opgave 2Voetbalstress
In Nederland sterven jaarlijks duizenden mannen aan een hartaanval. In figuur 2
staat een grafiek van de sterfte ten gevolge van een hartaanval.
figuur 2
Sterfte ten gevolge van een hartaanval bij mannen
Omdat de omvang van de bevolking voortdurend verandert, geeft men de sterfte
ten gevolge van een hartaanval aan met het sterftecijfer. Dat is het aantal
sterfgevallen ten gevolge van een hartaanval per 100 000 personen. In 1979
was dit sterftecijfer voor mannen 203,0. De grafiek in figuur 2 is geïndexeerd ten
opzichte van het sterftecijfer van 1979.
In 1995 waren in Nederland ongeveer 7,6 miljoen mannen.
55pLaat met een berekening zien dat er in 1995 per dag gemiddeld ongeveer
23 mannen aan een hartaanval zijn overleden.
Het aantal mensen dat aan een hartaanval overlijdt, is niet elke dag even groot.
In figuur 3 zie je een staafdiagram met de aantallen sterfgevallen bij mannen ten
gevolge van een hartaanval in de periode van 17 tot en met 27 juni 1996.
figuur 3
50
aantal
30
20
10
0
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
juni 1996
Van de aantallen sterfgevallen per dag in deze periode kunnen we het
gemiddelde en de standaardafwijking berekenen.
63pBereken dit gemiddelde en deze standaardafwijking.
Het aantal mannen dat in de zomermaanden per dag overlijdt aan een hartaanval is
bij benadering normaal verdeeld met gemiddelde 27,6 en standaardafwijking 4,1.
In figuur 3 zijn de 90%-grenzen van deze verdeling met stippellijnen aangegeven. Dat
betekent dat naar verwachting 90% van de staafjes een lengte heeft die tussen deze
twee grenzen ligt. Deze twee grenzen liggen symmetrisch ten opzichte van het
gemiddelde. In figuur 3 is te zien dat de grenzen in de buurt van 20 en 35 liggen.
Met behulp van de hierboven genoemde normale benadering kun je deze twee
grenzen nauwkeurig berekenen.
74pBereken deze twee grenzen in één decimaal nauwkeurig.
De periode van 17 tot en met 27 juni 1996 is interessant omdat op 22 juni 1996
een voetbalwedstrijd werd gespeeld: Nederland – Frankrijk in de kwartfinale van
het Europees Kampioenschap. Die wedstrijd was tot het einde spannend.
Uiteindelijk moest de beslissing vallen door middel van een serie strafschoppen.
Omdat Nederland de laatste strafschop miste, verloor Nederland. Op die dag
was het aantal sterfgevallen bij mannen ten gevolge van een hartaanval
opvallend hoog. In figuur 3 kun je zien dat het er die dag 41 waren.
We vragen ons af of dit toeval is. Daartoe kijken we naar de kans dat op een
willekeurige zomerse dag 41 of meer mannen overlijden ten gevolge van een
hartaanval. We gaan hierbij uit van de normale verdeling met gemiddelde 27,6
en standaardafwijking 4,1.
opgave 3Elektriciteit
In november 2004 maakte energiebedrijf Essent de tarieven voor de levering
van elektriciteit bekend voor het jaar 2005.
In tabel 2 staan de bedragen, inclusief BTW, voor huishoudens met een
zogenaamde enkeltariefmeter. Zoals je kunt zien, kunnen klanten bij Essent
kiezen uit drie tarieven.
tabel 2
Elektriciteitstarieven 2005
Naast de tarieven voor elektriciteit moeten de klanten ook nog energiebelasting
betalen. Deze energiebelasting is afhankelijk van de hoogte van het
elektriciteitsverbruik. Zie tabel 3.
tabel 3
Energiebelasting Elektriciteit 2005
De heffingskorting is een bedrag dat op de energiebelasting in mindering wordt
gebracht. Voor een verbruik van minstens 2775 kWh is die korting € 230,86.
De familie Vliet verbruikt 3200 kWh per jaar.
