bij dit examen
FORMULEBLAD Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen a b 2 × 2 kruistabel , met c d − als phi < − 0,4 of phi > 0,4 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als − 0,4 ≤ phi < − 0,2 of 0,2 < phi ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als − 0,2 ≤ phi ≤ 0,2 , dan zeggen we “het verschil is gering”. Maximaal verschil in cumulatief percentage ( max V cp ) (met voor beide groepen een steekproefomvang n > 100 ) − als max V cp > 40 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als 20 < max V cp ≤ 40 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als max V cp ≤ 20 , dan zeggen we “het verschil is gering”. X 1 − X 2 Effectgrootte E = 1 , met X 1 en X 2 de steekproefgemiddelden 2 ( S 1 + S 2 ) ( X 1 ≥ X 2 ), S 1 en S 2 de steekproefstandaardafwijkingen − als E > 0,8 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als 0,4 < E ≤ 0,8 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als E ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is gering”. Twee boxplots vergelijken − als de boxen 1) elkaar niet overlappen, dan zeggen we “het verschil is groot”, − als de boxen elkaar wel overlappen en een mediaan van een boxplot buiten de box van de andere boxplot ligt, dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − in alle andere gevallen zeggen we “het verschil is gering”. noot 1 De ‘box’ is het interval vanaf het eerste kwartiel tot en met het derde kwartiel.
opgave 1Visus
Om te bepalen hoe goed iemands ogen functioneren, wordt vaak
gebruikgemaakt van de Snellenkaart. De letters op deze kaart moeten
vanaf een afstand van 20 feet (ongeveer 6 meter) worden gelezen.
Zie de figuur.
figuur
De visus is een maat voor de gezichtsscherpte. Deze maat kan met
behulp van de Snellenkaart worden uitgedrukt in een score S. Iemand met
normaal functionerende ogen kan de letters op regel 8 nog wel lezen,
maar de letters op regel 9 niet meer. Bij normaal functionerende ogen
hoort een score
. Als een persoon nog kleinere letters kan
lezen, dan is de score S groter dan 1. Bij de onderste regel 11 hoort
bijvoorbeeld de score
.
Iemand met S = 0,5 moet alles van tweemaal zo dichtbij bekijken om
hetzelfde op de Snellenkaart te kunnen zien als iemand met S = 1.
Iemand met S = 0,1 moet tienmaal zo dichtbij staan, enzovoort.
Klaas en Lidy laten hun visus meten. Klaas kan regel 2 nog wel lezen,
maar regel 3 niet meer. Lidy kan regel 7 nog wel lezen, maar regel 8 niet
meer.
13pRekenen met een gegeven formule 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken hoeveel keer zo dicht Klaas bij de Snellenkaart moet staan als
Lidy om hetzelfde te kunnen lezen als Lidy.
Er zijn meerdere maten voor de gezichtsscherpte. Voorbeelden hiervan
zijn de logMAR-schaal1) en de ETDRS-letterscore2).
Het verband tussen de score S volgens de Snellenkaart en de score M op
de logMAR-schaal wordt gegeven door formule 1. Voor het verband
tussen de score S en de ETDRS-letterscore E geldt formule 2:
(formule 1)
(formule 2)
De Wereldgezondheidsorganisatie noemt mensen met een score S tussen
0,05 en 0,3 slechtziend.
33pRekenen met een gegeven formule 3p
Wordt Janne goedgekeurd door het CBR? Licht je antwoord toe met een
berekening.
Aan de hand van formule 1 en formule 2 kan beredeneerd worden dat als
M groter wordt, E kleiner zal worden.
43pRedeneren en uitleggen in de context 3p
Geef deze redenering, zonder gebruik te maken van getallenvoorbeelden.
Door de twee formules te combineren, kan het volgende verband tussen
M en E worden afgeleid:
53pFormules herleiden en omwerken 3p
Leid hieruit een formule af waarbij E wordt uitgedrukt in M.
noot 1 logMAR = Logarithm of the Minimum Angle of Resolution
noot 2 ETDRS = Early Treatment Diabetic Retinopathy Study
opgave 2Klarinet
Een klarinet is een houten
blaasinstrument. Alle mogelijke
tonen die op het instrument kunnen
worden gespeeld, worden samen het
bereik genoemd. Het bereik van een
klarinet is bijna vier octaven. Een
octaaf bestaat uit 12 opeenvolgende
toonafstanden. Zie de tabel.
Elke voorafgaande of opeenvolgende octaaf heeft dezelfde namen voor
de tonen in dat octaaf.
De frequentie van een toon wordt gegeven in hertz (Hz), dit is het aantal
trillingen per seconde. Bij een hogere toon hoort een hogere frequentie.
