opgave 1Groeipercentages wereldbevolking
De wereldbevolking is gedefinieerd als het totaal aantal levende mensen
op aarde op een bepaald moment. Het blijkt moeilijk te zijn om op een
bepaald moment de wereldbevolking exact te bepalen, daarom wordt de
wereldbevolking in werkelijkheid altijd geschat. Hierbij worden
verschillende modellen gebruikt. Begin 2019 werd op basis van een van
die modellen de wereldbevolking op 7,67 miljard mensen geschat.
Volgens hetzelfde model zou dat 7,1% zijn van het totaal aantal mensen
dat tot dan toe ooit op aarde had geleefd.
12pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p
Bereken hoeveel mensen er volgens dit model tot 2019 ooit op aarde
hebben geleefd. Geef je antwoord in gehele miljarden.
De wetenschapper Doug Boucher beweerde in 2018 dat de
wereldbevolking al ruim een halve eeuw bij benadering lineair groeide. Hij
baseerde dit lineaire model op historische gegevens. Zie figuur 1.
figuur 1
Voor zijn lineaire benadering gebruikte Boucher dat de wereldbevolking
groeide van 3,084 miljard halverwege 1961 tot 7,330 miljard halverwege
2016.
Veronderstel dat Bouchers lineaire benadering ook na 2016 bleef gelden,
dan volgt hieruit een lagere schatting voor de wereldbevolking begin 2019
dan de eerder genoemde schatting van 7,67 miljard.
23pLineaire functies 3p
Bereken hoeveel lager de schatting volgens Bouchers lineaire benadering
uitvalt. Geef je antwoord in gehele miljoenen.
Als de wereldbevolking bij benadering lineair groeit, dan zal het jaarlijkse
groeipercentage afnemen.
32pLineaire functies 1p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Beredeneer dit zonder gebruik te maken van een getallenvoorbeeld.
In figuur 2 zijn de jaarlijkse groeipercentages voor de periode 1950-2050
weergegeven. Hierbij zijn de percentages na 2013 voorspelde
percentages. Bovendien is een trendlijn getekend.
figuur 2
In tegenstelling tot het model van Boucher waarin de wereldbevolking
lineair zou toenemen, geeft de trend in figuur 2 aanleiding voor een ander
model waarin de groeipercentages lineair afnemen.
Een formule voor de trendlijn in figuur 2 is:
P = −0,0177t + 2,2153
Hierin is P het jaarlijkse groeipercentage en t de tijd in jaren met t = 0 het
jaar 1950.
In de formule van de trendlijn kun je zien dat in 1950 de wereldbevolking
toenam met afgerond 2,2%.
Er zijn wetenschappers die vermoeden dat aan het eind van deze eeuw
de wereldbevolking nauwelijks nog zal groeien of op termijn misschien
zelfs gaat afnemen. Stel dat de groeipercentages zich ook na 2050
volgens de formule van P zullen blijven ontwikkelen.
opgave 2Turm
De Duitse tekenaar en beeldhouwer Erwin Heerich (1922–2004) maakte in zijn werk vaak gebruik van eenvoudige ruimtelijke figuren. Later in zijn carrière ontwierp hij ook gebouwen. Op foto 1 zie je zijn Turm (Duits voor 'toren'), foto 1 die hij bedacht voor het openluchtmuseum Museum Insel Hombroich bij Neuss in
Perspectief en aanzichten 6p
Op foto 2 is Turm vanuit een bijzonder perspectief gefotografeerd waarbij twee hoekpunten van een van de weggelaten kubussen samenvallen. Foto 2 is op anderhalve meter hoogte genomen, waarbij de camera van de fotograaf precies op het (denkbeeldige) verlengde van een diagonaal van het grondvlak van Turm stond. In de figuur is schematisch de positie van de fotocamera, in punt B , ten opzichte van Turm weergegeven. Uit de gegevens volgt dat EC een diagonaal van een vierkant met zijden van 4 meter is.
opgave 3Maakt geld gelukkig?
