opgave 1Van A tot Z
Op de Oude Groenmarkt in Haarlem staat het beeld Van A tot Z van de
Nederlandse beeldhouwer en landschapskunstenaar Marinus Boezem, uit
2007. Het is een monument voor de Haarlemse tekstdichter Lennaert
Nijgh (1945–2002). Het kunstwerk bestaat uit twee massief marmeren
letters A en Z. Zie de foto.
foto
De marmeren letters A en Z symboliseren volgens Boezem de letters die
schrijvers en dichters gebruiken om hun creaties te maken. In de A was
oorspronkelijk een klein fonteintje aangebracht en de liggende Z dient als
zitbank. Hiermee krijgt het werk behalve een esthetisch karakter ook een
praktisch nut.
In de figuur staat een bovenaanzicht van de letter Z met daarin ook
enkele afmetingen (in cm). De zithoogte is 40 cm.
figuur
14pOppervlakte, inhoud en schaal 3p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken hoeveel dm3 marmer er is gebruikt voor de letter Z.
Op de uitwerkbijlage is een begin gemaakt van een zijaanzicht van het
kunstwerk, gezien vanaf links. De letter Z is al in het zijaanzicht op de
uitwerkbijlage getekend. De letters A en Z zijn even dik en ze staan
loodrecht ten opzichte van elkaar (zie de foto).
De letter A is 120 cm hoog en de afstand tussen de A en de Z is 140 cm.
23puitwerkbijlagePerspectief en aanzichten 3p
Teken in het zijaanzicht op de uitwerkbijlage de letter A erbij.
De foto staat ook op de uitwerkbijlage.
Zoals eerder vermeld is de zithoogte van de letter Z 40 cm.
opgave 2Veldleeuweriken
De laatste tientallen jaren is het in Nederland voor veel weidevogels
lastiger geworden om geschikte broedplaatsen te vinden. Dit komt doordat
landbouwgrond steeds intensiever en gevarieerder wordt gebruikt, en
doordat steden voortdurend verder uitbreiden.
Grasland is het voornaamste broedgebied voor weidevogels. Uit een
onderzoek van Sovon Vogelonderzoek Nederland blijkt dat in de
vanaf 1990 tot en met 2014 ruim 150 000 hectare grasland verloren is
gegaan. Dat is een daling van 14 procent.
42pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p
Bereken hoeveel hectare grasland er nog was in Nederland in 2014. Geef
je antwoord in duizenden hectares.
Een van de weidevogelsoorten die het meest in aantal is afgenomen, is
de veldleeuwerik. In de jaren vanaf 1990 tot en met 2000 bleef de
procentuele afname per jaar ten opzichte van het jaar ervoor nagenoeg
gelijk. Dit gold ook voor de jaren vanaf 2001 tot en met 2005. In figuur 1
zijn deze jaarlijkse procentuele afnames voor deze twee periodes
weergegeven voor drie verschillende soorten gebieden: duingebieden,
heidegebieden en agrarische gebieden.
figuur 1 - jaarlijkse afname aantal veldleeuweriken in%
In de figuur is bijvoorbeeld te zien dat in de jaren vanaf 2001 tot en met
2005 het aantal veldleeuweriken in duingebieden jaarlijks met 7,8% afnam.
54pExponentiële functies en groei 3p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Bereken met behulp van figuur 1 hoeveel procent minder veldleeuweriken
er in duingebieden waren in 2005 ten opzichte van het aantal in 1989.
Geef je antwoord in gehele procenten.
In figuur 2 zie je voor heel Nederland hoe het percentage veldleeuweriken
zich in de jaren vanaf 1990 tot en met 2014 ontwikkelde ten opzichte van
het totale aantal veldleeuweriken in 1990.
figuur 2
We voeren de variabelen P en t in. Hierin is P het percentage
veldleeuweriken ten opzichte van het totale aantal veldleeuweriken in
1990 in Nederland en is
t de tijd in jaren met
t = 0 in
Ondanks de schommelingen kan het verband tussen P en t in de jaren
vanaf 1990 tot en met 2005 goed benaderd worden met een rij die hoort
bij een exponentieel verband.
Uit figuur 2 valt af te lezen dat het totale aantal veldleeuweriken in
Nederland in 2005 nog maar 40% was van het totale aantal
64pExponentiële functies en groei 2p · Rijen en recursie 2p
Stel met behulp van dit gegeven een recursieve formule op voor de rij.
Geef de getallen in je antwoord zo nodig in drie decimalen.
