bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2024, tijdvak 2

naslagFormules

Goniometrie
sin(t + u) = sin(t)cos(u) + cos(t)sin(u)
sin(t − u) = sin(t)cos(u) − cos(t)sin(u)
cos(t + u) = cos(t)cos(u) − sin(t)sin(u)
cos(t − u) = cos(t)cos(u) + sin(t)sin(u)
sin(2t) = 2sin(t)cos(t)
cos(2t) = cos2(t) − sin2(t) = 2cos2(t) − 1 = 1 − 2sin2(t)

opgave 2Twee functies

De functies f en g worden gegeven door f(x) = 72 − x3 en g(x) = x√(x).
Het snijpunt van de grafieken van f en g is het punt S. Zie figuur 1.
figuur 1
figuur 1
14p

Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 3p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pexact

Bereken exact de coördinaten van S.
De lijn k heeft vergelijking y = −12x + 88.
Lijn k raakt aan de grafiek van f in het punt P rechts van de y-as.
Het vlakdeel V wordt ingesloten door de grafiek van f, lijn k en de y-as.
In figuur 2 is dit vlakdeel grijs weergegeven.
figuur 2
figuur 2

opgave 3Cobb-Douglas-productiefunctie

De Cobb-Douglas-productiefunctie is een wiskundig model dat economen
gebruiken om de productie Y te voorspellen. In dit model hangt de
productie af van twee factoren: arbeid en kapitaal.
Met arbeid L wordt het aantal voltijdbanen van werknemers bedoeld.
Met kapitaal K wordt in deze opgave het aantal machines bedoeld dat
beschikbaar is voor de productie.
De formule bij dit model luidt:
Y = A ⋅ Lα ⋅ Kβ
Hierbij zijn A, α en β constanten die afhangen van het soort bedrijf.
Iemand wil € 1 000 000 per jaar investeren in een nieuw bedrijf.
Voor een bedrijf in deze sector geldt A = 40, α = 0,7 en β = 0,3.
De kosten per voltijdbaan per jaar bedragen € 50 000 en de kosten per
machine per jaar bedragen € 20 000.
Er geldt dus: 50000L + 20000K = 1000000
Uit deze gegevens is af te leiden dat: Y = 40 ⋅ L0,7 ⋅ (50 − 2,5L)0,3
32p

Formules herleiden en omwerken 2pexact

Toon aan dat Y = 40 ⋅ L0,7 ⋅ (50 − 2,5L)0,3.
De investeerder wil het volledige bedrag van € 1 000 000 investeren in
arbeid en kapitaal, en wel in zo’n verhouding dat de productie Y maximaal
is.
45p

Product- en quotiëntregel 2p · Extremen en optimaliseren 1p · Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 1p · +1exact

Bereken algebraïsch hoeveel voltijdbanen de investeerder moet inzetten
om de productie Y maximaal te krijgen.
Als β = 1 −α dan spreken economen van een constant schaalvoordeel.
Dat wil zeggen dat de inzet van arbeid en kapitaal evenredig is met de
productie. Ofwel: als zowel L als K met dezelfde factor g groeit, dan groeit
ook de productie Y = A ⋅ Lα ⋅ Kβ met diezelfde factor g.
54p

Formules herleiden en omwerken 2pexact

Bewijs dat bij β = 1 −α geldt: als zowel L als K met dezelfde factor g
groeit, dan groeit ook de productie Y met diezelfde factor g.

opgave 4Loodrecht op de snelheidsvector

De beweging van een punt P wordt gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen: / x ( t ) = sin( t ) 1 met 0 ≤ t ≤ 2 π y ( t ) = cos( t − 4 π ) figuur 1 In figuur 1 is de baan van P weergegeven. Punt is het snijpunt van de baan van P met de positieve y- as. Er is een positie van punt P waarvoor…

De beweging van een punt P wordt gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen: / x ( t ) = sin( t ) 1 met 0 ≤ t ≤ 2 π y ( t ) = cos( t − 4 π ) figuur 1 In figuur 1 is de baan van P weergegeven. Punt is het snijpunt van de baan van P met de positieve y- as. Er is een positie van punt P waarvoor de afstand tussen de punten A en P maximaal is.

opgave 6Lijnenparen

De lijn k heeft vergelijking y = ax met a > 0.
De lijn m heeft richtingscoëfficiënt –a en gaat door het punt P(10,4).
Het punt S is het snijpunt van de lijnen k en m. Punt S ligt op de grafiek
van de functie die wordt gegeven door waarbij geldt:
In figuur 1 is voor drie waarden van a de situatie weergegeven. De grafiek
van f is gestippeld weergegeven.
figuur 1
figuur 1
figuur 1
figuur 1
104p

Formules herleiden en omwerken 2p · Lijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 1pexact

Bewijs dat voor elke positieve waarde van a punt S op de grafiek van f ligt.
113p

Product- en quotiëntregel 1p · Formules herleiden en omwerken 1p · Stijgen, dalen en veranderingsgedrag 1pexact

Bewijs dat de grafiek van f voor elke waarde van x > 5 daalt.
figuur 2
126p

Afstanden met coördinaten 2p · Cirkels: vergelijking, middelpunt en straal 1p · Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 1p · +1GR mag

Het is voor iedere waarde van a mogelijk
om een cirkel c door de punten O, S en P
te tekenen. Hierbij wordt de situatie dat S
en P samenvallen buiten beschouwing
gelaten.
De coördinaten van S zijn x,(2x)/(x − 5).
Er is één waarde van a waarvoor deze
cirkel raakt aan de y-as. Het middelpunt
M(r,0) van deze cirkel ligt op de x-as.
Deze situatie is in figuur 2 weergegeven.
Bereken de waarde van a waarvoor de
cirkel raakt aan de y-as. Rond je
figuur 2
eindantwoord af op twee decimalen.

opgave 7Absolute logaritme

De functie f18 wordt gegeven door f_1_8(x) =^2log(x^2 − 18x + 69).
De grafiek van f18 snijdt de lijn met vergelijking y = 2 in vier punten.
134p

Exponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 2p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 2pexact

Bereken exact de x-coördinaten van deze vier punten.
De functie fa wordt gegeven door f_a(x) =^2log(x^2 − ax + 69) met a > 0.
Voor een bepaalde waarde van a heeft de grafiek van fa twee verticale
asymptoten met een onderlinge afstand van 20.

opgave 8Lijnstukken bij een exponentiële functie

De functie fa wordt gegeven door
figuur 1
155p

Raaklijnen aan grafieken 3p · Exponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 1p · Kettingregel 1pexact

fa(x) = eax met a > 0.
De lijn k met vergelijking y = e snijdt de
grafiek van fa in S.
In figuur 1 zijn voor een waarde van a de
grafiek van fa en lijn k weergegeven.
Ook is de raaklijn aan de grafiek van fa
door S weergegeven.
Bewijs dat deze raaklijn voor elke waarde
van a door de oorsprong gaat.
figuur 1
In figuur 2 is opnieuw voor een waarde
figuur 2
van a de grafiek van fa weergegeven.
Op deze grafiek liggen de punten A(0,1),
B(1,ea) en C(2,e2a).
Ook is de grafiek van de inverse van fa
(gestippeld) weergegeven.
De punten D, E en F zijn de beeldpunten
van respectievelijk A, B en C bij
spiegeling in de lijn y = x.
Er is een waarde van a waarvoor geldt:
AD + BE = CF
figuur 2
167p

Afstanden met coördinaten 2p · Inverse functies 1p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1p · +1exact

Bereken exact deze waarde van a.
Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.