bij dit examen
FORMULEBLAD Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen a b 2 × 2 kruistabel , met c d − als phi < − 0,4 of phi > 0,4 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als − 0,4 ≤ phi < − 0,2 of 0,2 < phi ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als − 0,2 ≤ phi ≤ 0,2 , dan zeggen we “het verschil is gering”. Maximaal verschil in cumulatief percentage ( max V cp ) (met steekproefomvang n > 100 ) − als max V cp > 40 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als 20 < max V cp ≤ 40 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als max V cp ≤ 20 , dan zeggen we “het verschil is gering”. X 1 − X 2 Effectgrootte E = 1 , met X 1 en X 2 de steekproefgemiddelden 2 ( S 1 + S 2 ) ( X 1 ≥ X 2 ), S 1 en S 2 de steekproefstandaardafwijkingen − als E > 0,8 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als 0,4 < E ≤ 0,8 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als E ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is gering”. Twee boxplots vergelijken − als de boxen 1) elkaar niet overlappen, dan zeggen we “het verschil is groot”, − als de boxen elkaar wel overlappen en een mediaan van een boxplot buiten de box van de andere boxplot ligt, dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − in alle andere gevallen zeggen we “het verschil is gering”. noot 1 De ‘box’ is het interval vanaf het eerste kwartiel tot en met het derde kwartiel.
opgave 1Stil asfalt
Wie naast een snelweg woont, heeft bijna altijd
te maken met overlast door de
geluidsintensiteit van het verkeer. De laatste
jaren probeert men deze overlast te beperken,
onder andere door het aanleggen van
zogenaamd stil asfalt.
Met de volgende formule kan de
geluidsintensiteit I worden berekend als
bekend is hoeveel decibel (dB) geluid er wordt geproduceerd.
I = 100,1d−9
Hierin is d de hoeveelheid geproduceerd geluid in dB en is I de
geluidsintensiteit in milliwatt per m2.
Een weggedeelte wordt opnieuw geasfalteerd, waarbij het oude asfalt
wordt vervangen door stil asfalt. De hoeveelheid geproduceerd geluid
daalt daardoor van 80 dB naar 74 dB.
14pRekenen met een gegeven formule 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 2p
Bereken met hoeveel procent de geluidsintensiteit afneemt. Geef je
antwoord in hele procenten.
Uit metingen blijkt dat de hoeveelheid geproduceerd geluid op stil asfalt
door de jaren heen stijgt. Dit komt onder andere door slijtage van het
asfalt. In de figuur zijn de resultaten van een aantal metingen
weergegeven.
figuur
De meetgegevens liggen op en rond de lijn die door de punten
en
gaat. De formule van deze lijn is
d = a ⋅ t + 73,7. Hierin is
d de hoeveelheid geproduceerd geluid in dB, t de tijd in maanden na het
aanleggen van stil asfalt en a een constant getal.
Afgerond op twee decimalen geldt a = 0,04. De waarde van a kan
nauwkeuriger berekend worden.
22pLineaire functies 2p
Bereken a met behulp van de gegeven punten. Geef je antwoord in drie
decimalen.
Je kunt de formule van d invullen in de formule van I. Dan ontstaat een
nieuwe formule waarin de geluidsintensiteit I uitgedrukt is in het aantal
maanden t na het aanleggen van stil asfalt. Deze formule luidt:
I = 100,1(0,04t+73,7)−9
Stil asfalt moet volgens planning worden vervangen als de
geluidsintensiteit I volgens de formule groter wordt dan 0,058 milliwatt
per m2.
opgave 2Homeopathische middelen
Homeopathische middelen worden
gemaakt uit grondstoffen die worden
gehaald uit planten, dieren of mineralen.
Uit deze grondstoffen wordt allereerst een
basisstof gemaakt, de zogenoemde
oertinctuur.
Oertinctuur is echter nog niet geschikt
voor gebruik. Daarvoor moet deze een
aantal keren verdund worden. Na deze verdunningen ontstaat dan een
homeopathisch middel dat gereed is voor gebruik.
Voor het verdunnen worden verschillende verdunningsreeksen gebruikt.
Zie de tabel.
tabel
Om aan te geven welke verdunningen een oertinctuur ondergaan heeft,
voegt men aan de Latijnse naam van het homeopathische middel een
letter en een getal toe. Zo bestaat bijvoorbeeld het middel Arnica D3.
De toevoeging D3 geeft aan dat de oertinctuur Arnica driemaal een
verdunning van 1: 10 heeft ondergaan. Het homeopathisch middel
Arnica D3 bestaat dus voor 1/1000e deel uit de oertinctuur Arnica.
43pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken welk deel van het homeopathisch middel Sulphur C6 uit de
oertinctuur Sulphur bestaat.
Naast de D-reeks zijn er ook de C-reeks en de LM-reeks.
In de C-reeks is er sprake van verdunningen waarin bij elke
verdunningsstap de hoeveelheid oertinctuur in het middel 99% minder
wordt.
In de LM-reeks is er sprake van verdunningen waarin bij elke
verdunningsstap de hoeveelheid oertinctuur in het middel 99,998% minder
wordt.
53pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p · Exponentiële functies en groei 1p
Bereken welk getal er in de tabel op de puntjes moet komen te staan.
In de D-reeks wordt het percentage oertinctuur in een homeopathisch
middel bij elke verdunning tien keer zo klein. Er geldt dus:
Hierin is P het percentage oertinctuur in een homeopathisch middel in de
D-reeks en n het aantal verdunningen dat de oertinctuur ondergaan heeft.
63pFormules herleiden en omwerken 3p
Je kunt de formule van P herleiden tot de volgende formule:
P = 102−n
Geef deze herleiding.
Iemand beweert dat de verdunning van de hoeveelheid
oertinctuur in Arnica montana D12 gelijk is aan de verhouding
van het volume van één waterdruppel tot het volume van
20 olympische zwembaden.
Een waterdruppel bevat ongeveer 0,05 milliliter en een olympisch
zwembad heeft een inhoud van ongeveer 2,5 miljoen liter water.
opgave 3Examenanalyse
Ieder jaar worden de resultaten van de examens door Cito geanalyseerd.
In deze opgave bekijken we de resultaten van twee examens havo 2014
eerste tijdvak, namelijk het examen filosofie en het examen Engels.
Het examen filosofie werd door ongeveer 1500 kandidaten gemaakt.
Cito heeft de resultaten van 950 kandidaten binnengekregen en
geanalyseerd. De resultaten van de analysegroep staan in figuur 1 en in
de tabel op de uitwerkbijlage.
figuur 1
Voor het examen filosofie konden maximaal 44 scorepunten behaald
worden. Zowel in de figuur als in de tabel op de uitwerkbijlage kun je zien
dat de twee zwakste kandidaten in de analysegroep slechts 1 scorepunt
behaalden en dat de beste kandidaat 40 scorepunten behaalde.
Het examen filosofie had een gemiddelde score van 22,5 met een
standaardafwijking van 6,9. We bekijken de zwakste kandidaten in de
analysegroep, met een score die meer dan tweemaal de
standaardafwijking lager ligt dan het gemiddelde.
Als de scores normaal verdeeld zouden zijn, zou je met behulp van een
vuistregel van de normale verdeling kunnen berekenen hoeveel
kandidaten met zo’n score er in de analysegroep waren. De scores zijn
echter niet normaal verdeeld. Het aantal kandidaten met zo’n lage score
in de analysegroep blijkt toch ongeveer gelijk te zijn aan het aantal dat je
op grond van de normale verdeling zou verwachten.
84pCentrum, spreiding en verdelingen 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Toon dit aan.
Van het examen Engels, dat door ruim 56 000 kandidaten is gemaakt, zijn
de resultaten van 45 813 kandidaten geanalyseerd. Deze resultaten staan
in figuur 2 en ook in de tabel op de uitwerkbijlage. Voor dit examen
konden maximaal 47 scorepunten behaald worden. De gemiddelde score
was 35,6 en de standaardafwijking 5,7.
figuur 2
Door gebruik te maken van figuur 2 en de tabel voor Engels op de
uitwerkbijlage kun je berekenen hoe groot het verschil is tussen de modus
en de mediaan van het aantal scorepunten voor het examen Engels.
94pCentrum, spreiding en verdelingen 4p
Bereken dit verschil. Licht je werkwijze toe.
Voor het examen filosofie behaalde 22,8% van de kandidaten in de
analysegroep een onvoldoende (een cijfer lager dan 5,5).
113pStatistische uitspraken en groepen vergelijken 3p
Bereken het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het percentage
kandidaten met een onvoldoende voor filosofie. Geef de grenzen in één
decimaal.
Een Cito-medewerker wil de samenhang tussen de scores van de
examens filosofie en Engels onderzoeken. Zij vraagt zich af of een hoge
score voor filosofie ook een hoge score voor Engels betekent.
