opgave 1Toetsrooster
Toen toetsroosters nog met de hand werden gemaakt, gebruikte de
roostermaker soms een diagram als hulpmiddel. In de figuur zie je zo’n
diagram voor 5 vwo voor de dinsdag in een toetsweek. Op die dinsdag
worden alleen toetsen gegeven voor de volgende vakken: economie (Ec),
geschiedenis (Gs), natuurkunde (Na) en Duits (Du). In het diagram zijn de
gegevens weergegeven voor de 20 leerlingen uit 5 vwo voor deze vier
vakken. Zo kun je bijvoorbeeld aflezen dat er 5 leerlingen zijn die van
deze vier vakken alleen natuurkunde en Duits hebben: gebied R in het
diagram.
figuur
Niemand van de 20 leerlingen uit 5 vwo hoeft op dinsdag vier toetsen te
maken.
12pLogisch redeneren 2p
Leg uit hoe je dit in het diagram kunt zien.
Voor een roostermaker kan het handig zijn om meer toetsen tegelijkertijd
in te roosteren.
22pLogisch redeneren 2p
Onderzoek met behulp van het diagram welke toetsen tegelijkertijd
ingeroosterd kunnen worden.
We voeren voor Julia, een leerling uit deze 5 vwo-groep, de volgende
notaties in:
− Ec betekent: Julia heeft economie in haar pakket;
− Na betekent: Julia heeft natuurkunde in haar pakket;
− Gs betekent: Julia heeft geschiedenis in haar pakket;
− Du betekent: Julia heeft Duits in haar pakket.
Roostermaker Hansen, die het vakkenpakket van Julia niet kent, beweert
het volgende:
Du
34pLogisch redeneren 4p
Vertaal deze bewering in een gewone zin en licht met behulp van het
diagram toe dat deze bewering juist is.
In het diagram in de figuur zijn verschillende vakkencombinaties door
middel van een bijbehorend gebied weergegeven. Er zijn echter meer
combinaties mogelijk met twee of meer van de vier vakken economie,
geschiedenis, natuurkunde en Duits dan in dit diagram weergegeven zijn.
Een leerling met zo’n vakkencombinatie zou dus niet passen in dit
diagram. (Gelukkig kwamen deze vakkencombinaties niet voor bij deze
20 leerlingen.)
44pTelproblemen 3p · Logisch redeneren 1p
Geef alle theoretisch mogelijke combinaties van twee of meer van deze
vier vakken en onderzoek voor elke combinatie of deze door middel van
een bijbehorend gebied in het diagram weergegeven is.
Ga verder op de volgende pagina.
opgave 2Vlinders in Nederland
De Vlinderstichting in Nederland houdt jaarlijks vlindertellingen. Er wordt
geteld op ruim 800 vaste routes en met een vaste methode.
De tellingen worden gedaan door vrijwilligers, samen met iemand van de
Vlinderstichting op een route van maximaal een kilometer lang. Op de
vastgestelde route wordt in een vijf meter brede strook het aantal vlinders
geteld.
Van een van de vlindersoorten, het bruin zandoogje, bruin zandoogje
52pOppervlakte, inhoud en schaal 1p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
blijkt het aantal al jaren min of meer stabiel te zijn.
Een telling op een route van één kilometer leverde
200 bruin zandoogjes op.
Bereken in dat geval het gemiddeld aantal bruin
zandoogjes per 100 m2.
Het aantal bruin zandoogjes is dan wel min of meer stabiel gebleven maar
helaas geldt dat niet voor alle vlindersoorten. Het totaal aantal vlinders is
in de periode 1992–2017 met 40% afgenomen. Hierbij vermoedt men een
exponentiële trend.
64pExponentiële functies en groei 4p
Bereken de jaarlijkse procentuele afname in deze periode, uitgaande van
de exponentiële trend. Geef je antwoord in één decimaal.
De heivlinder is een van de vlindersoorten heivlinder
waarvan het aantal sterk is gedaald. Zie figuur 1.
In figuur 1 is op de verticale as een logaritmische schaalverdeling
gebruikt. Op deze as is niet het aantal heivlinders maar de populatie-
index weergegeven. Deze index geeft het percentage heivlinders aan ten
opzichte van het totaal aantal heivlinders in 1992. De populatie-index van
het jaar 1992 is dus 100. In 1995 is de populatie-index weer (ongeveer)
100. Met andere woorden: in 1995 waren er (ongeveer) evenveel
heivlinders als in 1992.
Nadat het aantal heivlinders vanaf 2003 stabiel leek en zich in de periode
2011–2013 zelfs wat leek te herstellen, was 2017 weer een rampjaar voor
de heivlinder.