Als je eenzelfde toon één octaaf hoger speelt, wordt de frequentie twee
keer zo groot. Er bestaat een exponentieel verband tussen de frequenties
en de tonen in de tabel: van elke volgende toon neemt de frequentie met
een vast percentage toe. In de tabel zie je van enkele tonen de
frequenties.
tabel Voorbeeld van een octaaf
In de tabel is de frequentie van de D-toon afgerond op hele Hz.
64pExponentiële functies en groei 4p
Bereken op basis van de frequenties van de A-tonen uit de tabel de
frequentie van de D-toon. Geef je antwoord in één decimaal.
In de figuur wordt op een logaritmische schaalverdeling het bereik van
verschillende instrumenten aangegeven.
figuur
De laagste toon die een klarinet kan laten horen is een D. De hoogste
toon is een A.
73pExponentiële functies en groei 2p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Bereken aan de hand van bovenstaande gegevens, de tabel en de figuur
de laagste en de hoogste frequentie die een klarinet kan bereiken. Geef je
antwoorden in een geheel aantal Hz.
Een klarinettist moet altijd eerst een korte tijd inspelen om de klarinet op
een vaste temperatuur van 31 °C te brengen. Als de klarinet koud is,
klinken de tonen namelijk lager dan als de klarinet warm is. Dit komt
omdat de snelheid van het geluid afhankelijk is van de temperatuur. Dit
verband wordt gegeven door de formule:
Hierin is v de snelheid van het geluid (in m/s) en T de temperatuur (in °C).
Met de formule kun je bijvoorbeeld berekenen dat bij een temperatuur van
20 °C de snelheid van het geluid ongeveer 342 m/s is. Bij een
temperatuur van 31 °C is deze snelheid ongeveer 349 m/s.
84pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 3p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken hoeveel graden de temperatuur moet toenemen om de snelheid
van het geluid te laten stijgen van 339 m/s naar 349 m/s. Geef je
antwoord in een geheel aantal graden.
Een toon van de klarinet is te horen als er lucht in de klarinetbuis in trilling
gebracht wordt. Door tijdens het spelen gaatjes in de klarinetbuis open of
dicht te doen, verandert de lengte L van het gedeelte van de klarinetbuis
waarin de lucht trilt. De frequentie van een toon die op een klarinet
gespeeld wordt, kun je berekenen met de formule:
Hierin is f de frequentie van de toon (in Hz), v de snelheid van het geluid
in de klarinet (in m/s) en L de lengte van het gedeelte van de klarinetbuis
waarin de lucht trilt (in m).
Els speelt op haar klarinet met de eerder genoemde temperatuur van
31 °C een toon die klinkt met een frequentie van precies 440 Hz. Deze
toon had bij het begin van het inspelen op de klarinet met een
temperatuur van 20 °C een andere frequentie dan nu de klarinet een
temperatuur van 31 °C heeft.
opgave 3De voorsteekpas1)
In de zomermaanden worden pretparken druk bezocht. De wachttijden
voor de attracties kunnen dan sterk oplopen. De wachttijd voor een
attractie kan berekend worden met de formule:
Hierin is W de gemiddelde wachttijd van een
willekeurige bezoeker in minuten en r de
bezettingsgraad van de attractie (0 < r < 1).
Als voor de bezettingsgraad bijvoorbeeld geldt
dat r = 0,85, betekent dit dat gemiddeld 85% van
de plaatsen in de attractie bezet is.
S is de bedieningstijd per bezoeker in seconden.
Als bijvoorbeeld een attractie elke 10 minuten
100 bezoekers kan bedienen, geldt:
.
In Walibi Belgium is de achtbaan Vampire een populaire attractie, die in
de zomermaanden een bezettingsgraad van 98% heeft. De Vampire kan
iedere vier minuten 80 bezoekers bedienen.
103pRekenen met een gegeven formule 3p
Bereken hoeveel minuten de gemiddelde wachttijd van een bezoeker voor
de Vampire in de zomermaanden is.
In de zomer van 2013 introduceerde Walibi Belgium een zogenoemde
voorsteekpas. Met deze pas kan een bezoeker voorrang krijgen bij de
attracties. Daardoor zal de wachttijd voor een bezoeker zonder deze pas
langer worden.
Er zijn nu twee formules voor de wachttijd voor een attractie, namelijk een
formule voor de gemiddelde wachttijd Wp in minuten van een bezoeker
met de voorsteekpas en een formule voor de gemiddelde wachttijd Wz in
minuten van een bezoeker zonder voorsteekpas:
en
Hierin is a het gedeelte van de bezoekers met een voorsteekpas
(0 < a < 1).
noot 1 ‘Voorsteken’ is een Vlaams woord voor ‘inhalen, voordringen’.
Een andere bekende attractie van Walibi Belgium is de Cobra. Deze
attractie heeft een bezettingsgraad van 95% (dus r = 0,95) en een
bedieningstijd van 6 seconden per bezoeker (dus S = 6).
