opgave 1Ballonnen
Bij feestwinkel De Zevenklapper zijn heliumballonnen te koop. De
ballonnen worden in de winkel door een speciale machine gevuld met een
mengsel van helium en lucht, beter bekend als ballongas.
Ballongas wordt verkocht in cilinders die op een vulmachine kunnen
worden aangesloten. Het voordeel van een vulmachine is dat het
opblazen van de ballonnen heel snel gaat, maar het nadeel is dat er bij
het vullen nog weleens wat ballongas verloren gaat.
Een medewerker van De Zevenklapper weet uit ervaring dat de
vulmachine met een cilinder, gevuld met 0,5 m3 ballongas, precies
52 ballonnen kan vullen met 9 dm3 ballongas.
13pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken hoeveel procent van het ballongas verloren gaat tijdens het
vullen van deze 52 ballonnen met de vulmachine. Geef je antwoord in één
decimaal.
Als er te veel ballongas in een ballon geblazen wordt, zal deze op een
bepaald moment knappen. Dat komt doordat de latex waarvan de ballon is
gemaakt dan zo veel uitgerekt is, dat deze kapotgaat.
Het is lastig om precies op het
goede moment een foto te maken
waarop een ballon knapt, zoals de
foto hiernaast.
Hiervoor maakt men een filmpje van
het opblazen en knappen van de
ballon. Dan wordt het filmbeeld
gezocht waarop het knappen te zien
is.
Met een goede camera kunnen 250,
420 of 1000 beelden per seconde
worden gemaakt.
Stel dat het knappen van een ballon 3 milliseconden duurt.
24pProcenten, verhoudingen en eenheden 4p
Onderzoek bij de drie bovengenoemde filmbeeldsnelheden of het
knappen van de ballon altijd op een filmbeeld te zien is.
Latex is niet helemaal luchtdicht, waardoor ballonnen langzaam
leeglopen. Hoe snel dat gaat, hangt af van veel factoren. In het vervolg
van deze opgave gaan we ervan uit dat voor de hoeveelheid ballongas H
in dm3 van een ballon die werd gevuld met 9 dm3 ballongas geldt:
H = 9 ⋅ 0,98t, met t de tijd in uren nadat de ballon is opgeblazen.
32pExponentiële functies en groei 2p
Bereken met hoeveel procent de hoeveelheid ballongas per dag afneemt.
Geef je antwoord in hele procenten.
Een ballon zal niet meer zweven als 30% van het ballongas uit de ballon
verdwenen is. De Zevenklapper biedt de mogelijkheid om de ballonnen te
bewerken met een zogenoemde hi-floatcoating, waardoor de ballonnen
langer blijven zweven. De ballonnen worden dan voorzien van een
speciale laag gel, waardoor er per uur nog maar 1% lucht uit wegloopt.
opgave 3Skûtsjesilen
Elk jaar vindt in Friesland het skûtsjesilen plaats. Dit zijn zeilwedstrijden
met oude vrachtschepen, skûtsjes genaamd. Er zijn twee organisaties die
deze wedstrijden organiseren: de SKS1) en de IFKS2).
tabel
Voor het jaarlijkse SKS-kampioenschap
worden 11 wedstrijden gezeild, waaraan
14 skûtsjes meedoen.
Voor elke wedstrijd krijgen de skûtsjes punten
in volgorde van aankomst. De winnaar krijgt
0,9 punt. Nummer twee krijgt 2 punten,
nummer drie krijgt 3 punten, enzovoort. Zie de
tabel.
Na afloop van de 11 wedstrijden wordt voor elk skûtsje het slechtste
resultaat geschrapt. De punten van de overige 10 wedstrijden worden per
skûtsje bij elkaar opgeteld. Het skûtsje dat dan de minste punten heeft, is
kampioen.
83pRedeneren en uitleggen in de context 3p
Onderzoek of het theoretisch mogelijk is dat elk skûtsje in de einduitslag
een geheel aantal punten heeft.
noot 1 SKS = Sintrale Kommisie Skûtsjesilen
noot 2 IFKS = Iepen Fryske Kampioenskippen Skûtsjesilen
De afmetingen van de deelnemende skûtsjes zijn niet identiek. Om er toch
een eerlijke wedstrijd van te maken, wordt voor elk skûtsje het maximaal
toegestane zeiloppervlak berekend.
In eerste instantie rekende de SKS met formule Amels, maar deze
formule is in 2000 aangepast en opnieuw aangepast in 2016:
Hierin is S het maximaal toegestane zeiloppervlak in m2, L de lengte van
het skûtsje, B de breedte en D de diepgang (L, B en D in meters).
