opgave 1Rijksmuseum
Op 13 april 2013 heropende
het Amsterdamse Rijksmuseum
(zie de foto), na een verbouwing
van tien jaar. Het museum doet er
sindsdien veel aan om publiciteit te
genereren: er zijn grote exposities
in de tuinen en er worden grote
aanwinsten verworven.
Ook online timmert het museum
aan de weg. Zo is het gedeelte van
de website van het museum waar je je eigen collectie kunt samenstellen
ongekend populair.
Het aantal bezoeken aan de website nam van 2 861 948 in 2012 toe tot
6 091 312 in 2013. Daarnaast nam het gemiddelde aantal pagina’s dat per
bezoek opgevraagd werd toe van 5,62 tot 7,35.
13pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken met hoeveel procent het totale aantal opgevraagde pagina’s in
2013 is toegenomen ten opzichte van 2012. Rond je antwoord af op
gehele procenten.
Het aantal bezoeken aan de website nam dus toe van 2 861 948 in 2012
tot 6 091 312 in 2013. De totale verblijfsduur in 2012 van al die bezoeken
samen was 15 025 248 minuten. De totale verblijfsduur in 2013 was
3,75 keer zo groot als de totale verblijfsduur in 2012.
23pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken hoeveel de gemiddelde verblijfsduur per bezoek in 2013 langer
was dan in 2012. Rond je antwoord af op gehele minuten.
Enige tijd later bracht het Rijksmuseum een publicatie uit over de
economische waarde van het Rijksmuseum. Daarin werd beschreven wat
(direct of indirect) de bijdrage van een Rijksmuseumbezoeker aan het
Nederlandse bruto binnenlands product (BBP) is. Er werd toen nog
uitgegaan van 1,5 miljoen bezoekers aan het museum in 2013.
Als er meer dan 1,5 miljoen Rijksmuseumbezoekers zijn, dan levert elke
Rijksmuseumbezoeker boven die 1,5 miljoen, direct of indirect, een
bijdrage van € 110 aan het BBP. In formulevorm: B = 110 ⋅ (x − 1,5), met B
de bijdrage aan het BBP in miljoenen euro’s en x het aantal bezoekers
van het museum in miljoenen (met x > 1,5).
33pLineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken bij hoeveel bezoekers de bijdrage aan het BBP € 200 miljoen is.
Rond je antwoord af op tienduizenden bezoekers.
Onder het Rijksmuseum loopt een onderdoorgang, die veelvuldig door
voetgangers en fietsers gebruikt wordt. Amsterdammers vreesden dat, na
de heropening, de onderdoorgang voor fietsers verboden zou worden,
omdat zich hierin ook de ingangen van het museum bevinden en het dan
te druk zou kunnen gaan worden.
Vóór de heropening is dan ook onderzoek gedaan naar het aantal
voetgangers dat zich tegelijkertijd zou gaan ophouden in de
onderdoorgang. Hierbij was vooral het aantal voetgangers tijdens de
piekuren op drukke dagen van belang. Uitgaande van het aantal van
2 miljoen jaarlijkse museumbezoekers, andere passanten én rekening
houdend met enkele aannames die onder de tabel staan, kan de tabel
worden ingevuld. Deze tabel staat ook op de uitwerkbijlage.
tabel
totaal aantal voetgangers (museumbezoekers en passanten samen)
− Op een drukke dag zijn er driemaal zoveel voetgangers als op een
gemiddelde dag; op een rustige dag is dat 1/3e deel van het aantal
voetgangers op een gemiddelde dag.
− In een gemiddeld uur loopt er 1/10e deel van het dagelijks aantal
voetgangers, tijdens een piekuur loopt er 1/5e deel van het dagelijkse
aantal.
− Elke minuut loopt er 1/60e deel van het aantal dat er in een uur loopt.
Om een beeld te krijgen van de drukte wordt uit de voorgaande cijfers de
voetgangersdichtheid k berekend, het aantal voetgangers per vierkante
meter:
k = aantal voetgangers per minuut
60 × loopsnelheid × breedte van het voetpad
Hierin is de loopsnelheid in m/s en de breedte van het voetpad in m.
De gemiddelde loopsnelheid is 0,75 m/s. De beschikbare breedte van de
voetpaden in de onderdoorgang is 6 meter. Als de voetgangersdichtheid
boven de 0,71 komt, is er sprake van onacceptabele drukte.
opgave 2Cupcakes
Carmen gaat cupcakes (zie foto 1) bakken.
Zij gebruikt daarvoor de onderstaande ingrediënten:
Carmen heeft 300 gram suiker in huis en van alle andere ingrediënten
heeft ze ruim voldoende. Ze wil zo veel mogelijk cupcakes bakken.
53pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken hoeveel cupcakes Carmen maximaal kan bakken.
Volgens het recept moeten de cupcakes 20 minuten gebakken worden op
een temperatuur van 175 °C. Carmen weet dat cupcakes gaar zijn als de
kerntemperatuur van de cupcakes 95 °C is.
