opgave 1Restzetels
Op 2 maart 1994 vonden er in Nederland gemeenteraadsverkiezingen plaats. In
de gemeente Enschede werden 67 787 stemmen uitgebracht. De
verkiezingsuitslag is weergegeven in tabel 1. In de tweede kolom is af te lezen
hoeveel stemmen elke partij heeft behaald. In de laatste kolom van deze tabel
staat aangegeven hoe, op basis van de verkiezingsuitslag, de zetelverdeling in
de gemeenteraad van Enschede uiteindelijk is geworden.
Het proces om stemmen om te rekenen naar aantallen zetels is ingewikkeld. We
gaan daar verderop in deze opgave nader op in. Eerst kijken we alleen naar het
resultaat van de zetelverdeling.
tabel 1
partij aantal stemmen aantal volle zetels aantal zetels in de gemeenteraad 1. PvdA 15 329 8 10 2. CDA 12 584 7 8 3. VVD 9080 5 5 4. D66 8751 5 5 5. GroenLinks 5150 2 3 6. GPV 3399 1 2 7. CD 2730 1 1 8. SP 1549 0 1 9. NCPN 589 0 0 10. van Loenen 2955 1 1 11. Enschede Nu 5671 3 3 totaal aantal uitgebrachte stemmen: 67 787 totaal aantal zetels: 39
Uit de tabel volgt dat PvdA, VVD en D66 samen een meerderheid kregen van de
zetels in de gemeenteraad. Toch hadden deze drie partijen samen geen
meerderheid van de stemmen.
14pLaat met behulp van de gegevens in de tabel zien dat PvdA, VVD en D66 samen
inderdaad een meerderheid aan zetels maar niet een meerderheid aan stemmen
hebben behaald.
Om te bepalen op hoeveel zetels partijen recht hebben, wordt eerst de
kiesdeler bepaald. De kiesdeler wordt berekend door het totaal aantal
uitgebrachte stemmen te delen door het aantal beschikbare zetels in de
gemeenteraad.
23pBereken de kiesdeler voor de verkiezingsuitslag van Enschede in 1994. Geef je
antwoord in 3 decimalen nauwkeurig.
Om het aantal zetels te bepalen waar een partij recht op heeft, wordt vervolgens
bij elke partij het aantal op die partij uitgebrachte stemmen gedeeld door de
kiesdeler. Voor bijvoorbeeld de PvdA is de uitkomst hiervan ongeveer 8,82;
daarom heeft de PvdA 8 volle zetels. In de derde kolom van tabel 1 staat het
aantal volle zetels van elke partij.
De beschikbare zetels in de gemeenteraad die nog niet zijn verdeeld met de
volle zetels heten de restzetels. Voor de verdeling van de restzetels moet
volgens de kieswet het systeem van de grootste gemiddelden worden
gehanteerd. In de kieswet staat dit systeem als volgt beschreven:
fragment uit de Kieswet
Bij de verdeling van de restzetels volgens het systeem van de grootste gemiddelden wordt voor elke partij in gedachten één zetel opgeteld bij het behaalde aantal volle zetels. Vervolgens wordt het aantal op de partij uitgebrachte stemmen gedeeld door dit denkbeeldige aantal zetels. Op deze wijze wordt voor elke partij het gemiddelde aantal stemmen per zetel bepaald. De partij met het grootste gemiddelde krijgt een restzetel toebedeeld. Aldus ontstaat een nieuwe tussenstand bij de zetelverdeling. Zolang er nog restzetels te verdelen zijn, wordt de hierboven beschreven procedure herhaald. Uitgaande van de nieuwe tussenstand wordt dan wederom in gedachten bij elke partij één zetel opgeteld bij het (in de tussenstand) behaalde aantal zetels. Wederom wordt de volgende restzetel toebedeeld aan de partij met het grootste gemiddelde aantal stemmen per zetel. De systematiek voor de restzetelverdeling kan er toe leiden dat een partij meer dan één restzetel behaalt.
35pLaat met berekeningen zien dat de eerste restzetel werd toegewezen aan
GroenLinks.