93pBereken hoe hoog hun elektriciteitsrekening is wanneer er gekozen is voor het
KeuzeTarief Standaard.
In een consumentenonderzoek wil men graag een overzicht opnemen waarin
een klant bij elk verbruik kan zien welk KeuzeTarief het voordeligst is.
Volgens tabel 3 hangt de energiebelasting niet af van het KeuzeTarief. Daarom
laten we de energiebelasting hier buiten beschouwing. Voor de berekeningen
die nodig zijn om het overzicht te maken, heb je dan alleen tabel 2 nodig. In het
overzicht beperkt men zich tot een verbruik van 0 kWh tot 6000 kWh.
106pBereken vanaf welk verbruik KeuzeTarief Standaard voordeliger is dan
KeuzeTarief Budget en vanaf welk verbruik KeuzeTarief Plus voordeliger is dan
KeuzeTarief Standaard.
Essent kent ook tarieven voor huishoudens die een elektriciteitsmeter gebruiken
waarmee onderscheid wordt gemaakt tussen laagtarief en normaaltarief.
Het laagtarief wordt berekend voor elektriciteitsverbruik in het weekend en
’s nachts van 23.00 tot 7.00 uur, het normaaltarief op de andere tijden.
De tarieven in deze situatie staan in tabel 4. Ook hier zijn alle bedragen inclusief
BTW.
tabel 4
Elektriciteitstarieven 2005
We gaan uit van een huishouden met een jaarverbruik van 3500 kWh dat
gebruik maakt van KeuzeTarief Standaard. We laten de vaste kosten en de
energiebelasting buiten beschouwing.
Voor een huishouden dat maar 1000 van de 3500 kWh volgens het laagtarief
verbruikt, zijn de kosten € 229,15. Dit huishouden is in dat geval duurder uit dan
met het enkeltarief volgens tabel 2.
Als het huishouden 2000 van de 3500 kWh volgens het laagtarief zou
verbruiken, was het goedkoper uit dan met het enkeltarief.
115pBereken hoeveel kWh ten minste volgens het laagtarief verbruikt moet worden
om goedkoper uit te zijn dan met het enkeltarief.
opgave 4Kangoeroe
Veel middelbare scholen doen jaarlijks mee aan de Europese Kangoeroe reken-
en wiskundewedstrijd. Deze wedstrijd dankt zijn naam aan zijn Australische
oorsprong.
Tijdens de wedstrijd krijgen de leerlingen 30 vragen voorgelegd. Bij elke vraag
worden 5 mogelijke antwoorden gegeven, waarvan er precies één goed is.
Door tijdgebrek heeft Wieke vorig jaar bij de laatste vier vragen moeten gokken.
Op goed geluk vulde zij bij elk van deze vragen één van de vijf mogelijke
antwoorden in. Zo had ze een kans om minstens twee van deze vier vragen
goed te gokken.
124pBereken deze kans.
Elke goed beantwoorde vraag levert punten op, maar een fout antwoord levert
strafpunten op. Het aantal punten en strafpunten hangt af van het nummer van
de vraag; de vragen zijn daarbij in 3 groepen verdeeld.
− de vragen 1 tot en met 10 leveren 3 punten per goed antwoord op en
strafpunt per fout antwoord;
− de vragen 11 tot en met 20 leveren 4 punten per goed antwoord op en
1 strafpunt per fout antwoord;
− de vragen 21 tot en met 30 leveren 5 punten per goed antwoord op en
1
strafpunt per fout antwoord.
Per vraag mag je slechts één antwoord kiezen. Als je geen antwoord invult, krijg
je geen punten, maar ook geen strafpunten voor die vraag.
Wieke vraagt zich af of het niet beter is om een vraag waarvan je het antwoord
niet weet, onbeantwoord te laten. Je kunt dan weliswaar geen punten verdienen,
maar je krijgt in elk geval ook geen strafpunten.
Wieke berekent dat bij gokken de verwachtingswaarde van het aantal punten bij
de vragen 1 tot en met 10 gelijk is aan 0. Het maakt dus bij deze vragen niet uit
of je gokt of geen antwoord invult.
