bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2022, tijdvak 3

naslagFormules

Goniometrie
sin(t + u) = sin(t)cos(u) + cos(t)sin(u)
sin(t − u) = sin(t)cos(u) − cos(t)sin(u)
cos(t + u) = cos(t)cos(u) − sin(t)sin(u)
cos(t − u) = cos(t)cos(u) + sin(t)sin(u)
sin(2t) = 2sin(t)cos(t)
cos(2t) = cos2(t) − sin2(t) = 2cos2(t) − 1 = 1 − 2sin2(t)
Ga verder op de volgende pagina.

opgave 2Gelijke oppervlaktes

De functie f is gegeven door f(x) = (1)/(x − 5) + (1)/(x − 6).
De functie F gegeven door F(x) = ln(x2 − 11x + 30) is dan een primitieve
van f.
13p

Formules herleiden en omwerken 2p · Primitiveren 1pexact

Bewijs dit.
In figuur 1 is de grafiek van f (die uit drie delen bestaat) getekend.
figuur 1
figuur 1
V is het gebied begrensd door de grafiek van f, de x-as en de lijnen met
vergelijking x = 7 en x = 9. W is het gebied begrensd door de grafiek
van f, de x-as en de lijnen met vergelijking x = 9 en x = p, met p > 9.
Er is een waarde van p waarvoor de oppervlaktes van V en W gelijk zijn.
25p

Bepaalde integralen en oppervlakte 2p · Exponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 2p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pexact

Bereken exact deze waarde van p.
figuur bij de opgave
In figuur 2 is de grafiek van g getekend.
Deze grafiek is symmetrisch in de lijn x = 5(1)/(2).
figuur 2
figuur 2
De grafiek van g heeft in punt A(5(1)/(2),0) een knik.
Zowel aan het deel van de grafiek links van A als aan het deel van de
grafiek rechts van A is er een raaklijn in A. Deze twee raaklijnen zijn
verschillend.
35p

Hoek tussen lijnen 3p · Kettingregel 1p · Raaklijnen aan grafieken 1pexact

Bereken algebraïsch de hoek tussen deze raaklijnen. Geef je
eindantwoord in gehele graden nauwkeurig.

opgave 3Drie op een rij

Rechthoek ADEH bestaat uit drie vierkanten ABGH, BCFG en CDEF.
Hierbij is AB = 01 en AH = 01.
Verder zijn gegeven de lijnstukken AF en HD.
S is het snijpunt van AF en HD.
Zie de figuur.
figuur
figuur
Er geldt: AS = (6)/(5)(3)/(5)
43p

Gelijkvormigheid 2p · Vectoren en inproduct 1pexact

Bewijs dit.
53p

Vectoren en inproduct 3pexact

Onderzoek of de vectoren BS en HD loodrecht op elkaar staan.

opgave 4Modeltube

In figuur 1 is een cilindervormige koker
figuur 1 foto
getekend met diameter 4 cm.
Als de cirkel aan de onderkant wordt
samengeknepen tot een lijnstuk, ontstaat een
model voor een tube zonder dop. Op de foto zie
je zo’n tube maar dan met dop.
Deze tube, die bijvoorbeeld shampoo kan
bevatten, heeft, zonder dop, een hoogte van
10 cm en aan de bovenkant een diameter van
4 cm.
figuur bij de opgave
figuur bij de opgave
In het vervolg van de opgave worden horizontale doorsneden van de
rechtopstaande modeltube bekeken.
Het model heeft drie uitgangspunten:
− De doorsnede op hoogte h, gemeten vanaf de onderkant, bestaat voor
0 < h < 10 uit twee halve cirkels en twee evenwijdige lijnstukken van
gelijke lengte.
− De omtrek van elke doorsnede is gelijk aan de omtrek van de cilinder.
− De afstand tussen de twee lijnstukken in de doorsnede is gelijk aan de
diameter van de halve cirkels. Deze afstand neemt voor 0 < h < 10
lineair toe van 0 tot 4.
In figuur 2 is op vier hoogtes de
figuur 2
66p