Carmen veronderstelt daarom dat de kerntemperatuur van cupcakes in
20 minuten van kamertemperatuur (20 °C) stijgt naar 95 °C. Als deze
toename exponentieel verloopt, dan hoort daar de volgende formule bij:
K = 20 ⋅1,081t, met K de kerntemperatuur en t de tijd in minuten.
Hierbij is t = 0 het tijdstip waarop de cupcakes de oven ingaan.
De groeifactor 1,081 in de formule is afgerond op drie decimalen.
63pExponentiële functies en groei 3p
Bereken de waarde van deze groeifactor in vijf decimalen nauwkeurig.
Carmen vraagt zich af of ze ook had kunnen aannemen dat de
kerntemperatuur lineair stijgt. Ze wil onderzoeken welk model het beste
past: het lineaire of het eerder gebruikte exponentiële model. Daartoe
meet Carmen na 12 minuten de kerntemperatuur van haar cupcakes.
Deze blijkt 52 °C te zijn.
74pLineaire functies 2p · Exponentiële functies en groei 2p
Onderzoek of het lineaire of het exponentiële model het beste past bij
deze waarneming.
Het Amerikaanse bedrijf Tasty Layers heeft zich gespecialiseerd in het
maken van heel hoge en grote torens van cupcakes. Voor grote feesten en
bruiloften maakt Tasty Layers bouwwerken met daarop honderden
cupcakes.
Op foto 2 zie je een voorbeeld van zo’n
bouwwerk. De toren op foto 2 heeft 9 lagen.
Om uit te rekenen hoeveel cupcakes er (ongeveer) op
deze toren staan gebruiken we het volgende model:
In deze formule is An een benadering van het aantal
cupcakes op de ne laag, met n = 1 voor de bovenste
laag.
Omdat er natuurlijk op iedere laag een geheel aantal cupcakes staat,
moeten we de waarden van An op de gebruikelijke manier op helen
afronden. Omdat A2 = 8,4 komen er 8 cupcakes op de tweede laag, en
omdat A3 = 1,4 ⋅ 8,4 = 11,76 komen er dus 12 cupcakes op de derde laag.
Enzovoort.
Zo krijg je voor de bovenste vijf lagen 6, 8, 12, 16 en 23 cupcakes, dus in
totaal 65 cupcakes.
In werkelijkheid staan er 300 cupcakes op de toren.
84pRijen en recursie 4p
Bereken hoeveel cupcakes het model afwijkt van de werkelijkheid.
Voor een groot bedrijfsfeest krijgt Tasty Layers de opdracht een
cupcaketoren te maken met daarop 1000 cupcakes. Het bedrijf gebruikt
voor deze opdracht een toren met op de bovenste laag 6 cupcakes en op
elke volgende laag 18 cupcakes meer. We nemen weer n = 1 voor de
bovenste laag.
94pRijen en recursie 4p
Stel een formule op voor het aantal cupcakes op de ne laag en bereken
daarmee vanaf welke laag er meer dan 160 cupcakes op een laag staan.
opgave 3Daling nieuwe eerstejaars pabo’s
De onderstaande tekst is gebaseerd op een artikel van februari 2016 uit
het Onderwijsblad van de Algemene Onderwijsbond.
De pabo’s krijgen gemiddeld een derde minder nieuwe eerstejaars binnen. Schrijnend is de situatie bij de Haagse Hogeschool waar, volgens de cijfers van Vereniging Hogescholen, de instroom keldert met 58%. Het Onderwijsblad voorspelde al een flinke duikeling bij de pabo’s door de vele toelatingstoetsen. Uiteindelijk noteren de pabo’s 1820 nieuwe eerstejaars minder, een daling van 32 procent. Minister Jet Bussemaker is niet verrast. Zij wijt de daling aan de afschaffing van de studiebeurs en de strengere eisen op de pabo’s.
Het artikel spreekt van een daling van 32% nieuwe eerstejaars in 2015
ten opzichte van het jaar ervoor.
103pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken het aantal nieuwe eerstejaars in 2014. Rond je antwoord af op
tientallen.
We kijken nu naar de laatste zin van het artikel.
Hiervoor introduceren we de volgende afkortingen:
D: daling van het aantal nieuwe eerstejaars
A: afschaffing van de studiebeurs
S: strengere eisen op de pabo’s
Stel nu dat minister Bussemaker met het woordje ‘en’ bedoelt dat de
afschaffing van de studiebeurs in combinatie met de strengere eisen op
de pabo’s zorgt voor een daling van het aantal nieuwe eerstejaars.
112pLogisch redeneren 2p
Schrijf dan de uitspraak van minister Bussemaker met behulp van
logische symbolen en bovenstaande afkortingen.
Naar aanleiding van de uitspraak van minister Bussemaker vermoedde
men op sommige pabo’s dat het volgende zou gaan gelden:
Hierin betekent de afkorting V: het collegegeld wordt verlaagd.