Op 6 juli 2013 kocht 10% van de bezoekers een voorsteekpas, dus
a = 0,10.
114pRekenen met een gegeven formule 4p
Bereken voor deze dag het verschil in wachttijd bij de Cobra tussen
bezoekers zonder voorsteekpas en bezoekers met voorsteekpas. Geef je
antwoord in gehele minuten.
De wachttijd van de bezoekers zonder voorsteekpas wordt groter als meer
bezoekers een voorsteekpas kopen.
De directie van Walibi Belgium wil dat de wachttijd van bezoekers zonder
voorsteekpas bij de Cobra maximaal 80 minuten is.
opgave 4Nibud Scholierenonderzoek
Het Nibud Scholierenonderzoek brengt het financiële gedrag van
scholieren in het voortgezet onderwijs in kaart.
De populatie van dit onderzoek bestaat uit alle vmbo-, havo- en vwo-
scholieren in de leeftijd van 12 tot en met 18 jaar. Van een aselecte
steekproef van 3260 scholieren uit de populatie zijn gegevens
beschikbaar gekomen via online vragenlijsten. We gaan ervan uit dat
deze steekproef representatief is.
1530 scholieren in de steekproef hebben een bijbaantje.
143pStatistische uitspraken en groepen vergelijken 3p
Bereken het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de populatieproportie
scholieren met een bijbaantje. Geef de getallen in je antwoord in twee
decimalen.
In het rapport staat een tabel met informatie over het gemiddeld aantal
uren per week dat een scholier met een bijbaantje werkt (zie tabel 1).
tabel 1 Bijbaan: gemiddeld aantal uren per week
Als je met behulp van het formuleblad een uitspraak wilt doen over het
verschil tussen havo bovenbouwscholieren met een bijbaantje en vwo
bovenbouwscholieren met een bijbaantje in het aantal uren dat zij werken,
dan heb je meer informatie of misschien wel heel andere informatie nodig
dan die in tabel 1 staat.
154pBeschrijf twee manieren om met behulp van het formuleblad een uitspraak te
doen over dit verschil tussen deze twee groepen, en geef voor beide
manieren aan welke informatie je dan (extra) nodig hebt.
In de steekproef bedroeg het gemiddelde inkomen van een scholier met
een bijbaantje 112 euro per maand. De mediaan was 65 euro. In de figuur
zie je drie frequentieverdelingen afgebeeld waarvan er één de
frequentieverdeling van het inkomen per maand van een scholier met een
bijbaantje in de steekproef weergeeft.
figuur
162pCentrum, spreiding en verdelingen 2p
Welke van de drie frequentieverdelingen is dat? Licht je antwoord toe.
Het Nibud wil het inkomen van scholieren met een bijbaantje ook per
onderwijsniveau in kaart brengen. Dat hebben ze gedaan door tabel 2 in
hun onderzoeksrapport te zetten.
tabel 2 Bijbaan: inkomen (in euro) per maand van 15- en 16-jarigen
Deze tabel is gebaseerd op scholieren in de steekproef die 15 of 16 jaar
zijn.
172pData presenteren en beoordelen 2p
Leg uit waarom men niet heeft gekozen voor scholieren in de steekproef
die 17 of 18 jaar zijn.
Voor het laatste onderdeel van deze opgave kijken we niet naar het
inkomen van scholieren, maar naar een aspect van de uitgaven van
scholieren. Dit aspect betreft de vraag hoe vaak scholieren spijt hebben
na het doen van een aankoop. Van 1200 aselect gekozen respondenten
(600 jongens en 600 meisjes) is bekend hoe vaak zij spijt hebben na het
doen van een aankoop. De resultaten zijn weergegeven in een relatieve
frequentietabel, zie tabel 3.
tabel 3 Spijt na het doen van een aankoop
185pStatistische uitspraken en groepen vergelijken 5p
Onderzoek met behulp van het formuleblad of het verschil tussen jongens
en meisjes in hoe vaak zij spijt hebben na het doen van een aankoop
gering, middelmatig of groot is.
Ga verder op de volgende pagina.
opgave 5Postzegels
Mensen sturen steeds minder brieven en kaarten. Postzegels zijn in
Nederland de afgelopen jaren flink duurder geworden. Elk jaar op
1 januari wordt de prijs zo nodig aangepast.
In de figuur zie je de postzegelprijs (in centen) en het aantal
brieven/kaarten (in miljarden) dat bezorgd werd in de jaren 2005-2016.
figuur
Je kunt in de figuur bijvoorbeeld aflezen dat op 1 januari 2007 de
postzegelprijs 44 cent was en dat er in het jaar 2007 4,8 miljard
brieven/kaarten werden bezorgd.