Sovon deed niet alleen onderzoek naar het aantal veldleeuweriken in
Nederland, maar ving ook regelmatig jonge veldleeuweriken om ze te
meten en te wegen. In figuur 3 is van 265 gevangen jonge
veldleeuweriken het gewicht uitgezet tegen de zogeheten tarsuslengte1),
dat is de lengte van het onderbeen.
figuur 3
In figuur 3 is ook een kromme weergegeven die het verband tussen het
gewicht en de tarsuslengte benadert. Deze kromme kan worden
beschreven met de formule:
Hierin is G het gewicht in grammen en T de tarsuslengte in millimeters.
Het gewicht van een jonge veldleeuwerik heeft een grenswaarde.
74pEigenschappen van functies en grafieken 4p
Beredeneer aan de hand van de formule voor G, dus zonder gebruik te
maken van getallenvoorbeelden, hoe groot deze grenswaarde is.
Het gewicht van jonge veldleeuweriken neemt in het begin steeds sneller
toe naarmate de tarsuslengte toeneemt. Op een bepaald moment is deze
toenamesnelheid maximaal.
Op de uitwerkbijlage is de grafiek van G uit figuur 3 vergroot
weergegeven.
84puitwerkbijlageGemiddelde verandering en differentiequotiënt 4p
Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage
toenamesnelheid van het gewicht. Licht je antwoord toe en geef je
antwoord in gehele grammen per mm.
noot 1 Men meet de tarsuslengte als een maat voor de leeftijd van de jonge veldleeuwerik
omdat de leeftijd zelf moeilijk te bepalen valt.
opgave 3Rechtspraak
We kijken naar de volgende redenering:
− Rechters zijn eerlijk.
− Maarten is rechter.
− Dus Maarten is eerlijk.
Om na te gaan of deze redenering correct is,
kan een venndiagram zoals in de figuur
gebruikt worden.
Nu bekijken we de volgende redenering:
− Rechters zijn eerlijk.
− Docenten zijn eerlijk.
− Dus alle docenten zijn rechter.
93pLeg uit met behulp van een venndiagram of deze redenering correct is.
We voeren de volgende logische symbolen in:
− R: je bent rechter
− E: je bent eerlijk
Nu bekijken we de volgende uitspraak: ‘Als je rechter bent, dan ben je
eerlijk.’
We kunnen deze uitspraak met behulp van logische symbolen als volgt
weergeven:
Volgens de logica kan hieruit nu de volgende uitspraak volgen:
‘Als je niet eerlijk bent, dan …’
102pLogisch redeneren 2p
Maak de zin hierboven volgens de logica af en schrijf de uitspraak in
logische symbolen.
Gegeven zijn de volgende twee beweringen:
I
II
112pLogisch redeneren 2p
Beschrijf deze beide beweringen in gewoon Nederlands en geef bij elke
bewering aan of deze volgt uit de bewering
.
In een rechtszaak zijn drie zussen de verdachten: Alicia, Bahija en Cecile.
Uit DNA-onderzoek is gebleken dat slechts een van de drie zussen op de
plaats van de misdaad is geweest. Het enige wat ze zeggen is het
volgende:
− Alicia: Ik was daar niet aanwezig.
− Bahija: Ik was daar niet aanwezig.
− Cecile: Slechts een van ons drieën spreekt de waarheid.
Hieruit is te concluderen wie op de plaats van de misdaad is geweest.
opgave 5Rubiks kubussen
Rubiks kubussen zijn er in verschillende maten. De bekendste is de kubus
waar negen vierkantjes zichtbaar zijn op elk zijvlak (de middelste kubus in
foto 1). Dit is de klassieke Rubiks kubus, die in de jaren zeventig van de
vorige eeuw door de Hongaar Ernő Rubik is ontwikkeld.
foto 1
In deze opgave wordt het getal n gebruikt voor het kubusnummer. Bij
kubusnummer n bestaat een zijvlak van de Rubiks kubus uit n bij n
vierkantjes, dus n2 in totaal.
foto 2
Het oplossen van de Rubiks kubus is het terugbrengen van een door
elkaar gedraaide kubus (zie foto 2) naar de opgeloste toestand. In de
opgeloste toestand hebben alle vierkantjes op een zijvlak dezelfde kleur.
In totaal heeft de Rubiks kubus zes verschillende kleuren.