73pTabellen en grafieken lezen en gebruiken 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken met behulp van de figuur het percentage heivlinders in 2017 ten
opzichte van het aantal heivlinders in 1992. Geef je antwoord in één
decimaal.
In figuur 2 zie je dezelfde grafiek als in figuur 1 maar nu is een trendlijn
toegevoegd.
figuur 2 heivlinders met trend
De trendlijn in figuur 2 hoort bij een exponentieel model voor de afname
van de populatie-index. De trendlijn kan worden beschreven met de
volgende formule:
log(P) = −0,026t + 1,8
Hierin is P de populatie-index en is t het aantal jaren na 1992.
Als de trend zich op dezelfde manier blijft doorzetten, zal het aantal
getelde heivlinders in een gegeven jaar minder dan 2% zijn van het aantal
getelde heivlinders in 1992.
82pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p
Bereken in welk jaar dat volgens de gegeven formule voor het eerst het
geval zal zijn.
De formule log(P) = −0,026t + 1,8 kan worden herleid tot P = 63 ⋅ 0,942t
waarmee de populatie-index in een bepaald jaar in één keer kan worden
berekend.
opgave 3Engelendeel
Traditioneel gebrouwen whisky wordt enkele jaren in houten vaten
opgeslagen om daarin te rijpen. In het algemeen geldt: hoe langer de
whisky rijpt, hoe beter hij smaakt. Lang rijpen heeft echter een nadeel:
een deel van de whisky gaat verloren doordat deze in het houten vat trekt
of verdampt.
Het deel van de whisky dat tijdens het rijpen verloren gaat, wordt het
engelendeel genoemd. Het engelendeel wordt uitgedrukt in een
percentage per jaar.
Van een bepaald soort whisky is het engelendeel 4,5%. Neem aan dat het
engelendeel elk jaar hetzelfde percentage is.
103pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken hoelang het duurt totdat nog maar de helft van de whisky over is.
Geef je antwoord in jaren en gehele maanden.
In werkelijkheid is bij traditioneel gebrouwen whisky het engelendeel niet
ieder jaar even groot. Zeker aan het begin van de rijpingsperiode is dit
deel een stuk groter, doordat de whisky nog in het hout moet trekken.
Pappy Van Winkle 23 is een zeer exclusieve whisky die op traditionele
wijze geproduceerd wordt en, zoals de naam al suggereert, 23 jaar in een
houten vat rijpt voordat hij in flessen gedaan wordt. Op de website van de
producent staat het volgende:
Het rijpingsproces begint met een vat met 200 liter whisky. Het eerste jaar
gaat er maar liefst 10% verloren, doordat de whisky in het hout trekt. De
8 jaren erna gaat er 4% per jaar verloren en daarna steeds 3% per jaar.
Tenslotte gaat er van het eindproduct ook nog 6 liter verloren bij het
vullen van de flessen.
Pappy Van Winkle 23 wordt verkocht in flessen van 750 ml.
114pExponentiële functies en groei 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 2p
Bereken hoeveel van zulke flessen kunnen worden gevuld, uitgaande van
200 liter whisky.
De meeste whisky rijpt tegenwoordig niet meer in houten vaten. In plaats
daarvan wordt de whisky in grote metalen ketels gedaan en worden er
houtsnippers aan toegevoegd. Hierdoor wordt het engelendeel beperkt tot
zo’n 3% per jaar. Voor het vervolg van de opgave gaan we ervan uit dat
het engelendeel ieder jaar 3% is.
Bij de massaproductie van whisky wordt ervoor gezorgd dat de totale
hoeveelheid whisky gelijk blijft door jaarlijks de ketel weer bij te vullen met
nieuw geproduceerde whisky. Hierdoor ontstaat er een mengsel dat maar
voor een deel uit de oorspronkelijke whisky bestaat.
Bijvoorbeeld: Een ketel bevat 500 liter whisky. Na een jaar is daarvan 3%,
dus 15 liter, verloren gegaan. Er wordt aan het eind van dat jaar
15 liter nieuw geproduceerde whisky in de ketel gedaan, zodat er dan
485 liter whisky van 1 jaar oud en 15 liter whisky van 0 jaar oud in zit. Aan
het eind van het tweede jaar is er weer 15 liter verloren gegaan en ook dit
wordt weer aangevuld met nieuw geproduceerde whisky, enzovoorts.
