bij dit examen
OVERZICHT FORMULES Kansrekening Voor toevalsvariabelen X en Y geldt: E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) toevalsvariabelen X en Y geldt: n -wet: bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde geldt voor de som S en het gemiddelde X van de Binomiale Voor de binomiaal verdeling verdeelde toevalsvariabele X , waarbij n het aantal experimenten is en p de kans op succes per keer, geldt: = = n ⋅ k ⋅ − n − k P( X k ) p (1 p ) met k = 0, 1, 2, 3, …, n Verwachting: E ( X ) = n ⋅ p Normale Voor een verdeling toevalsvariabele X die normaal verdeeld is met gemiddelde μ en Z = is standaard-normaal verdeeld en P( X < g ) = P( Z < Logaritmen regel voorwaarde g log a + g log b = g log ab g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g g g a log a − log b = log g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 log a log b log b g log a p = p ⋅ g log a g >0, g ≠ 1, a >0 p log a g log a = g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1 log a p log g
opgave 1De formule van Riegel en kilometertijden
De marathonloper Pete Riegel ontwikkelde een eenvoudige formule om te
voorspellen welke tijd een hardloper nodig zou hebben om een bepaalde
afstand af te leggen, op basis van zijn tijden op eerder gelopen afstanden.
Die formule luidt als volgt:
is de tijd, uitgedrukt in seconden, die gelopen is op de afstand
d1 en
T2is de voorspelde tijd in seconden op de afstand d2. De formule is geldig
voor afstanden vanaf 1500 meter tot en met 42 195 meter, de marathon.
De formule is onafhankelijk van de gebruikte eenheden, dus d1 en d2
mogen bijvoorbeeld allebei in km worden ingevuld of allebei in m.
Harald loopt de 1500 meter in 4 minuten en 52 seconden.
13pBereken in minuten en seconden Haralds te verwachten tijd op de
10 000 meter.
Het ligt voor de hand dat de gemiddelde snelheid lager wordt als de te
lopen afstand groter wordt. Olaf loopt de 3000 meter in 8 minuten en
29 seconden. Dat is 509 seconden.
25pBereken met behulp van het bovenstaande en de formule van Riegel met
hoeveel procent de gemiddelde snelheid van Olaf afneemt als de te lopen
afstand verdubbelt.
Een andere maat voor de snelheid is de kilometertijd K, het aantal
seconden dat een loper gemiddeld per kilometer nodig heeft. In
formulevorm:
Hierbij is T de totale tijd in seconden en d de afstand in kilometers.
In de figuur hieronder zijn de kilometertijden weergegeven van de
wereldrecords hardlopen zoals ze waren in november 2013.
figuur
De formule van de hier getekende grafiek die zo goed mogelijk bij de
verschillende punten past, is van de vorm K = a ⋅ d0,07. Hierbij is K de
kilometertijd in seconden en d de afstand in kilometers.
Het wereldrecord op de 1,5 km (1500 meter) is precies 3 minuten en
26 seconden1). Het bijbehorende punt ligt op de grafiek. Op basis hiervan
kan berekend worden dat a ongeveer 133 is.
34pBereken de waarde van a in twee decimalen nauwkeurig.
De kilometertijd van het wereldrecord op de 30 km ligt boven de kromme.
44pBereken hoeveel procent de kilometertijd op deze afstand hoger is dan de
formule voorspelt.
noot 1 Dit record geldt sinds 1998. In deze opgave gaan we ervan uit dat dit record nog
steeds geldt.
opgave 2De sociale ladder
In het najaar van 2012 publiceerde NRC Handelsblad een artikel over de
inkomensverdeling in de Verenigde Staten.
In dit artikel wordt een model beschreven waarin per inkomensklasse
aangegeven wordt hoe groot de kans is dat je, als je geboren bent in een
gezin in die inkomensklasse, zelf terechtkomt in een bepaalde
inkomensklasse. Zie onderstaande figuur. Er worden vijf even grote
inkomensklassen onderscheiden. Dit model gebruiken we in de rest van
de opgave.
figuur
INDELING INKOMENSGROEPEN VAN DE OUDERS
kansen van kinderen
Je kunt bijvoorbeeld aflezen dat van de kinderen met ouders in de laagste
inkomensklasse 4% in de hoogste inkomensklasse terecht zal komen.