123pData presenteren en beoordelen 3p
Welke grafische weergave is daarvoor het meest geschikt en welke extra
informatie is nodig om die grafische weergave te kunnen maken?
Ga verder op de volgende pagina.
opgave 4File voorkomen
Veel verkeersongevallen worden veroorzaakt door auto’s die te dicht op
elkaar rijden. Om ongevallen te voorkomen moeten automobilisten een
minimale afstand tot hun voorganger houden. Men noemt dit de veilige
afstand. Zie de figuur.
figuur
lengteauto = 4,50 meter veiligeafstandAtotdevoorgangerinmeters
hoeveelheidbenodigdwegdekWperautomobilistinmeters
De veilige afstand tussen een auto en zijn voorganger hangt af van de
snelheid waarmee gereden wordt. Als beide auto’s even snel rijden, geldt:
Hierin is v de snelheid van beide auto’s in km per uur en A de veilige
afstand in meters.
Twee auto’s rijden achter elkaar met een snelheid van 93 km per uur. De
afstand tussen de twee auto’s is 50 meter.
133pRekenen met een gegeven formule 3p
Onderzoek of de achterste automobilist minimaal de veilige afstand tot
zijn voorganger aanhoudt.
De veilige afstand wordt groter als de snelheid toeneemt.
143pRedeneren en uitleggen in de context 3p
Beredeneer, zonder getallenvoorbeelden te gebruiken, dat de formule
hiermee in overeenstemming is.
Je kunt de formule van A herleiden tot een vorm zonder haakjes. Met
behulp van de informatie in de figuur kun je vervolgens een formule
opstellen van de hoeveelheid wegdek W in meters die een automobilist
nodig heeft als hij de veilige afstand aanhoudt. We gaan ervan uit dat de
lengte van een auto 4,50 meter is.
De formule van W is te schrijven in de vorm W =... ⋅ v2 +... ⋅ v +...
153pFormules herleiden en omwerken 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Stel de formule van W op en herleid de formule tot de bovenstaande
vorm, waarbij op de puntjes getallen staan. Geef deze getallen in twee
decimalen.
Wegbeheerder Rijkswaterstaat heeft voor een bepaald stuk snelweg een
formule opgesteld voor het maximale aantal auto’s dat in een bepaalde
tijd over dit stuk snelweg kan rijden, de zogenaamde capaciteit C. Deze
formule luidt:
In deze formule is v de snelheid in km per uur en C de capaciteit in aantal
auto’s per uur.
Het blijkt dat volgens de formule de grootste waarde van C op dit stuk
snelweg bereikt wordt bij een vrij lage snelheid.
163pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Redeneren en uitleggen in de context 1p
Bereken bij welke snelheid hiervan sprake is. Geef je antwoord in hele km
per uur.
Als er meer automobilisten van dit stuk snelweg gebruik willen maken dan
volgens de capaciteit C mogelijk is, ontstaat er een file. Dit kan
voorkomen worden als iedereen tijdig zijn snelheid aanpast.
Op matrixborden boven de snelweg geeft Rijkswaterstaat dan een
maximumsnelheid aan (in hele km per uur). Dit is de hoogste snelheid die
voorkomt dat een file ontstaat.
Op dit stuk snelweg moet in de avondspits de capaciteit minimaal
2500 auto’s per uur zijn om een file te voorkomen.
174pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 3p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken welke maximumsnelheid Rijkswaterstaat in deze situatie op de
matrixborden aangeeft.
Rijkswaterstaat heeft op dit stuk snelweg gedurende één maandagmorgen
metingen verricht en bijgehouden hoeveel auto’s er passeerden. In de
tabel zie je de resultaten gedurende één uur. Op dit stuk snelweg is een
maximumsnelheid van 130 km per uur toegestaan.
tabel
aantal aantal aantal tijdsinterval auto’s tijdsinterval auto’s tijdsinterval auto’s 7.00-7.05 uur 73 7.20-7.25 uur 174 7.40-7.45 uur 235 7.05-7.10 uur 104 7.25-7.30 uur 198 7.45-7.50 uur 267 7.10-7.15 uur 142 7.30-7.35 uur 220 7.50-7.55 uur 282 7.15-7.20 uur 189 7.35-7.40 uur 224 7.55-8.00 uur 265
We nemen aan dat het aantal auto’s per tijdsinterval gelijkmatig over het
tijdsinterval verdeeld is. Je kunt dan met behulp van de formule van C
bij benadering vaststellen vanaf welk moment de automobilisten vanwege
de capaciteit een lagere snelheid dan 130 km per uur moesten gaan
aanhouden.