In de tabel staat voor een aantal jaren de samenstelling van het mengsel
aan het eind van het jaar, in procenten.
tabel
In de tabel kun je bijvoorbeeld aflezen dat aan het eind van het 4e jaar
88,53% van het mengsel bestaat uit 4 jaar oude whisky, 2,74% uit 3 jaar
oude whisky, 2,82% uit 2 jaar oude whisky, 2,91% uit 1 jaar oude whisky
en 3% uit nieuw geproduceerde whisky (0 jaar oude whisky).
Aan het eind van jaar n is een deel van het mengsel dus n jaar oud. De
rest is een mengsel van whisky’s van leeftijd 0 jaar tot en met n − 1 jaar
oud. De percentages later toegevoegde whisky’s in dat mengsel vormen
de rij: 3; 2,91; 2,82; 2,74; ….
opgave 4Tot hier
Aan de oever van de Nederrijn bij Rijswijk staat een kunstwerk van Jan
Kleingeld bestaande uit letters van staal. Zie de foto. Zoals je ziet, staat
elke letter op een voetstuk. De foto is ook vergroot afgebeeld op de
uitwerkbijlage.
foto
De tekst TOT HIER duidt aan dat hier zo’n 2000 jaar geleden de
noordgrens van het Romeinse rijk lag. De letters zijn inclusief hun
voetstuk 365 cm hoog.
144puitwerkbijlagePerspectief en aanzichten 4p
Bereken met behulp van de uitwerkbijlage de hoogte waarop de foto
genomen is. Geef je antwoord in gehele cm.
Op de uitwerkbijlage is een begin gemaakt met een perspectieftekening
van het woord HIER. De letters hebben een vereenvoudigde vorm en het
voetstuk is weggelaten. De letter H ontbreekt nog. De afstand tussen de
H en de I is even groot als de afstand tussen de I en de E, en de letter H
is ook even breed als deze afstand. De horizontale middenstreep van de
letter E zit, net zoals de horizontale middenstreep van de letter H, precies
halverwege de totale hoogte van die letter.
154puitwerkbijlagePerspectief en aanzichten 4p
Teken de letter H op de juiste plaats in de perspectieftekening op de
uitwerkbijlage.
opgave 5Cementproductie
Cement is een belangrijk bouwmateriaal. Het wordt voornamelijk gebruikt
bij het maken van beton.
In figuur 1 staat de wereldwijde cementproductie tussen 1970 en 2010 in
miljoenen tonnen per jaar.
figuur 1
In figuur 1 is te zien dat de cementproductie (ongeveer) exponentieel
toenam van 575 miljoen ton in 1970 tot 3800 miljoen ton in 2010.
In 2010 was de verwachting dat de wereldwijde cementproductie ook na
2010 exponentieel door zou blijven stijgen tot ten minste 5000 miljoen ton
per jaar. Voor de volgende vraag gaan we van deze verwachting uit.
165pExponentiële functies en groei 2p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken in welk jaar de cementproductie in dat geval voor het eerst meer
dan 5000 miljoen ton was.
In werkelijkheid heeft de exponentiële stijging zich niet doorgezet. In de
periode 2010-2013 was er nog wel sprake van (niet-exponentiële)
toename, maar in de periode 2013-2017 bleef de wereldwijde
cementproductie nagenoeg stabiel op 4300 miljoen ton per jaar. Dit is te
zien in figuur 2.
figuur 2
Volgens een artikel van de BBC uit 2018 zal de vraag naar beton, en dus
ook de productie van cement, na 2017 weer sterk toenemen.
Het artikel stelt dat er in 2030 wereldwijd 25% meer cement geproduceerd
zal worden dan in 2017.
Neem aan dat de toename na 2017 lineair verloopt.
174pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p · Lineaire functies 1p
Bereken in welk jaar de totale cementproductie in dat geval voor het eerst
meer is dan 4500 miljoen ton per jaar volgens het artikel.
Voor de productie van cement is veel energie nodig en bovendien komt er
bij het proces behoorlijk wat CO2 vrij. Volgens het artikel van de BBC
wordt 8% van de wereldwijde CO2-uitstoot veroorzaakt door de productie
van cement.
In Europa gelden strenge regels voor de productie van cement. Geschat
wordt dat in Europa gemiddeld per ton1) geproduceerd cement 750 kg aan
CO2 uitgestoten wordt. In China, veruit de grootste producent van cement
ter wereld, is deze uitstoot 220 kg per ton geproduceerd cement méér dan
in Europa.
Het aandeel van China en dat van Europa in de cementproductie zijn in
figuur 2 weergegeven. De grafiek staat ook, vergroot, op de
uitwerkbijlage.