Een veelgehoorde bewering is dat geld niet gelukkig maakt. Een groep
onderzoekers heeft deze bewering in het begin van deze eeuw
onderzocht. Hiervoor hebben respondenten uit 132 landen een identieke
vragenlijst ingevuld.
Bij een van de vragen uit deze vragenlijst moesten de respondenten hun
leven een cijfer geven op een schaal van 0 tot 10. Dit werd het
levensvoldoeningscijfer genoemd.
In de figuur is van de 132 landen uit het onderzoek, die zijn weergegeven
als cirkels, het gemiddelde levensvoldoeningscijfer uitgezet tegen het
gemiddelde inkomen per inwoner in dollars van dat land.
figuur
In de figuur is ook een trendlijn getekend. Deze trendlijn volgt zo goed
mogelijk de landencirkels. Een formule van deze trendlijn is:
Hierin is L het gemiddelde levensvoldoeningscijfer (met voor L een
waarde vanaf 0 tot en met 10) en I het gemiddelde inkomen per inwoner
in dollars.
Omdat de levensvoldoening alleen maar met een cijfer vanaf 0 tot en met
10 beoordeeld kan worden, is de formule van de trendlijn enkel tussen
bepaalde inkomensgrenzen geldig.
83pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken deze grenzen. Geef je antwoord in gehele dollars.
In de figuur is te zien dat over het algemeen geldt dat hoe hoger het
gemiddelde inkomen is, hoe hoger de levensvoldoening is. Dit is niet
overal het geval. Zo geldt voor Denemarken en Hongkong dat het
gemiddelde inkomen per inwoner bijna even hoog is, namelijk 28 000
dollar. De levensvoldoening is in Denemarken echter aanzienlijk hoger
dan in Hongkong. Bij beide landen wijkt het levensvoldoeningscijfer
behoorlijk af van wat je op basis van de formule van de trendlijn zou
verwachten. De figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage.
93puitwerkbijlageRekenen met een gegeven formule 2p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Onderzoek met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage en de formule
van de trendlijn bij welk van deze twee landen de afwijking het grootst is.
Op basis van de onderzoeksresultaten deden de onderzoekers de
volgende uitspraak:
Elke verdubbeling van het inkomen per inwoner gaat gepaard met een
constante toename van het levensvoldoeningscijfer.
103pRekenen met een gegeven formule 3p
Bereken met behulp van de formule L = 0,6 ⋅2 log(I) −1,973 hoe groot de
toename is bij een verdubbeling van I. Geef je antwoord in één decimaal.
opgave 4Lootjes trekken
Veel groepen en families trekken voor Sinterklaas of Kerstmis lootjes om
te bepalen wie aan wie een cadeautje geeft.
Het trekken van lootjes kan met behulp van papiertjes worden gedaan.
Daarover gaat deze opgave. Dit lootjes trekken gaat als volgt:
− Elke deelnemer schrijft de eigen naam op een papiertje.
− Vervolgens worden deze zogenaamde lootjes in een zak gestopt.
− Daarna trekt iedereen willekeurig blind één lootje uit de zak.
Als iemand het eigen lootje trekt, moeten alle lootjes weer worden
ingeleverd en worden de lootjes opnieuw getrokken.
We noemen het trekken van lootjes anoniem als iedereen alleen de naam
weet op het lootje dat hij/zij getrokken heeft en van geen enkel ander
lootje kan beredeneren door wie het getrokken is. De verdeling van de
lootjes over de verschillende personen noemen we goed als niemand het
eigen lootje heeft en als het lootjes trekken anoniem is.
We voeren de volgende notaties in:
Z Minstens één persoon heeft het eigen lootje getrokken.
A Het lootjes trekken is anoniem.
G De verdeling van de lootjes is een goede verdeling.
Gegeven is de zin:
Als niemand het eigen lootje getrokken heeft en het lootjes trekken is
anoniem, dan is de verdeling van de lootjes een goede verdeling.
