat van een
kind meer groeit van de 8e tot de 12e verjaardag dan van de 4e tot de 8e
verjaardag. Je kunt hierbij gebruik maken van de figuur op de uitwerkbijlage.
We gaan uit van een woordenschat van gemiddeld 17 000 op de 12e verjaardag.
Na de 12e verjaardag gaat de woordenschat onder jongeren behoorlijk variëren:
Bij het bereiken van de leeftijd van 21 jaar varieert deze van 45 000 tot 150 000.
Bij sommige jongeren spreken we van een hoge woordenschat. Bij hen groeit de
woordenschat exponentieel tot gemiddeld 150 000 wanneer de leeftijd van
21 jaar bereikt wordt. Hiervoor is de volgende formule opgesteld:
Wh = 17000 ⋅1,27t
Hierbij is t de tijd in jaren met t = 0 op de 12e verjaardag.
In deze formule is de jaarlijkse groeifactor afgerond op twee decimalen.
73p
Bereken deze groeifactor in drie decimalen nauwkeurig.
Bij andere jongeren spreken we van een lage woordenschat. Bij deze jongeren
groeit de woordenschat lineair tot gemiddeld 45 000 op hun 21e verjaardag.
Hiervoor geldt de volgende formule:
Wl = at + b
Hierbij is t de tijd in jaren met t = 0 op de 12e verjaardag.
Ga ook hierbij uit van een woordenschat van 17 000 op de 12e verjaardag.
Met behulp van de formule Wl = at + b kan de woordenschat die jongeren met
een lage woordenschat op hun 18e verjaardag hebben, berekend worden.
Vervolgens kan met behulp van de formule Wh = 17000 ⋅1,27t worden berekend
hoeveel maanden eerder jongeren met een hoge woordenschat deze zelfde
woordenschat zullen hebben.
86p
Bereken dit aantal maanden.
In de praktijk gebruikt men graag formules waar de werkelijke leeftijd in
voorkomt. Voor jongeren met een hoge woordenschat geldt de formule
Wh = 17000 ⋅1,27t (met t = 0 op de 12e verjaardag).
93p
Schrijf deze in de vorm Wh = b ⋅ gL, waarbij L de werkelijke leeftijd is. Rond b af
op tientallen.

opgave 3De loting voor de Vietnamoorlog

In de vorige eeuw voerden de Verenigde Staten van Amerika
een oorlog in Vietnam.
De militairen die men in 1970 voor deze oorlog nodig had,
werden in december 1969 door loting aangewezen. Alle
mannen die geboren waren in de jaren 1944 tot en met 1950
lootten mee.
figuur bij de opgave
Vanwege het grote belang voor de gehele Amerikaanse bevolking werd de loting
rechtstreeks op televisie uitgezonden.
Drie vrienden, alle drie geboren in de jaren 1944 tot en met 1950, gaan de
uitzending op televisie bekijken om te zien hoe de loterij voor hen uitpakt.
Stel dat in een aselecte trekking (1)/(3) deel van de mannen geboren in de jaren
1944 tot en met 1950 wordt opgeroepen en de rest niet.
103p
Bereken de kans dat precies één van de drie vrienden wordt opgeroepen.
Bij de loting van 1969 werden kaartjes met daarop de dagen van het jaar
(inclusief 29 februari) als loten in een vaas gedaan, en daar één voor één weer
uit getrokken.
De als eerste getrokken dag was 14 september: die kreeg nummer 1. De als
tweede getrokken dag was 24 april, die kreeg nummer 2, enzovoort. De laatst
getrokken dag, 8 juni, kreeg nummer 366.
De mannen die jarig waren op dag nummer 1 werden als eersten opgeroepen,
vervolgens degenen die jarig waren op de dag met nummer 2, enzovoort.
Niet veel later schreef de krant de
figuur
New York Times dat de loting niet
250
eerlijk kon zijn geweest: de dagen in de
laatste zes maanden van het jaar hadden 200
vaker lage nummers dan die in de eerste
zes maanden van het jaar.
150
Dit wordt geïllustreerd door het
staafdiagram in de figuur hiernaast.
100
In dit staafdiagram is bijvoorbeeld te zien
dat het gemiddelde van de nummers die 50
de dagen van de maand januari bij de
loting kregen, 200 is.
^0^j^a^n^f^e^bm^r^t^a^p^rm^e^i^j^u^n^j^u^la^u^gs^e^po^k^tn^o^vd^e^c
In de figuur is te zien dat de zes laagste gemiddelden in de laatste zes maanden
van het jaar vallen.
Als de loting eerlijk was, dan zou de kans klein zijn dat de zes laagste
gemiddelden in de laatste zes maanden van het jaar vallen. Deze kans kun je
als volgt berekenen: stel je een vaas voor met twaalf ballen, waarop de
maanden van het jaar vermeld staan. Uit deze vaas trek je zes ballen. De
gevraagde kans is dan de kans dat je de zes ballen trekt waarop de laatste zes
maanden van het jaar vermeld staan.
114p
Bereken deze kans.
Voor de loting van het jaar 1970 werd een andere procedure bedacht. Bij deze
loting werden de nummers 1 tot en met 365 gebruikt, omdat hier geloot werd uit
de mannen die geboren zijn in 1951.
Het verwachte gemiddelde van de lotnummers in een maand is 183. Neem aan
dat bij een eerlijke loting voor elke dag geldt dat de kans op een lotnummer
onder 183 gelijk is aan (182)/(365).
In de tabel op de uitwerkbijlage staan de uitkomsten van de loting van 1970.
De maand januari bleek veel lotnummers onder 183 te krijgen.
127p
Onderzoek of het aantal dagen van de maand januari met een lotnummer onder
183 significant hoger is dan het aantal dagen dat je zou verwachten. Neem een
significantieniveau van 1%.