De invoering van formule 2000 had tot gevolg dat elk skûtsje hetzelfde
percentage extra zeil mocht hebben.
92pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p
Bereken het percentage extra zeil dat elk skûtsje van formule 2000 mag
hebben ten opzichte van formule Amels. Geef je antwoord in hele
procenten.
Een van de skûtsjes is 17,13 m lang en 3,57 m breed en mag volgens
formule 2000 een maximaal zeiloppervlak van 160,2 m2 hebben.
104pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Rekenen met een gegeven formule 2p
Bereken hoeveel m2 zeiloppervlak dit skûtsje volgens formule 2016 meer
mag hebben dan volgens formule 2000. Geef je antwoord in één
decimaal.
Bij de invoering van formule 2016 waren er ook skûtsjes die ten opzichte
van formule 2000 minder zeil mochten hebben. Dit heeft te maken met de
breedte van de skûtsjes.
113pFormules en vergelijkingen opstellen 1p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 1p · Ongelijkheden oplossen 1p
Onderzoek bij welke breedte van het skûtsje de invoering van formule
2016 betekent dat dit skûtsje minder zeil mag hebben dan bij formule
2000. Geef je antwoord in meters en in twee decimalen.
Voor het IFKS-kampioenschap worden andere regels gehanteerd voor het
maximaal toegestane zeiloppervlak. Hier wordt gebruikgemaakt van de
volgende formule:
S = (3,2525 − 0,05L) ⋅ L ⋅ B
Hierin is S het maximaal toegestane zeiloppervlak in m2, L de lengte van
het skûtsje en B de breedte (L en B in meters).
Voor een skûtsje met een breedte van 3,52 m en een diepgang van
0,42 m geeft formule 2016 van de SKS een zeiloppervlak dat 25 m2 groter
is dan het toegestane zeiloppervlak volgens formule IFKS.
opgave 5Rondetijden
Bij het langebaanschaatsen spelen rondetijden een belangrijke rol. Bij
korte afstanden, zoals de 500 meter, gaat het erom zo snel mogelijk na de
start een zo hoog mogelijke snelheid te krijgen en daarna die snelheid zo
lang mogelijk vast te houden. Op middellange afstanden zoals de 1500 en
de 3000 meter werkt dat echter niet, omdat de schaatser dan ruim voor de
finish al zo vermoeid raakt dat hij haast niet meer vooruitkomt.
De meeste schaatsers rijden daarom op de middellange afstanden
volgens een schema waarbij de rondetijden steeds iets toenemen.
In de figuur zie je het verloop van de rondetijden van Kjeld Nuis op de
1500 meter tijdens de Olympische Winterspelen van 2018.
De 1500 meter bestaat uit een eerste deel van 300 meter en daarna nog
drie volledige ronden van elk 400 meter. In de figuur staan alleen de
rondetijden van de drie volledige ronden.
figuur
Kjeld Nuis werd in 2018 olympisch kampioen op de 1500 meter met een
winnende eindtijd van 1.44,0 (1 minuut en 44,0 seconden).
163pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Bereken met behulp van de figuur zijn tijd in seconden op de eerste
300 meter. Geef je antwoord in één decimaal.
In de figuur is goed te zien dat de rondetijden van Kjeld Nuis steeds
toenemen. Deze toename per ronde wordt het verval genoemd. Je kunt
bijvoorbeeld zeggen dat het verval van Kjeld Nuis in de tweede ronde
1,6 seconden was.
Amateurschaatser Piet Versnel schaatst de 3000 meter. Deze afstand
bestaat uit een eerste deel van 200 meter en daarna nog zeven volledige
ronden van elk 400 meter. Hij schaatst zijn eerste volledige ronde in
40,0 seconden. Het verval is iedere ronde 0,4 seconden. De rondetijden
van de volledige ronden van Piet vormen een rij.
De rondetijd in seconden van de n-de volledige ronde noteren we als Rn.
173pRijen en recursie 3p
Stel een recursieve formule op van deze rij.
De directe formule die bij de rondetijden van de volledige ronden van Piet
hoort, is:
Rn = 40,0 + 0,4 ⋅ (n − 1)
Uitgaande van gelijkblijvend verval per ronde, kan de eindtijd T in
seconden van schaatsers worden berekend met de formule:
Hierin is E de tijd in seconden over de eerste 200 meter, R1 de rondetijd
van de eerste volledige ronde, Ra de rondetijd van de laatste ronde en a
het aantal volledige ronden.