Op 1 januari 2010 kostte een postzegel 44 cent. Op 1 januari 2014 was de
prijs gestegen tot 64 cent. Veronderstel dat in de periode 2010-2014 de
postzegelprijs exponentieel groeide.
194pExponentiële functies en groei 4p
Bereken met de bovengenoemde gegevens uit 2010 en 2014 het jaarlijkse
groeipercentage van de postzegelprijs. Geef je antwoord in één decimaal.
In de periode 2010-2016 nam het aantal brieven/kaarten dat jaarlijks werd
bezorgd bij benadering lineair af. Er werd in 2016 voorspeld dat deze
afname zich nog een aantal jaren op deze manier zou voortzetten.
204pLineaire functies 3p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Bereken met de aantallen uit 2010 en 2016 hoeveel miljard
brieven/kaarten er in 2020 volgens deze voorspelling bezorgd zouden
worden. Geef je antwoord in één decimaal.
In de tabel zie je voor 2015 en 2016 onder andere het aantal bezorgde
brieven/kaarten en de bijbehorende opbrengst. Dit is het totale bedrag dat
aan postzegels is verkocht dat op al die brieven/kaarten is geplakt. De
opbrengst in 2016 was lager dan die in 2015, ondanks de verhoging van
de postzegelprijs van € 0,69 naar € 0,73.
tabel
Voor het versturen van brieven/kaarten tot 20 gram heb je 1 postzegel
nodig. Voor het versturen van brieven/kaarten vanaf 20 gram tot 50 gram
moet je 2 postzegels plakken, en vanaf 50 tot 100 gram 3 postzegels.
Neem aan dat op alle brieven/kaarten maximaal 3 postzegels zijn geplakt.
212pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p
Leg met behulp van de tabel uit dat op een deel van de brieven/kaarten in
2015 meer dan 1 postzegel moet zijn geplakt.
Neem aan dat in 2016 op 88% van de brieven/kaarten 1 postzegel werd
geplakt en op de overige brieven/kaarten 2 of 3 postzegels.
Je kunt dan met behulp van de tabel de volgende vergelijking opstellen
om het aantal brieven/kaarten met 2 postzegels te berekenen:
0,73 ⋅1947,44 + 1,46 ⋅ x + 2,19 ⋅ (265,56 − x) = 1877
Hierin is x het aantal brieven/kaarten met 2 postzegels in miljoenen.
opgave 63p 22 Leg met berekeningen uit hoe je aan de getallen 1947,44 en 1,46 en 2,19
en 265,56 in deze vergelijking kunt komen.
opgave 7Fijnstofemissie
In het rapport Transport en Mobiliteit
2016 van het Centraal Bureau voor de
Statistiek staat informatie over de
fijnstofemissie (dit is de hoeveelheid
fijnstof die vrijkomt) door het vervoer
over de weg, uitgesplitst naar
personenvervoer en goederenvervoer.
Deze hoeveelheid wordt bepaald
door het aantal gereden kilometers
te vermenigvuldigen met de
fijnstofemissie per gereden kilometer.
In 1990 was het aantal gereden kilometers door het personenvervoer
103 200 miljoen en door het goederenvervoer 16 800 miljoen. In 2014 is
het aantal gereden kilometers voor het personenvervoer twee keer zo
groot geworden als in 1990 en het aantal gereden kilometers voor het
goederenvervoer drie keer zo groot. Ondanks de toename van het aantal
gereden kilometers is de totale fijnstofemissie door het wegvervoer in
2014 aanzienlijk minder dan in 1990. Dit komt vooral door het gebruik van
betere motoren.
Er moet worden onderzocht met hoeveel procent de totale emissie van
fijnstof door het wegvervoer in de periode 1990 tot en met 2014 is
gedaald. Daarvoor moeten bovenstaande gegevens over het aantal
gereden kilometers en onderstaande aannames over de fijnstofemissie
per gereden kilometer worden gebruikt.
In 1990 kwam er gemiddeld genomen bij het personenvervoer per
gereden kilometer 0,08 gram fijnstof vrij. Voor het goederenvervoer was
dit toen 0,58 gram. In de periode 1990 tot en met 2014 daalde de
fijnstofemissie bij het personenvervoer elk jaar met 0,003 gram per
gereden kilometer. In dezelfde periode daalde de fijnstofemissie per
gereden kilometer bij het goederenvervoer met 9% per jaar.
246pProcenten, verhoudingen en eenheden 4p · Lineaire functies 1p · Exponentiële functies en groei 1p
Onderzoek met behulp van bovenstaande gegevens en aannames met
welk percentage de totale emissie van fijnstof door het wegvervoer in
2014 is gedaald ten opzichte van 1990. Geef je antwoord in hele
procenten.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift, dat na afloop van het examen wordt gepubliceerd.