De laatste restzetel werd toebedeeld aan de PvdA. Daaruit kun je concluderen
dat de PvdA bij de verdeling van de laatste restzetel (dus bij de laatste
tussenstand) 9 zetels had en de VVD 5 zetels. De berekening van de
gemiddelde aantallen stemmen per zetel laat zien waarom de laatste restzetel
naar de PvdA gaat en niet naar de VVD:
.
Veronderstel nu eens dat een aantal mensen niet op de PvdA maar op de VVD
gestemd zou hebben. Als dat aantal voldoende groot is, zou de VVD de laatste
restzetel hebben gekregen.
45pBereken hoe groot het bedoelde aantal ten minste moet zijn.
opgave 2Rijexamen
Door het CBR (Centraal Bureau
Rijvaardigheidsbewijzen) worden jaarlijks
ruim 400 000 examens voor een rijbewijs
voor personenauto’s afgenomen. Dit
examen bestaat uit twee delen: een
theorie-examen en een praktijkexamen. Je
moet eerst geslaagd zijn voor het theorie-
examen voordat je mag deelnemen aan
het praktijkexamen.
Vóór 1 oktober 2002 bestond het theorie-examen uit 50 ja/nee-vragen. Een
kandidaat was geslaagd voor het theorie-examen als ten minste
45 ja/nee-vragen goed werden beantwoord.
Hannie Samson wist, tijdens haar theorie-examen, van 41 ja/nee-vragen het
goede antwoord. Door de overige 9 ja/nee-vragen te gokken, had Hannie
Samson toch een kans om te slagen.
55pBereken deze kans. Geef je antwoord in 2 decimalen nauwkeurig.
Sinds 1 oktober 2002 is het theorie-examen vernieuwd. In het nieuwe theorie-
examen zitten bij de 50 vragen niet alleen ja/nee-vragen maar ook andersoortige
vragen zoals open vragen en/of driekeuzevragen. Ook nu is een kandidaat
geslaagd voor het theorie-examen als ten minste 45 vragen goed worden
beantwoord.
Herman Spiering doet een theorie-examen dat bestaat uit 40 ja/nee-vragen en
7 driekeuzevragen en 3 open vragen. Hij weet alleen het goede antwoord van
36 ja/nee-vragen en 6 driekeuzevragen. De 3 open vragen heeft hij in ieder
geval fout. Van de resterende vragen moet Herman het antwoord gokken.
Herman kan nog slagen voor dit examen. Dan moet hij ten minste drie van de
vier resterende ja/nee-vragen goed gokken of hij moet twee van de vier
resterende ja/nee-vragen én de resterende driekeuzevraag goed gokken.
64pBereken de kans dat Herman zal slagen voor dit theorie-examen. Geef je
antwoord in 2 decimalen nauwkeurig.
Als je slaagt voor het theorie-examen mag je praktijkexamen doen. Als je zakt
voor je praktijkexamen, kun je enige maanden later opnieuw praktijkexamen
doen. Sommige kandidaten zakken meerdere keren voor het praktijkexamen.
Het CBR houdt gegevens bij over de slaag- en zakcijfers van de kandidaten die
opgaan voor het rijexamen. Uit de gegevens van het CBR blijkt dat een
kandidaat steeds dezelfde kans heeft om te slagen voor het praktijkexamen.
Hierbij speelt het dus geen rol of die kandidaat voor de eerste keer examen doet
of al één of meer keren gezakt is. Verder blijkt dat 11% van alle kandidaten na 4
keer nog steeds niet is geslaagd voor het praktijkexamen.
Op basis van deze gegevens kun je nu berekenen hoe groot de kans is dat
iemand de eerste keer al slaagt voor het praktijkexamen.
74pBereken deze kans. Geef je antwoord in 2 decimalen nauwkeurig.
Bij het CBR bestaat het rijexamen voor de motor ook uit een theorie-examen en
een praktijkexamen. Volgens de gegevens van het CBR slaagt landelijk 65,5%
van alle kandidaten bij de eerste keer voor het praktijkexamen voor de motor.