122pLogisch redeneren 2p
Vertaal de bewering
in een gewone zin.
Bij sommige pabo’s krijgen studenten aan het begin van hun eerste jaar
een rekentoets. Bij een onvoldoende worden ze in de loop van het eerste
jaar bijgespijkerd en krijgen ze voor de zomer een nieuwe rekentoets. Als
ze hier niet voor slagen, mogen ze niet door naar het tweede jaar.
We introduceren weer afkortingen:
R: slagen voor rekentoets
O: overgaan naar tweede jaar
opgave 4Verdwenen piramide?
Op foto 1 zie je de piramide van het Louvre, die fungeert als ingang voor
het museum. Het is een regelmatige vierzijdige piramide met zijvlakken
die bestaan uit ruitvormige en driehoekige glazen panelen.
foto 1
Sommige mensen beweren dat er in totaal 666 glazen panelen in de
wanden verwerkt zijn. Dit is echter niet juist. De drie zijvlakken zonder
ingang hebben aan de onderkant elk 18 driehoekige panelen en
daarboven 17 rijen ruitvormige panelen. De onderste van deze 17 rijen
heeft 17 ruitvormige panelen en de rijen daarboven hebben telkens één
paneel minder.
Het vierde zijvlak is op dezelfde manier opgebouwd, maar het heeft
2 driehoekige en 9 ruitvormige panelen minder doordat daar een opening
is voor de ingang.
Voor de som van de getallen 1 tot en met n geldt de volgende formule:
143pRijen en recursie 3p
Bereken het totale aantal glazen panelen in de wanden van de piramide.
In juni 2016 liet de Franse kunstenaar JR het voorste zijvlak van de
piramide beplakken met een reusachtige foto van het gebouw dat zich
achter de piramide bevindt. Zie foto’s 2 en 3.
foto 2
foto 3
Precies vanaf de plek waar foto 3 is gemaakt, leek het net alsof de
piramide verdwenen was. De maker van foto 4 stond niet precies op deze
plek, want de foto op de piramide sluit niet precies aan bij het gebouw
daarachter.
foto 4
153pPerspectief en aanzichten 3p
Leg met behulp van een schets van het zijaanzicht van de situatie uit of
de maker van foto 4 dichter bij de piramide stond dan de maker van foto 3
of juist verder weg.
Als het voorste zijvlak van de piramide verticaal was geweest, had de
kunstenaar de foto van het gebouw gewoon vergroot op die verticale
wand kunnen plakken. Omdat het voorste zijvlak van de piramide schuin
is, moest hij de foto bewerken om het juiste effect te krijgen. Om hiervan
een indruk te krijgen is in figuur 1 een vereenvoudigde situatie
weergegeven. De vierhoek ABCD op de piramide wordt door het oog
waargenomen als de verticaal staande rechthoek ABC'D'.
figuur 1
Het oog bevindt zich op 165 cm hoogte in punt O. Het vlak door O, C, D,
C' en D' is horizontaal. In figuur 2 is dit vlak apart getekend met daarin
aangegeven de maten in cm.
figuur 2
Op de uitwerkbijlage is een begin gemaakt met de tekening van vierhoek
ABCD op schaal 1:20.
naslagSchildpadden
Sommige mensen hebben een schildpad als huisdier. Bepaalde soorten
houden onder natuurlijke omstandigheden een winterslaap. De eigenaar
kan ervoor kiezen om zijn schildpad ook in winterslaap te laten gaan,
omdat hij anders de hele winter extra licht en warmte moet geven aan zijn
huisdier. Een schildpad moet een gezond gewicht hebben bij het begin
van zijn winterslaap, anders is er een kans dat hij het niet overleeft. Om
vast te stellen of de schildpad een gezond gewicht heeft, wordt vaak de
opgave 7Jackson De Jackson Ratio Ratio gebruikt. R wordt berekend met de formule R = G/3 .
Hierin is G het gewicht van de schildpad in gram en L de lengte van het
schild van de schildpad in cm.
Voor de Griekse landschildpad geldt de volgende vuistregel: een
schildpad kan veilig aan een winterslaap beginnen als zijn Jackson Ratio
tussen 0,18 en 0,22 ligt.
Jesse heeft een Griekse landschildpad met een schildlengte van 15 cm en
wil hem een winterslaap laten houden.
213pRedeneren en uitleggen in de context 3p
Beredeneer of een schildpad door op die manier te meten een grotere of
een kleinere Jackson Ratio krijgt dan hij in werkelijkheid heeft.
Op een Engelse website staat het volgende: als je het gewicht meet in
Engelse ponden (lbs) en de schildlengte in inches, kun je de Jackson
Ratio berekenen met de formule
.
Hierin is W het gewicht in Engelse ponden en l de schildlengte in inches.
1 Engels pond (lb) ≈ 454 gram en 1 inch = 2,54 cm.
De Jackson Ratio moet dan ook weer dezelfde waarde opleveren.
volgt uit de tekst hierboven.