Dus: als je in de laagste inkomensklasse geboren wordt, heb je 4% kans
om zelf in de hoogste inkomensklasse terecht te komen.
De bewering "Amerikanen zitten vast op de sociale ladder" die in het
artikel gedaan wordt, wekt de suggestie dat de kans heel groot is dat
iemand in dezelfde inkomensklasse terechtkomt als zijn ouders.
53pBereken hoeveel procent van de mensen in de VS volgens de figuur in
dezelfde inkomensklasse als hun ouders zal komen.
Iemand die in de laagste inkomensklasse geboren is, heeft (zie figuur)
een kans van 0,57 om zelf in een hogere inkomensklasse terecht te
komen. We kijken nu naar een groep van 200 mensen die allemaal in de
laagste inkomensklasse geboren zijn.
64pBereken de kans dat meer dan de helft van deze mensen in een hogere
inkomensklasse terechtkomt.
De kans dat iemand die in de laagste inkomensklasse geboren is, in de
hoogste of één na hoogste inkomensklasse komt, is veel kleiner dan 0,57.
74pBereken de kans dat van 3 willekeurig gekozen Amerikanen die in de
laagste inkomensklasse geboren zijn, er 1 in de hoogste en 2 in de één
na hoogste inkomensklasse terechtkomen. Geef je antwoord in drie
decimalen nauwkeurig.
In het krantenartikel stond bij de figuur rechtsonder naast de 8%:
"8% kans dat je in de hoogste inkomensklasse geboren wordt en in de
laagste inkomensklasse terechtkomt." Volgens Nico is die tekst niet juist:
de kans dat een willekeurig iemand in de VS in de hoogste
inkomensklasse geboren wordt en later in de laagste inkomensklasse
terechtkomt, is niet 8%.
83pLaat zien dat Nico gelijk heeft door te berekenen hoe groot deze kans dan
wel is.
opgave 3Zonnepanelen1)
Veel mensen denken erover om zonnepanelen aan te schaffen. Bedrijven
spelen daarop in en geven daar allerlei informatie over op hun websites.
Op een dergelijke website tref je de volgende tekst aan:
Omdat de elektriciteitsprijs voortdurend stijgt, kan investeren in zonnepanelen interessant zijn. Laten we om te beginnen eens uitgaan van een stijging van de elektriciteitsprijs van 5% per jaar. Verder gaan we uit van een zonnepanelen-installatie met een opbrengst van 1750 kWh (kilowattuur) elektriciteit per jaar en een aanschafprijs van € 2995.
Op de website wordt uitgegaan van een zonnepanelen-installatie met een
aanschafprijs van € 2995 en een opbrengst van 1750 kWh elektriciteit per
jaar. Om de opbrengst in euro's te berekenen, wordt op diezelfde website
gerekend met de prijs die de eigenaar van de zonnepanelen zou moeten
betalen als hij de elektriciteit van een elektriciteitsbedrijf zou moeten
kopen. Er is gerekend met een prijs van € 0,225 per kWh elektriciteit voor
het eerste jaar na aanschaf van de zonnepanelen en een jaarlijkse
toename van de elektriciteitsprijs van 5%.
Voor de jaarlijkse opbrengst Z in euro's van de zonnepanelen in jaar t
geldt nu de formule Z = 393,75 ⋅1,05t−1. Hierbij is t de tijd in jaren met
t = 0 op het moment van aanschaf van de zonnepanelen.
93pLeg uit hoe je deze formule kunt afleiden uit de gegevens.
noot 1 Deze gehele opgave is gebaseerd op gegevens zoals die in 2013 bekend waren.
Om de jaarlijkse stijging van de elektriciteitsprijs van 5% te onderbouwen
geeft de website elektriciteitsprijzen uit het verleden. Zo was in 1999 de
prijs € 0,11 per kWh en in 2011 al € 0,22 per kWh. Als je aanneemt dat de
elektriciteitsprijs in deze periode exponentieel gegroeid is, kom je echter
niet op een (afgerond) jaarlijks groeipercentage van 5.