184puitwerkbijlageTabellen en grafieken lezen en gebruiken 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 2p
Bereken met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage voor het jaar 2017
hoeveel keer zo groot de CO2-uitstoot als gevolg van cementproductie in
China was ten opzichte van die in Europa. Geef je antwoord in één
decimaal.
noot 1 1 ton = 1000 kg
Cement wordt voornamelijk gebruikt bij het maken van beton. Het
overgrote deel van de CO2-uitstoot als gevolg van het maken van beton
komt voort uit de productie van cement. Vanwege de enorme CO2-uitstoot
die gepaard gaat met de productie van cement, wordt er volop gezocht
naar milieuvriendelijkere alternatieven.
Een van die alternatieven is het maken van beton zonder daarbij cement
te gebruiken. Het Nederlandse bedrijf Sqape ontwikkelde een technologie
waarmee dat mogelijk is. Volgens de website van Sqape wordt de
CO2-uitstoot zo per ton gemaakt beton verminderd van 750 kg tot 120 kg.
Op de foto zie je een vernieuwd fietspad foto
in Zeewolde. Het fietspad bestaat voor
70% uit beton dat met de nieuwe
technologie van Sqape is gemaakt en
voor 30% uit beton waarbij cement is
gebruikt.
De hoeveelheid CO2 die vrijkomt bij
het maken van het beton dat voor dit
fietspad gebruikt wordt, kan als volgt berekend worden:
0,7 ⋅120 + 0,3 ⋅ 750 = 309 kg per ton gemaakt beton.
Een van de Europese klimaatdoelstellingen is dat de uitstoot van CO2 als
gevolg van het maken van beton wordt verminderd van 750 kg tot
450 kg per ton. Dat kan bereikt worden door een deel van het beton te
gaan maken met behulp van de technologie van Sqape.
opgave 6New York Pizza
New York Pizza is een Nederlandse pizzaketen, die in 1993 in Amsterdam
is opgericht. New York Pizza is een zogenaamde franchise. Dat wil
zeggen dat iedereen die dat wil een New York Pizza-filiaal kan openen.
Een ondernemer moet dan elk jaar 6,5% van zijn omzet betalen aan het
hoofdkantoor van New York Pizza. Door het betalen van deze
zogenaamde franchise fee krijgt de ondernemer het recht om het concept
van New York Pizza te gebruiken en profiteert hij bovendien van de
naamsbekendheid.
In 2017 was de totale omzet van New York Pizza € 99,7 miljoen. Hiervan
werd € 23 miljoen gerealiseerd door de groothandel die bij het bedrijf
hoort en de rest door de 143 filialen.
203pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken hoeveel er gemiddeld per maand per filiaal aan franchise fee
betaald werd in 2017. Geef je antwoord in hele euro’s.
Een van de voordelen van het franchisemodel is dat een ondernemer zelf
beslissingen mag nemen binnen bepaalde grenzen. Zo is bijvoorbeeld de
menukaart niet bij alle New York Pizza-vestigingen hetzelfde.
Bij een bepaalde vestiging van New York Pizza staan er 32 verschillende
pizzavarianten op het menu. Denk daarbij bijvoorbeeld aan een Pizza
Hawaii en een Pizza Margherita.
Veel pizza’s worden gemaakt op een zogeheten New York Style-bodem,
die verkrijgbaar is in vier verschillende maten (20 cm, 25 cm,
30 cm en 35 cm). Ook kan er gekozen worden uit een Italiaanse, een
glutenvrije of een biologische bodem, maar van elk van deze drie bodems
is er maar één maat beschikbaar (30 cm).
Daarnaast bestaat er de mogelijkheid om van één pizzabodem de beide
helften te beleggen met twee verschillende varianten van het menu: de
zogeheten double tasty.
213pTelproblemen 3p
Bereken hoeveel verschillende pizza’s er bij dit filiaal samengesteld
kunnen worden.
In 2018 was een van de meest verkochte bodems de 25 cm New York
Style. Volgens de website van New York Pizza is deze pizza goed voor
één persoon. De grootste pizzabodem, de 35 cm New York Style, is
volgens de website goed voor één à twee personen.
Als je met drie personen pizza gaat eten, dan kun je bijvoorbeeld kiezen
uit óf twee pizza’s met een diameter van 35 cm óf drie pizza’s met een
diameter van 25 cm.
Een pizza met een diameter van 25 cm kostte € 8,99 in 2018 en een pizza
met een diameter van 35 cm kostte toen € 15,49.
Arie deed in 2018 twee uitspraken:
A: De totale hoeveelheid pizza bij de keuze voor twee grote pizza’s is
groter dan bij de keuze voor drie kleine pizza’s.
B: De prijs per cm2 is bij de keuze voor twee grote pizza’s hoger dan
bij de keuze voor drie kleine pizza’s.