Onlangs is een rijschool gestart die gespecialiseerd is in motorrijlessen. Van de
eerste 20 cursisten die de rijschool heeft opgeleid, zijn er 17 de eerste keer
geslaagd voor hun praktijkexamen. De rijschoolhouder vraagt zich af of dit een
significant beter resultaat is dan het landelijke slagingspercentage.
86pOnderzoek of de rijschoolhouder mag concluderen dat zijn rijschool een
significant beter resultaat heeft behaald, vergeleken met het landelijke cijfer.
Gebruik daarbij een significantieniveau van 1%.
opgave 3Gevoelstemperatuur
Wanneer de temperatuur buiten 19 °C is en er geen wind staat, dan ervaren we
dat als een lekkere temperatuur. Als er echter bij een temperatuur van 19 °C
een flinke wind staat, dan vinden we het helemaal niet meer behaaglijk. Door de
wind koelt het lichaam sneller af waardoor je het gevoel krijgt dat het kouder is
dan in werkelijkheid: de gevoelstemperatuur is in dat geval lager dan de
werkelijke temperatuur.
De gevoelstemperatuur wordt lager naarmate de windsnelheid toeneemt. In
deze opgave bekijken we een tweetal modellen waarbij de gevoelstemperatuur
wordt bepaald aan de hand van de werkelijke temperatuur en de windsnelheid.
Het ene model is in 1948 gemaakt door de meteoroloog Court. De formule die bij
dit model hoort is als volgt:
In deze formule is GC de gevoelstemperatuur in °C, T de werkelijke temperatuur
in °C en w de windsnelheid in m/s. De formule is geldig voor windsnelheden
groter dan 1,8 m/s en voor werkelijke temperaturen beneden 33 °C.
Bij een werkelijke temperatuur van 20 °C en een windsnelheid van 12 m/s hoort
een bepaalde gevoelstemperatuur. Die gevoelstemperatuur is gelijk aan de
gevoelstemperatuur die hoort bij een werkelijke temperatuur van 16 °C en een
lagere windsnelheid.
95pBereken die lagere windsnelheid.
Het model van Court is niet het eerste model in formulevorm. In 1945 maakten
de wetenschappers Siple en Passel al een ander model. Bij hun model hoort de
volgende formule:
Hierin is GS&P de gevoelstemperatuur in °C volgens het model van Siple en
Passel; de betekenis van de overige letters is hetzelfde als bij de formule van
Court. Ook de formule van Siple en Passel is geldig voor windsnelheden groter
dan 1,8 m/s en temperaturen beneden 33 °C.
We willen weten in hoeverre de formule van Court nu eigenlijk verschilt van die
van Siple en Passel. In deze opgave beperken we dit onderzoek tot de situatie
waarbij de werkelijke temperatuur 0 °C is. In dat geval wordt het verband tussen
Volgens Court wordt in dat geval het verband tussen de windsnelheid en de
gevoelstemperatuur gegeven door:
Om een indruk te krijgen zijn in figuur 1 de grafieken afgebeeld die bij deze
formules horen.
figuur 1
verband tussen windsnelheid en gevoelstemperatuur volgens Court en volgens
Siple en Passel bij een werkelijke temperatuur van 0 °C
Je kunt zien dat de formule van Siple en Passel en de formule van Court voor
windsnelheden kleiner dan 6 m/s ongeveer dezelfde gevoelstemperatuur
opleveren.
103pBereken bij welke windsnelheid de laatste twee formules precies dezelfde
gevoelstemperatuur geven. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
Je kunt in figuur 1 aan de vorm van de grafiek van de formule van Court zien dat
deze formule boven een bepaalde windsnelheid niet meer realistisch kan zijn.
116pBereken met behulp van de afgeleide functie vanaf welke windsnelheid de
formule van Court (bij een temperatuur van 0 °C) in elk geval niet meer
realistisch is. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
opgave 4Honingbijen
Biologen verrichten veel onderzoek bij diverse diersoorten. Vaak maken zij
gebruik van wiskundige modellen om het gedrag van de betreffende diersoort te
beschrijven. Daarover gaat deze opgave.