De tijd over de eerste 200 meter van Piet Versnel op de 3000 meter
is 24,2 seconden. Daarna verlopen zijn rondetijden volgens formule 1.
184pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p · Rijen en recursie 1p · Rekenen met een gegeven formule 1p
Bereken de gemiddelde snelheid van Piet op de 3000 meter. Geef je
antwoord in kilometers per uur en in één decimaal.
Door flink te trainen heeft Piet op de 3000 meter zijn tijd over de eerste
200 meter verbeterd tot 23,3 seconden. Hij schaatst zijn eerste volledige
ronde nu in 38,4 seconden en zijn verval v is iedere ronde constant.
Met behulp van deze gegevens en formule 2 kan de volgende formule
voor de eindtijd T in seconden worden opgesteld:
Hierin is v het verval in seconden.
opgave 6Hotelschakeling
De lamp bij een trap kan vaak met twee verschillende schakelaars aan-
en uitgedaan worden. In dat geval spreekt men van een hotelschakeling.
Bij een trap zit de ene schakelaar beneden en de andere boven.
In de figuren 1 en 2 zijn twee mogelijke situaties weergegeven. De twee
schakelaars A en B kunnen onafhankelijk van elkaar in twee standen
staan: stand 1 en stand 2. De stand van de schakelaars bepaalt of er wel
of geen stroom naar de lamp kan lopen en dus of de lamp wel of niet aan
is.
figuur 1 lamp aan
In de situatie van figuur 1 staan beide schakelaars in stand 1 en is de
lamp aan, omdat de stroom via schakelaar A naar schakelaar B loopt en
vanaf daar verder naar de lamp. Als de verbinding is onderbroken, is de
lamp uit. Dit zie je in figuur 2, waar schakelaar A is omgezet naar stand 2.
Als schakelaar A in stand 1 staat, noteren we dit als A1. Verder noteren
we L voor de situatie dat de lamp aan is.
In de situatie van figuur 1 geldt dan:
.
Een andere ware bewering is:
.
212pLogisch redeneren 2p
Vertaal deze laatste bewering in een gewone zin.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
In hotels wordt ook weleens gebruikgemaakt van de zogenaamde
slaapkamerschakeling. Deze schakeling is bedoeld om in een
hotelkamer de plafondlamp óf de lamp in de badkamer aan te doen. De
twee lampen kunnen nooit gelijktijdig aan zijn.
figuur 3
slaapkamerschakeling
Bij de slaapkamerschakeling wordt gebruikgemaakt
van drie schakelaars. De eerste twee schakelaars
(A en B) vormen samen een hotelschakeling: één bij
de deur en één bij het bed. De derde schakelaar (C)
wordt in de badkamer geplaatst. Deze derde
schakelaar dient als keuzeschakelaar tussen de
plafondlamp (lamp 1) en de lamp in de badkamer
(lamp 2). In figuur 3 is dit schematisch weergegeven.
We noteren L1 voor de situatie dat lamp 1 aan is en
L2 voor de situatie dat lamp 2 aan is.
In de situatie van figuur 3 geldt dan:
.
Er zijn twee verschillende standen van de drie schakelaars die ervoor
zorgen dat lamp 2 aan is.
223pLogisch redeneren 3p
Noteer die twee manieren in logische symbolen en combineer deze
vervolgens tot één formule van de vorm:
.
We nemen aan dat je aan de buitenkant van een schakelaar niet kan zien
of deze in stand 1 of stand 2 staat. Verder nemen we aan dat de
schakelaars niet kapot zijn.
We bekijken de volgende situatie van een slaapkamerschakeling waarin
ten minste één lamp kapot is.
Iemand komt een donkere hotelkamer in en zet schakelaar A om, maar
beide lampen blijven uit. In dat geval is er minstens één lamp kapot. Om
te achterhalen welke lamp kapot is, of dat zelfs beide lampen kapot zijn,
zet zij schakelaar C om. Er zijn dan twee mogelijkheden: er is meteen
duidelijk wat er aan de hand is, of er moet nog een andere schakelaar
worden omgezet om te achterhalen wat er aan de hand is.
234pLogisch redeneren 4p
Beredeneer hoe je er na het omzetten van schakelaar C en eventueel nog
een andere schakelaar achter kunt komen welke lamp kapot is of welke
lampen kapot zijn.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift, dat na afloop van het examen wordt gepubliceerd.