Er worden regelmatig wedstrijden gehouden waarbij Rubiks kubussen zo
snel mogelijk moeten worden opgelost. In de tabel staan de
wereldrecords1) voor het oplossen van Rubiks kubussen. Hierbij is n het
kubusnummer en Tn de wereldrecordtijd in seconden behorende bij
kubusnummer n.
tabel
In de tabel is te zien dat hoe groter de n is, hoe langer de tijd is die nodig
is om de Rubiks kubus op te lossen.
172pLineaire functies 1p · Exponentiële functies en groei 1p
Toon aan dat er in de tabel geen sprake is van een lineair of exponentieel
verband tussen n en Tn.
De gegevens in de tabel worden redelijk benaderd door de formule
Tn = 0,026 ⋅ n4,4. We nemen aan dat deze formule geldt voor alle waarden
van n groter dan of gelijk aan 2.
opgave 6Meerlingen
Een vrouw bevalt na een zwangerschap meestal van één kind. Een
meerling, dat zijn twee of meer kinderen die uit één zwangerschap
geboren worden, komt van nature weinig voor.
Een drieling is een meerling van drie kinderen. Een drieling kan op drie
manieren ontstaan:
− uit één eitje: in dat geval zijn de drie kinderen van een drieling
genetisch identiek en dus van hetzelfde geslacht. We spreken dan van
een eeneiige drieling.
− uit twee eitjes: in dat geval zijn twee kinderen genetisch identiek en
dus van hetzelfde geslacht, maar het derde kind is genetisch
verschillend (en kan van hetzelfde of verschillend geslacht zijn). We
spreken dan van een twee-eiige drieling.
− uit drie eitjes: in dat geval zijn alle drie de kinderen onderling
genetisch verschillend. We spreken dan van een drie-eiige drieling.
We gaan er in deze opgave verder van uit dat een kind bij de geboorte
altijd een jongen of een meisje is.
214pTelproblemen 4p
Onderzoek hoeveel verschillende samenstellingen er voor een drieling
bestaan als je let op geslacht en op de drie manieren waarop een drieling
kan ontstaan. Licht je antwoord toe.
Bij de opkomst van de zogeheten IVF-techniek1) eind jaren tachtig van de
vorige eeuw werden vaak meerdere bevruchte eicellen teruggeplaatst om
de slagingskans van IVF te vergroten. Hierdoor nam in verhouding het
aantal drie(-plus)lingen (een meerling van drie of meer kinderen) ook toe.
In 1980 waren er in Nederland 180 517 geboorten, waarvan slechts 25
van een drie(-plus)ling. In 1991 waren er in Nederland van de 196 698
geboorten 124 drie(-plus)linggeboorten.
223pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken met hoeveel procent het percentage drie(-plus)lingen in 1991 is
toegenomen ten opzichte van het percentage drie(-plus)lingen in 1980.
Geef je antwoord in gehele procenten.
noot 1 Bij de IVF-techniek worden eicellen in het laboratorium bevrucht en vervolgens in de
baarmoeder teruggeplaatst.
De Duitse onderzoeker Hellin voorspelde al in 1895 het volgende voor
meerlingen bij natuurlijke zwangerschappen:
− 
89 geboorten is de geboorte van een tweeling;
− 
89
2 geboorten is de geboorte van een drieling;
− 
89
3 geboorten is de geboorte van een vierling;
− 
89
4 geboorten is de geboorte van een vijfling;
Dit werd later door andere wetenschappers de wet van Hellin genoemd.
In 2002 waren in Nederland 199 205 geboorten, waarvan 3707
tweelinggeboorten. Dat waren de meeste tweelinggeboorten ooit in
Nederland in een jaar. Van deze tweelingen was (afgerond) 22 procent
door middel van IVF (of een verwante techniek) verwekt. In 2002 waren er
in totaal 3270 geboorten na IVF (of een verwante techniek). Uit deze
gegevens volgt dat er in 2002 in Nederland meer tweelingen na een
natuurlijke zwangerschap zijn geboren dan de wet van Hellin voorspelt.
233pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p · Rekenen met een gegeven formule 1p
Bereken hoeveel meer.
Zoals eerder vermeld waren er in het jaar 1991 van de 196 698 geboorten
124 drie(-plus)linggeboorten. Neem aan dat de drie(-plus)lingen in 1991
hooguit uit vijf kinderen bestonden.
Het percentage drie(-plus)linggeboorten ten opzichte van het totale aantal
geboorten was in dat jaar vele malen groter dan volgens de wet van
Hellin, waarbij we uitgaan van 196 698 natuurlijke zwangerschappen.
243pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken op basis van bovenstaande informatie hoeveel keer zo groot.
Geef je antwoord als een geheel getal.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.