103pBereken het jaarlijks groeipercentage voor de periode 1999-2011. Rond je
antwoord af op één decimaal.
Omdat het percentage waarmee de elektriciteitsprijs verandert, niet
steeds hetzelfde is, staat er op de website een tool waarmee je dit
percentage kunt wijzigen. Bij een lagere stijging van de elektriciteitsprijs
zal de opbrengst in euro's per jaar van de zonnepanelen-installatie ook
lager zijn.
114pBereken met welk percentage per jaar de elektriciteitsprijs minstens moet
toenemen om in jaar 20 een opbrengst van de zonnepanelen-installatie
van € 500 of meer te krijgen. Geef je antwoord in één decimaal
nauwkeurig.
Voor het vervolg van deze opgave gaan we niet meer uit van een
jaarlijkse stijging van de elektriciteitsprijs maar van een vaste prijs van
€ 0,225 per kWh.
In onderstaande tabel zie je een overzicht van de prijs en opbrengst van
verschillende zonnepaneelsystemen van een ander bedrijf.
tabel
De overheidssubsidie2) van 15% van de aanschafprijs is nog niet verwerkt
in de prijzen in de tabel. De overheidssubsidie bedraagt maximaal € 650.
De terugverdientijd is de periode die het duurt tot het aankoopbedrag
van het systeem is terugverdiend via besparing op de elektriciteitskosten.
In het begin van 2013 schafte iemand het systeem van 12 zonnepanelen
aan met overheidssubsidie.
124pBereken, uitgaande van de verwachte elektriciteitsopbrengst, in welk jaar
het aankoopbedrag volledig is terugverdiend.
noot 2 In 2013 werd er door de overheid subsidie verstrekt bij het aanschaffen van
zonnepanelen.
opgave 4Seine
In figuur 1 zie je het kunstwerk 'Seine' van Ellsworth Kelly, waarin de
schittering op het water van de rivier de Seine verbeeld is door middel van
zwarte en witte vakjes die allemaal even groot zijn.
figuur 1
Het paneel is ingedeeld in 83 (verticale) kolommen en 41 (horizontale)
rijen. De meest linkse kolom is helemaal wit. In de kolom direct rechts
daarvan bevindt zich 1 zwart vakje, de kolom daarnaast bevat één zwart
vakje meer, enzovoort, totdat in de middelste kolom alle 41 vakjes zwart
zijn. Er is maar één kolom met allemaal zwarte vakjes. Daarna bevat elke
volgende kolom steeds één zwart vakje minder.
Om te berekenen hoeveel zwarte
vakjes er in totaal zijn, kun je in
gedachten alle zwarte vakjes in de
kolommen naar beneden schuiven.
Zie figuur 2.
In een dergelijke figuur kun je het
totale aantal zwarte vakjes
bijvoorbeeld berekenen door de
figuur op te delen in rechthoeken. In figuur 3 is in een figuur van slechts
9 vakjes breed en 4 vakjes hoog een rechthoek van 5 bij 4 getekend
waarvan precies de helft van de vakjes donker is.
figuur 3
134pBereken het totale aantal zwarte vakjes in het kunstwerk 'Seine'.
Kelly heeft de plaats van de zwarte vakjes in een kolom bepaald door
middel van een kansproces: voor elke kolom werd geloot uit de 41 vakjes.
Bij deze procedure zijn er zeer veel verschillende eindresultaten mogelijk.
Zelfs voor een 'kunstwerk' bestaande uit 9 kolommen en 4 rijen, dus met
de afmetingen van figuur 3, zijn er al veel verschillende mogelijkheden
voor de plaats van de donkere vakjes.
144pBereken hoeveel verschillende 'kunstwerken' bestaande uit 9 kolommen
en 4 rijen met deze procedure te maken zijn.
We kijken nu weer naar het kunstwerk 'Seine' van Kelly. Aan de linkerkant
zie je dat één zwart vakje uit de 5e kolom (met 4 zwarte vakjes) aan ligt
tegen een zwart vakje van de 6e kolom die hier rechts naast ligt, met
andere woorden een zwart vakje als horizontale buur heeft.
Neem nu eens aan dat de 4 zwarte vakjes in de 5e kolom al getekend zijn
en de 5 zwarte vakjes in de 6e kolom nog niet. De 5 zwarte vakjes worden
nu willekeurig ergens in de 6e kolom geplaatst.