Dansende bijen
De honingbij (Apis Mellifera) verzamelt nectar van bloemen om honing van te
maken. Soms halen de honingbijen de nectar van grote afstand.
Apis Mellifera, de honingbij
Honingbijen geven elkaar informatie over de afstand tot de voedselbron door
zogenoemde kwispeldansen uit te voeren. Het aantal kwispeldansen dat een
honingbij per minuut maakt is een maat voor de afstand. Voor afstanden tussen
de afstand tot de voedselbron in kilometers en y het aantal kwispeldansen per
minuut.
Een honingbij die een nieuwe voedselbron heeft ontdekt, maakt
16 kwispeldansen per minuut.
123pBereken de afstand tot deze voedselbron in meters nauwkeurig.
Een honingbij heeft een voedselbron ontdekt en maakt kwispeldansen om
andere honingbijen te informeren over de afstand. Een andere honingbij heeft
een andere voedselbron ontdekt die 1 kilometer dichterbij is. Deze honingbij
maakt per minuut 40% meer kwispeldansen dan de eerste honingbij. Met behulp
van de formule kun je berekenen om welke twee afstanden het hier gaat.
135pBereken deze twee afstanden.
Tastende bijen
Honingbijen blijken gedrag te kunnen aanleren. De bioloog J. Erber heeft daar
onderzoek naar gedaan. In zijn experiment krijgt een aantal honingbijen een
voorwerp voor zich geplaatst. Een honingbij die het voorwerp betast, wordt
beloond met een suikeroplossing. De honingbij maakt dan een strekbeweging
om de suikeroplossing op te zuigen. Direct daarna wordt het voorwerp
weggehaald.
Na 5 minuten wordt het voorwerp weer teruggeplaatst: de 1e conditionering.
Sommige honingbijen maken dan een strekbeweging. Deze worden direct
beloond. De honingbijen die geen strekbeweging maken, worden pas beloond
nadat ze het voorwerp hebben betast. In beide gevallen wordt het voorwerp
weggehaald zodra de honingbij beloond is.
Na weer 5 minuten wordt het voorwerp opnieuw teruggeplaatst – de
2e conditionering – en wordt het hierboven beschreven proces herhaald.
Iedere keer telt men hoeveel procent van de honingbijen direct uit zichzelf
strekbewegingen maakt. Zo vertoont bijvoorbeeld bij de 2e conditionering
ongeveer 10% van de honingbijen een strekbeweging. Bij de 3e conditionering is
dat ongeveer 20%.
Het percentage honingbijen dat een strekbeweging maakt, blijkt te verlopen
volgens de recurrente betrekking:
P(n) = 4,0 + 1,6 ⋅ P(n − 1) − 0,012 ⋅ (P(n −1))2 met P(0) = 0
Hierin is P(n) het percentage bijen dat tijdens de n-de conditionering een
strekbeweging maakt.
144pBereken met de recurrente betrekking hoeveel procent van de honingbijen
tijdens de 5e conditionering een strekbeweging maakt.
Uit experimenten blijkt dat lang niet alle bijen de strekbeweging zullen gaan
maken. Daarom zal de bovenstaande recurrente betrekking een grenswaarde
moeten hebben die kleiner is dan 100.
154pOnderzoek of dit zo is door de grenswaarde van de recurrente betrekking te
berekenen.
Nadat de bijen aan 15 conditioneringen zijn onderworpen, wordt het experiment
vervolgd met conditioneringen zonder beloning. De aangeleerde neiging om een
strekbeweging te maken, neemt dan af. Deze afname tijdens de
conditioneringen zonder beloning (dus voor n = 16, 17, 18, enzovoort) blijkt
exponentieel te verlopen en wel zodanig dat per 7 conditioneringen het aantal
bijen dat nog reageert met een strekbeweging halveert. Dit betekent dat het
verloop van het percentage honingbijen dat nog een strekbeweging maakt,
geschreven kan worden in de vorm van een recurrente betrekking:
P(n + 1) = a ⋅ P(n) met n ≥ 16. Hierin is a een constant (dus vast) getal.