134pOnderzoek hoe dat zit bij de andere vragen door de verwachtingswaarde van
het aantal punten bij gokken te berekenen bij een van de vragen 11 tot en met
20 en bij een van de vragen 21 tot en met 30.
Naast de genoemde punten en strafpunten krijgt elke deelnemende leerling
30 punten om mee te beginnen. Wanneer je hier de behaalde punten bij optelt
en de strafpunten er van aftrekt, krijg je de eindscore.
We gaan onderzoeken wat er kan gebeuren met de eindscore van een leerling
die bij elke vraag willekeurig een antwoord invult en geen vragen open laat.
In de tabel op de bijlage staan de kansen op verschillende eindscores.
Daarnaast staan ook de cumulatieve kansen. De kans dat een leerling die alle
antwoorden gokt een eindscore van bijvoorbeeld 40 punten haalt, is gelijk aan
0,02744. De kans op een eindscore van 40 punten of minder is 0,82869.
Vier deelnemers aan de Kangoeroewedstrijd hebben besloten om bij alle vragen
het antwoord te gokken. Ze hopen dat ze daarmee minimaal de beginscore van
30 punten halen.
144pBereken de kans dat van deze vier deelnemers er twee een score van 30 punten
of meer halen en de andere twee deelnemers niet.
De kansen die in de tabel op de bijlage staan, kunnen we ook berekenen. Dat
gaan we hier doen voor de kans dat de eindscore gelijk is aan 7,5 punten.
Volgens de tabel is deze kans gelijk aan 0,00348.
De eindscore van 7,5 punten kun je alleen behalen wanneer je van de vragen 1
tot en met 10 er precies 2 goed en 8 fout hebt en de overige 20 vragen allemaal
fout.
155pToon aan dat de kans op een eindscore van 7,5 punten ongeveer 0,00348 is.
In de tabel kun je zien dat een eindscore van 0 punten wel mogelijk is, maar een
eindscore van 1,25 of 2,5 punten niet.
164pLeg uit waarom een eindscore van 1,25 of 2,5 punten niet mogelijk is.
opgave 5DISK
Een hobbycomputerclub geeft elke maand het tijdschrift DISK uit, waarop alleen
eigen leden zich kunnen abonneren. Gedurende lange tijd is het aantal
abonnees gelijk aan 90. Omdat de computerclub maar liefst 5400 leden telt,
heeft men besloten een reclamecampagne te starten om meer leden te werven
voor een abonnement op DISK.
De campagne heeft succes: al na één maand zijn er 17 nieuwe abonnees, een
maand later hebben zich weer nieuwe abonnees aangemeld en wel 21. Tabel 5
geeft dit verloop voor de eerste maanden weer.
tabel 5
De eerste drie maanden geldt voor An de formule: An = 4n + 13. Neem bij de
vragen 17, 18 en 19 aan dat deze formule ook geldt voor alle volgende
maanden.
173pBereken het totale aantal abonnees na 6 maanden.
Met behulp van de formule voor An kan een formule worden opgesteld voor het
totale aantal abonnees Nn. Deze formule kan geschreven worden als
Nn = an2 + bn + c. Hierin is a = 2.
184pBereken b en c.
Als het totale aantal abonnees zo blijft toenemen, zal DISK op zeker moment
meer dan 1000 abonnees hebben.
193pLaat zien dat er dan na 18 maanden voor het eerst meer dan 1000 abonnees
zullen zijn.
De formules voor Nn en An zijn niet realistisch. Het aantal abonnees zal bij de
start van de reclamecampagne snel toenemen en na verloop van tijd minder
snel toenemen. Het totale aantal abonnees op DISK zal nooit groter kunnen zijn
dan het aantal leden. Deze ontwikkeling is in figuur 4 met een globale grafiek
weergegeven.
figuur 4
De volgende formule geeft de ontwikkeling van het totale aantal abonnees beter
weer:
en
T0 = 90In deze formule is Tn het totale aantal abonnees na n maanden.
204pOnderzoek met behulp van deze formule na hoeveel maanden er voor het eerst
meer dan 1000 abonnees zijn.