Formules en vergelijkingen opstellen 3p · Bepaalde integralen en oppervlakte 2p · Lineaire functies 1pGR mag

doorsnede getekend.
De oppervlakte A van een doorsnede
hangt af van de hoogte h.
Met behulp van bovenstaande drie
uitgangspunten kan een formule
worden opgesteld voor A(h).
De inhoud I van de modeltube kan
met behulp van deze formule voor
A(h) worden berekend.
Er geldt: I =^1^0A(h)dh
Onderzoek o f0de modeltube 80 cm3
shampoo kan bevatten.
figuur 2

opgave 5Vierkanten bij een exponentiële functie

De functie f is gegeven door f(x) = ex.
Op de grafiek van f ligt een punt P(p,ep) met p > 0.
Zie de figuur.
figuur
figuur
In de figuur zijn ook de vierkanten V en W getekend.
Van vierkant V is P een hoekpunt en ligt een zijde op de y-as.
Van vierkant W is P een hoekpunt en ligt een zijde op de x-as.
Voor elke waarde van p bekijken we de verhouding:
R = (oppervlaktevanvierkantV)/(oppervlaktevanvierkantW)
Er is een waarde van p waarvoor R maximaal is.
78p

Formules en vergelijkingen opstellen 3p · Product- en quotiëntregel 2p · Extremen en optimaliseren 2p · +1exact

Bereken exact de maximale waarde van R.

opgave 6Gelijke hoeken

Gegeven is de lijn k met vectorvoorstelling xy = 249 + s 152 en de lijn l
met vectorvoorstelling xy = 204 + t 34.
De lijnen k en l snijden elkaar in een punt S.
Lijn m is een lijn met vectorvoorstelling xy = b0 + u 1a.
De waarden van a en b kunnen zo worden gekozen dat m de scherpe
hoek die de lijnen k en l met elkaar maken, in twee gelijke hoeken
verdeelt.
In de figuur is deze situatie getekend.
figuur
figuur
In deze situatie geldt a = 1(3)/(4).

opgave 7Verouderingskromme

De Rijksgebouwendienst beschrijft in een handboek manieren om de
conditie van gebouwen te bepalen. Op basis van inspecties waarbij voor
elk bouwdeel (deel van een gebouw) een conditiescore wordt
vastgesteld, is het mogelijk plannen voor onderhoud, renovatie en
nieuwbouw te maken.
Een conditiescore is een geheel getal van 1 tot en met 6.
Conditiescore 1 hoort bij een nieuw bouwdeel. Naarmate de leeftijd van
het bouwdeel toeneemt, zal slijtage optreden en daarbij horen hogere
conditiescores. Als het bouwdeel niet meer bruikbaar is, krijgt het
conditiescore 6.
In een model waarmee de conditiescore van een bouwdeel wordt
berekend, wordt gebruikgemaakt van drie variabelen:
− t: de leeftijd van het bouwdeel (in jaren),
− L: de theoretische levensduur van het bouwdeel (in jaren) als het niet
wordt onderhouden en
− C: een getal waarmee de uiteindelijke conditiescore wordt berekend.
Hierbij is t ≤ L.
Oorspronkelijk werd door de inspecteurs van de Rijksgebouwendienst
voor een normaal verouderingsproces het volgende verband tussen deze
variabelen gehanteerd:
C = 6 − 5 1 − (t)/(L) (1)/(2,3)
(1)
De uiteindelijke conditiescore werd bepaald door bij de berekende waarde
van C alle decimalen weg te laten. Zo geldt bijvoorbeeld voor een
bouwdeel met een leeftijd die gelijk is aan een kwart van zijn theoretische
levensduur dat C ≈ 1,59. In dat geval is de conditiescore gelijk aan 1.
Door het weglaten van de decimalen leveren verschillende leeftijden soms
dezelfde conditiescore op.
103p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pGR mag

Bereken voor een bouwdeel met een theoretische levensduur van 25 jaar
gedurende hoeveel jaar dat bouwdeel conditiescore 2 krijgt. Geef je
antwoord in één decimaal nauwkeurig.
De Rijksgebouwendienst hanteerde ook een formule waarin t is uitgedrukt
in L en C. Deze formule ontstaat door formule (1) te herleiden tot een
formule van de volgende vorm:
t = L − L ⋅ a(6 − C)b
(2)
114p