112pLogisch redeneren 2p
Vertaal de gegeven zin in logische symbolen, gebruikmakend van
bovenstaande notatie.
Als de verdeling van de lootjes niet goed is, dan heeft minstens één
persoon het eigen lootje getrokken en/of is het lootjes trekken niet
anoniem.
Met twee personen is er geen goede verdeling van lootjes mogelijk.
Immers:
− Als je je eigen lootje trekt, dan is de verdeling niet goed. Bovendien
weet je dan ook dat de ander zichzelf heeft en is het daarmee ook niet
anoniem.
− Als je het lootje van de ander trekt, dan weet je dat de ander jouw
lootje heeft getrokken en is het lootjes trekken niet anoniem.
Ook voor drie personen is het niet mogelijk om een goede verdeling te
krijgen.
Sem, Finn en Rik gaan lootjes trekken.
124pLogisch redeneren 3p · Telproblemen 1p
Beredeneer dat er bij deze drie personen geen goede verdeling van de
lootjes mogelijk is.
Een groep van zes personen gaat lootjes trekken. Bij zes personen is
lootjes trekken altijd anoniem, zolang mensen niet vertellen welk lootje zij
getrokken hebben. In het vervolg van deze opgave hoef je dus geen
rekening meer te houden met de anonimiteit. Een mogelijke verdeling van
de lootjes is in de tabel weergegeven.
tabel
Zonder het van elkaar te weten, vormen P, Q en R een subgroep binnen
de groep van zes personen. De drie personen trekken in een soort
kringetje elkaars lootje. Dit noemen we een kringetje van lengte 3. Ook
S, T en U vormen een kringetje van lengte 3. Omdat niemand het eigen
lootje heeft, is er sprake van een goede verdeling.
Met de notatie Kn wordt bedoeld dat er ten minste één kringetje van
lengte n aanwezig is in de verdeling van de lootjes.
De volgende twee beweringen worden gedaan over het lootjes trekken
met zes personen:
134pLogisch redeneren 4p
Vertaal elk van de twee beweringen naar een zin en geef van elke zin aan
of de bewering waar is of niet. Licht je antwoord toe.
opgave 5Pokémon GO
Pokémon GO is een spel dat je via een app op een smartphone kunt
spelen. Het spel werd op 6 juli 2016 uitgebracht door Nintendo en werd al
snel een van de populairste spellen op een smartphone.
In de eerste twee weken na de lancering van Pokémon GO nam het
aantal gebruikers spectaculair toe tot 45 miljoen wereldwijd.
142pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p
Bereken hoeveel gebruikers er gemiddeld per minuut bij kwamen in deze
periode. Geef je antwoord in tientallen nauwkeurig.
Pokémon GO was na de lancering veruit het populairst in de Verenigde
Staten (VS). De volgende vragen gaan over het aantal gebruikers per dag
van Pokémon GO in de Verenigde Staten. In figuur 1 is dit aantal voor de
periode juli 2016 tot en met december 2016 weergegeven.
figuur 1
In de eerste week na de lancering van het spel op 6 juli 2016 nam het
aantal gebruikers per dag toe tot maximaal 28,5 miljoen op 13 juli 2016.
Na 13 juli 2016 nam het aantal gebruikers per dag alweer af. De afname
verliep in het begin bij benadering lineair tot 15,1 miljoen gebruikers op
12 augustus 2016.
153pLineaire functies 3p
Bereken met behulp van deze gegevens het aantal gebruikers per dag in
de VS op 1 augustus 2016. Geef je antwoord in gehele miljoenen.
Een formule waarmee het aantal gebruikers per dag vanaf
12 augustus 2016 benaderd kan worden, is:
N = 10,5⋅ 0,972t + 4,6
Hierin is N het aantal gebruikers per dag in de VS in miljoenen en t de tijd
in dagen met t = 0 op 12 augustus 2016.
164pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 3p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken hoeveel gehele dagen na de lancering van Pokémon GO op 6 juli
het aantal gebruikers per dag in de VS voor het eerst minder dan een
kwart was van het maximale aantal gebruikers per dag in de VS.
Pokémon GO bestaat uit 40 levels. Een van de redenen dat flink wat
gebruikers van Pokémon GO weer afhaken, is dat het steeds moeilijker
wordt om een volgend level in het spel te bereiken.
Om een volgend level te bereiken, moet je een bepaald totaal aantal
punten behaald hebben. Dit worden XP (Experience Points) genoemd.
Zie figuur 2.
figuur 2
Vanaf level 22 blijkt er bij benadering een exponentieel verband te
bestaan tussen het level en het totaal aantal behaalde XP. Bij level 22
horen 335 000 XP en bij level 40 wel 20 000 000 XP.
Uit de gegevens volgt dat afgerond op drie decimalen de groeifactor van
het totaal aantal behaalde XP per level gelijk is aan 1,255.
173pExponentiële functies en groei 3p
Bereken met behulp van de gegevens deze groeifactor in vier decimalen.
Youtuber Brandon Tan bereikte op een gegeven moment level 40. Naar
eigen zeggen behaalde hij tussen level 39 en level 40 gemiddeld
300 000 XP per dag.
opgave 6De slimste mens
'De slimste mens' is een televisiequiz. In elke aflevering van deze quiz
strijden drie kandidaten tegen elkaar. In verschillende rondes moet
geprobeerd worden zoveel mogelijk seconden te verdienen door juiste
antwoorden te geven. De kandidaat die aan het einde de meeste
seconden heeft, is 'De slimste van de dag'.
Van deze quiz worden per jaar twee seizoenen uitgezonden, één in de
zomer en één in de winter. Elk seizoen bevat 30 of 35 afleveringen. Alleen
het 11e seizoen bevatte slechts 5 afleveringen.
In de zomer van 2020 werd het 17e seizoen uitgezonden. De 30e
aflevering van dit seizoen was de 500e aflevering van deze quiz.
193pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken hoeveel van de seizoenen vóór dit 17e seizoen uit
35 afleveringen bestonden.
Bij de eerste ronde van de quiz start iedere kandidaat met 60 seconden.
In deze ronde kunnen vijf keer 10 seconden worden verdiend. Een
mogelijke stand na de eerste ronde is: kandidaat A heeft 70 seconden,
kandidaat B heeft 80 seconden en kandidaat C heeft 70 seconden. In
totaal zijn er dan 40 seconden verdiend in deze ronde.
204pTelproblemen 4p
Bereken hoeveel verschillende standen er na de eerste ronde mogelijk
zijn als er in deze ronde in totaal 40 seconden worden verdiend.
Bij de laatste ronde worden drie filmfragmenten getoond. Bij ieder
fragment moeten vijf trefwoorden worden genoemd. Hierbij gelden de
volgende regels:
− Per fragment levert het trefwoord dat als eerste juist genoemd wordt
10 seconden op, het tweede 20 seconden en zo verder tot 50
seconden voor het vijfde juist genoemde trefwoord. Dit is onafhankelijk
van welke kandidaat het juiste antwoord geeft.
− Als bij een fragment de eerste kandidaat niet alle juiste trefwoorden
heeft gegeven, mogen de andere twee kandidaten proberen de
overige juiste trefwoorden te noemen. De kandidaat die op dat
moment de minste seconden heeft, mag dit als eerste proberen.
− Het aantal seconden dat een kandidaat nodig heeft om na te denken
en trefwoorden te noemen wordt in mindering gebracht.
De kandidaat die aan het einde van deze ronde de meeste seconden
heeft, is 'De slimste van de dag'.