164pBereken a in twee decimalen nauwkeurig.
opgave 5IQ
Een maat voor iemands intelligentie is het zogenaamde IQ (Intelligentie
Quotiënt). Hoe intelligenter een persoon is, hoe hoger zijn/haar IQ is. Het IQ is
bij benadering normaal verdeeld.
In deze opgave nemen we aan dat het IQ van een Nederlander normaal
verdeeld is met een gemiddelde waarde van 100 en een standaardafwijking
van 15.
Van een groot aantal mensen in 25 verschillende beroepsgroepen is het IQ
gemeten. Voor elke beroepsgroep is vervolgens het gemiddelde IQ en de
standaardafwijking bepaald. Deze waarden zijn uitgezet met stippen in de
grafiek van figuur 2. Bij elke beroepsgroep hoort dus een stip.
figuur 2
We nemen aan dat binnen elke beroepsgroep het IQ van een persoon uit die
beroepsgroep normaal verdeeld is. In figuur 2 is duidelijk te zien dat naarmate
het gemiddelde IQ van een beroepsgroep groter is, de standaardafwijking
kleiner is. Door de puntenwolk in de grafiek van figuur 2 kan een zo goed
mogelijk passende rechte lijn worden getrokken. De formule voor deze lijn luidt:
σ = 45,5 – 0,272 ⋅ μ. Hierin is σ de standaardafwijking en μ het gemiddeld IQ van
een beroepsgroep.
Twee beroepsgroepen blijken een gemiddeld IQ van 110,6 en 115,3 te hebben.
Beide beroepsgroepen zijn niet opgenomen in figuur 2. We veronderstellen
echter dat ook voor deze beroepsgroepen de formule van de lijn gebruikt mag
worden.
173pBereken hoeveel de bijbehorende standaardafwijkingen volgens de formule van
de lijn van elkaar verschillen.
In het vervolg van de opgave gaan we er omwille van de eenvoud vanuit dat de
formule σ = 45,5 – 0,272 ⋅ μ exact klopt voor waarden van μ tussen 80 en 140.
Uitgaande van de normale verdeling kunnen we met deze formule voor elke
waarde van het gemiddelde μ berekenen hoe groot de kans is dat een persoon
uit een beroepsgroep met dat gemiddelde een IQ heeft dat groter is dan 80, 85,
90, …, 135, 140. Het resultaat van deze berekeningen is grafisch weergegeven
in figuur 3.
figuur 3
Bij punt A lezen we af dat de kans ongeveer 0,7 is dat een persoon uit een
beroepsgroep met gemiddeld IQ van 122 een IQ heeft dat groter is dan 115.
Ofwel in formulevorm:
P(IQ > 115) ≈ 0,7, waarbij μ = 122.
Uitgaande van het verband σ = 45,5 – 0,272 ⋅ μ kunnen we deze kans
nauwkeuriger berekenen.
184pBereken deze kans. Geef je antwoord in 3 decimalen nauwkeurig.
Uit een grote beroepsgroep met een gemiddeld IQ van 110 worden willekeurig
vier personen geselecteerd. We willen de kans weten dat alle vier personen een
IQ hebben dat groter is dan 120. Deze kans kun je berekenen als je de kans
weet dat één willekeurig persoon uit deze beroepsgroep een IQ groter dan 120
heeft. Deze laatste kans kun je aflezen uit figuur 3. Figuur 3 staat ook, vergroot,
op de uitwerkbijlage.
193pBereken op bovenstaande wijze de kans dat alle vier personen een IQ hebben
groter dan 120.
Een vuistregel van de normale verdeling zegt dat 68% van de gegevens ligt
tussen de waarde μ – σ en de waarde μ + σ. Deze vuistregel zou ook in figuur 3
terug te vinden moeten zijn.
205puitwerkbijlageLaat zien dat deze vuistregel is terug te vinden in de grafieken van figuur 3. Doe
dit op de uitwerkbijlage voor personen uit een beroepsgroep met een gemiddeld
IQ van 120. Licht je werkwijze toe.