154pBereken de kans dat precies één van die 5 zwarte vakjes tegen een zwart
vakje uit de vorige kolom aan komt te liggen.
Rechthoeken waarvan de zijden een gulden-snede-verhouding hebben,
worden vaak mooi gevonden. In figuur 4 zie je een rechthoek met korte
zijde k en lange zijde l.
Voor een rechthoek met een
gulden-snede-verhouding geldt altijd het
volgende: de verhouding van de korte zijde k tot
de lange zijde l is gelijk aan de verhouding van k
de lange zijde tot de korte en de lange zijde
samen. In formulevorm: k:l = l:(k + l).
Het kunstwerk 'Seine' heeft als afmetingen
41,9 cm bij 114,9 cm. Kelly heeft de zwarte en witte vakjes waaruit 'Seine'
is opgebouwd niet vierkant maar rechthoekig gemaakt. In de volgende
vraag gaat het erom of de afmetingen van zo'n vakje voldoen aan de
gulden-snede-verhouding.
165pOnderzoek of zo'n vakje van het kunstwerk 'Seine' een
gulden-snede-verhouding heeft.
opgave 5Internationaal rekenonderzoek
Sinds 1995 vindt er elke vier jaar een internationaal reken- en
wiskundeonderzoek plaats onder leerlingen uit groep 6 van de
basisschool. Dit onderzoek heet TIMSS. De gemiddelde score van alle
deelnemende landen in 1995 is op 500 gesteld. Leerlingen krijgen een
geheel getal als score. De gemiddelde scores van elk land worden ook
afgerond op gehele waarden.
Nederland had in 1995 een score van 549, in 2003 een score van 540 en
in 2007 een score van 535. Het lijkt erop dat de Nederlandse scores in
deze periode lineair gedaald zijn. Neem eens aan dat deze daling
inderdaad lineair is en zich na 2007 zo zou voortzetten. Neem bovendien
aan dat het TIMSS-rekenonderzoek na 2007 elke vier jaar plaatsvindt.
174pBereken in welk jaar de Nederlandse score bij het onderzoek dan voor het
eerst beneden de 500 zou liggen.
De VS hadden in 2011 een score van 541. We gaan ervan uit dat de
gemiddelde score van alle leerlingen die in de VS meededen 541 is.
Neem aan dat de score van de leerlingen in de VS in 2011 bij benadering
normaal verdeeld is met een standaardafwijking van 76.
183pBereken hoeveel procent van de leerlingen die in de VS in 2011 aan het
onderzoek meededen een score van 550 of hoger had.
Neem aan dat de score van de leerlingen in België in 2011 bij benadering
normaal verdeeld was met een gemiddelde van 549 en dat 75% van de
leerlingen die in België aan het onderzoek meededen, een score had van
590 of lager.
194pBereken met behulp van deze gegevens de standaardafwijking van de
scores in België in 2011.
In onderstaande tabel zijn de percentielscores voor het onderzoek in
2011 weergegeven voor Nederland, Engeland en Duitsland. Een
percentielscore is een score waar een bepaald percentage van de
waarnemingen op of onder zit: als in Nederland 10% van de leerlingen
470 punten of lager heeft, noemen we deze score 470 het 10e percentiel.
Zo kun je bijvoorbeeld ook in de tabel aflezen dat 25% van de
Nederlandse leerlingen die deelnamen aan het onderzoek een score van
505 of lager had.
tabel
De Nederlandse scoreverdeling is niet precies symmetrisch. Toch is de
normale verdeling een redelijke benadering.
Om de verdeling van de resultaten in de verschillende landen te
vergelijken, wordt in het TIMSS-rapport onder andere gekeken naar het
percentage leerlingen in een land dat een score van 475 of meer haalt.
205puitwerkbijlageLaat met behulp van het normaal waarschijnlijkheidspapier op de
uitwerkbijlage zien dat de scores in Nederland in 2011 bij benadering
normaal verdeeld zijn en maak met behulp van die uitwerkbijlage een
schatting van het percentage Nederlandse leerlingen in 2011 dat een
score van meer dan 475 heeft.