Bij een aflevering was de stand voor aanvang van de laatste ronde:
− kandidaat A: 254 seconden
− kandidaat B: 273 seconden
− kandidaat C: 222 seconden
Kandidaat C mocht bij de laatste ronde beginnen en wist vier juiste
trefwoorden te geven in 13 seconden. Vervolgens gaf kandidaat A geen
juist trefwoord, maar gebruikte wel 6 seconden om na te denken.
Kandidaat B paste direct en verspeelde daardoor geen seconden.
In de tabel op de uitwerkbijlage is de tussenstand van de kandidaten na
fragment 1 al ingevuld. Verder is voor de overige fragmenten
weergegeven hoeveel trefwoorden een kandidaat goed had en hoeveel
seconden de kandidaat daarvoor nodig had. Ook is te zien dat kandidaat
A bij fragment 2 mocht beginnen en kandidaat B bij fragment 3.
opgave 7Zonnebloemen
Als je goed naar een zonnebloem kijkt, dan kun je zien dat de pitten
geordend zijn in spiralen. Er zijn spiralen die linksom draaien en spiralen
die rechtsom draaien.
In figuur 1 en foto 1 zie je bijvoorbeeld een zonnebloem met 21 linksom
draaiende en 34 rechtsom draaiende spiralen. De getallen 21 en 34 zijn
opvallend, omdat het twee opeenvolgende getallen uit de rij van Fibonacci
zijn.
In deze opgave bedoelen we met een spiralenpaar het aantal linksom
draaiende en het aantal rechtsom draaiende spiralen in een specifieke
zonnebloem. We noteren deze spiralenparen steeds tussen haakjes met
het kleinste aantal eerst. Het spiralenpaar uit foto 1 wordt dus genoteerd
als (21, 34).
Met een fibonacci-spiralenpaar bedoelen we dat het spiralenpaar uit
twee opeenvolgende getallen uit de rij van Fibonacci bestaat. Het
spiralenpaar uit foto 1 is dus een fibonacci-spiralenpaar.
Een recursieve formule van de rij van Fibonacci is
Hieronder staan nog vijf andere foto's van zonnebloemen uit het
onderzoek, met de bijbehorende spiralenparen.
222pRijen en recursie 2p
Onderzoek op welke van deze foto's zonnebloemen staan afgebeeld met
een fibonacci-spiralenpaar.
In 2012 werd er door het Manchester Museum of Science and Industry
een onderzoek gestart naar de aanwezigheid van fibonacci-spiralenparen
in zonnebloemen. Voor het onderzoek waren veel zonnebloemen nodig en
daarom konden geïnteresseerde mensen zelf zonnebloemen kweken, het
aantal spiralen tellen en de gegevens insturen.
De onderzoekers leverden gegevens van 768 zonnebloemen aan en het
publiek van 1281 zonnebloemen. Hiervan bleek afgerond respectievelijk
74% en 64% van de zonnebloemen een fibonacci-spiralenpaar te hebben.
233pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken hoeveel procent van het totaal aantal onderzochte
zonnebloemen een fibonacci-spiralenpaar had. Geef je antwoord in
gehelen.
Niet alle zonnebloemen blijken dus fibonacci-spiralenparen te hebben.
Toch is er bij de andere spiralenparen vaak wel iets bijzonders aan de
hand, waardoor de andere zonnebloemen ook kunnen worden ingedeeld
in zogeheten families.
De zonnebloem van foto 2 heeft het spiralenpaar (29, 47) en behoort tot
een andere familie dan de zonnebloemen met fibonacci-spiralenparen. Bij
de familie van deze bloem zijn de spiralenparen twee opeenvolgende
getallen uit een andere rij. Deze rij is wel vergelijkbaar met de rij van
Fibonacci, want ook voor deze rij geldt dat elke term de som is van de
twee voorafgaande termen.
Van de familie van zonnebloemen uit foto 2 is het kleinste aantal spiralen
11 en het grootste aantal spiralen 123.
243pRijen en recursie 3p
Geef alle mogelijke spiralenparen uit deze familie. Licht je antwoord toe.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.