Formules herleiden en omwerken 4pexact

Bepaal de waarden van a en b door formule 1 te herleiden tot formule 2.
Rond je berekende waarden zo nodig af op drie decimalen.
Nieuwe inzichten van de inspecteurs hebben ertoe geleid dat in de loop
van de tijd formule 1 is vervangen door:
C = 1 + (1)/(2) log 1 − (t)/(L)
(3)
In de figuur is van formule 1 en van formule 3 de bijbehorende
verouderingskromme weergegeven. De kromme die hoort bij formule 1
is gestippeld weergegeven.
Op de verticale as staat C; hoge waarden van C staan onderaan.
figuur
figuur
Op de horizontale as staat de leeftijd t van een bouwdeel uitgedrukt in de
theoretische levensduur L. Zo betekent t = 0,5L dat een bouwdeel de
helft van zijn theoretische levensduur heeft bereikt.
In de figuur is te zien dat volgens formule 1 conditiescore 3 wordt bereikt
als de leeftijd van een bouwdeel bijna 70 procent van de theoretische
leeftijd is. Volgens formule 3 bereikt dat bouwdeel conditiescore 3 later
dan volgens formule 1.
123p

Formules en vergelijkingen opstellen 1p · Exponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 1p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pexact

Bereken exact na hoeveel procent van de theoretische levensduur het
bouwdeel conditiescore 3 bereikt volgens formule 3.

opgave 8Cosinusgrafiek door hoogste punten

Voor elke p met 0 ≤ p ≤ 4 wordt de functie fp met domein 0 ≤ x ≤ (1)/(2)π
gegeven door:
fp(x) = −2cos2(x) + p ⋅ cos(x) − 1
In figuur 1 is voor enkele waarden van p de grafiek van fp getekend.
figuur 1
figuur 1
De grafiek van f3 heeft behalve de oorsprong een tweede
gemeenschappelijk punt met de x-as.
134p

Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 2p · Goniometrische vergelijkingen exact oplossen 2pexact

Bereken exact de x-coördinaat van dat tweede gemeenschappelijke punt.
De grafiek van fp heeft voor p = 4 een hoogste punt voor x = 0. Ook
voor de andere waarden van p heeft de grafiek van fp een hoogste punt.
In figuur 2 is telkens met een dikke stip het hoogste punt van de grafiek
van fp aangegeven. De gestippelde kromme verbindt deze hoogste
punten met elkaar.
figuur 2
figuur 2
Voor de x-coördinaat a van het hoogste punt van de grafiek van fp geldt
dat cos(a) = (1)/(4) p.
144p

Kettingregel 2p · Extremen en optimaliseren 2pexact

Bewijs dit.
De kromme die de hoogste punten van de grafieken van fp verbindt, is
de grafiek van de functie g gegeven door g(x) = cos(2x), met 0 ≤ x ≤ (1)/(2)π.
154p

Formules herleiden en omwerken 3p · Goniometrische formules en herleidingen 1pexact

Bewijs dit.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

opgave 9Loodrecht door de parabool

Gegeven zijn de bewegingsvergelijkingen:
xy((tt)) = = tt^2
De bijbehorende baan is een
figuur 1
parabool. Punt M(r,0) is een punt
op de positieve x-as met r > (1)/(2).
We kiezen punt A(a,√(a)) op de
parabool zodanig dat de halve lijn
vanuit M door A de parabool
loodrecht snijdt in punt A.
Zie figuur 1.
Er geldt:
a = r − (1)/(2)
figuur 1
176p

Pythagoras, sinus, cosinus en tangens 3p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 2pexact

middelpunt M(r,0) en straal r.
Het punt O(0,0) ligt op deze cirkel
en op de gegeven parabool.
De halve lijn vanuit M door A snijdt
de cirkel in punt B.
Zie figuur 2.
Voor een bepaalde waarde van r is
A het midden van lijnstuk MB.
Bereken exact deze waarde van r.
figuur 2