opgave 4Tsunami

Op 26 december 2004 werd Zuidoost-Azië getroffen door een tsunami. Een
tsunami is één heel lange golf die bij de kust heel hoog wordt. De tsunami had
rampzalige gevolgen voor een aantal kustgebieden. Dit kwam door de enorme
hoeveelheid water die door deze tsunami werd meegevoerd.
In onderstaande figuur is een schematisch overzicht te zien van het verloop van
een tsunami. Boven elke genoemde waterdiepte is steeds de bijbehorende
snelheid weergegeven.
figuur
snelheid in km/uur bij verschillende waterdiepten
940 7000 )ruu/mk( diehlens 710 520 160 80 35 10 ? ? 2000 4000 )retem( etpeid
In de figuur is bijvoorbeeld te zien dat een tsunami bij een diepte van
4000 meter zich met een snelheid van 710 km/uur verplaatst.
Voor de snelheid van een tsunami geldt bij benadering de volgende formule:
v = 11,3√(d)
Hierin is v de snelheid in km/uur en d de waterdiepte in meter.
In de figuur ontbreken twee waarden voor de waterdiepte. Zij zijn aangegeven
met een vraagteken.
134p
Bereken met behulp van bovenstaande formule en de gegevens uit de figuur
deze twee ontbrekende waarden.
De tsunami van december 2004 werd veroorzaakt door een aardbeving onder
zee, 150 km uit de kust van het Indonesische eiland Sumatra.
De tsunami plantte zich voort door de Golf van Bengalen, waar de zee ongeveer
3 km diep is.
143p
Bereken hoeveel minuten een tsunami nodig heeft om een afstand van 150 km
af te leggen in water van 3 km diep.
In de figuur is ook te zien dat in de buurt van de kust, waar de waterdiepte niet
zo groot is, de golfhoogte van een tsunami groter wordt. Op volle zee, waar de
waterdiepte groot is, is de golfhoogte niet zo hoog.
Bij tsunami’s is het volgende verband gevonden tussen waterdieptes en
golfhoogtes:
h_2 = (d1)/(d)_2^0^,^2^5
⋅ h1
Hierin is h1 de golfhoogte bij waterdiepte d1 en h2 de golfhoogte bij waterdiepte
d2; h1, d1, h2 en d2 zijn in meters.
De tsunami van 26 december 2004 ontstond in een gebied met waterdiepte 1 km
0,25
en golfhoogte 60 cm. Met deze gegevens en de formule h_2 = (d1)/(d)_2 ⋅ h1
kunnen we voor het verdere verloop van deze tsunami het verband tussen de
waterdiepte d en de golfhoogte h beschrijven met de formule:
h = 3,37 ⋅ d−0,25
154p
Toon dit aan.
Naarmate een golf dichter bij de kust komt, neemt de waterdiepte steeds verder
af. Dit is ook in de figuur te zien.
We bekijken de verandering van de golfhoogte. Naarmate een golf dichter bij de
kust komt, zal een kleine verandering in waterdiepte een grotere verandering
van de golfhoogte tot gevolg hebben.
164p
Laat met behulp van de afgeleide van h zien dat dit inderdaad het geval is.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

opgave 5Websites

Een manier om de populariteit van websites te meten, is door naar de
zogenoemde Alexa Ranking te kijken. Het internetbedrijf Alexa houdt bij hoe
vaak websites bezocht worden, en stelt daarvan een ranglijst op. Zo heeft de
website google.com wereldwijd ranking 1 met 1,2 miljard unieke bezoekers per
dag (begin 2011).
Voor een aantal Nederlandse websites is het verband tussen de Alexa Ranking
en het aantal unieke bezoekers per dag weergegeven in onderstaande figuur.
In de figuur is op beide assen gebruik gemaakt van een logaritmische
schaalverdeling. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur
1000000 aantal (unieke) per dag 100000 10000 100 1000 10000 100000 Alexa Ranking
In de figuur is te zien dat er verschillende websites zijn met een Alexa Ranking
tussen de 1000 en de 2000. Het verschil tussen de bijbehorende aantallen
unieke bezoekers per dag van deze websites is vrij groot.
174puitwerkbijlage
Bereken dit maximale verschil met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage.
De punten in de figuur liggen globaal op een rechte lijn. Deze lijn is in de figuur
getekend. Bij deze lijn hoort de formule B = 1118000 ⋅ r−0,35.
Hierin is B het aantal unieke bezoekers per dag en r de Alexa Ranking van de
website.
Lang niet bij alle aantallen unieke bezoekers per dag is in de figuur precies af te
lezen welke Alexa Ranking de betreffende website heeft. Met de hierboven
vermelde formule is deze ranking wel te berekenen.
183p
Bereken met behulp van de formule de Alexa Ranking van een website met
25 000 unieke bezoekers per dag.
193p
Beredeneer aan de hand van de formule dat de grafiek van B daalt.
De formule B = 1118000 ⋅ r−0,35 kan herschreven worden in de vorm
log B = a + b ⋅ log r.
204p
Bereken de waarden van a en b.