bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2021, tijdvak 2

naslagFormules

Goniometrie
sin(t + u) = sin(t)cos(u) + cos(t)sin(u)
sin(t − u) = sin(t)cos(u) − cos(t)sin(u)
cos(t + u) = cos(t)cos(u) − sin(t)sin(u)
cos(t − u) = cos(t)cos(u) + sin(t)sin(u)
sin(2t) = 2sin(t)cos(t)
cos(2t) = cos2(t) − sin2(t) = 2cos2(t) − 1 = 1 − 2sin2(t)

opgave 3Vectoren spiegelen

Wanneer een vector in een lijn wordt gespiegeld, wordt zowel het beginpunt als het eindpunt van de vector in die lijn gespiegeld. Het resultaat is een nieuwe vector die het gespiegelde beginpunt en het gespiegelde eindpunt verbindt. figuur 1 In figuur 1 is een voorbeeld uuur weergegeven. Daarin…

Wanneer een vector in een lijn wordt gespiegeld, wordt zowel het beginpunt als het eindpunt van de vector in die lijn gespiegeld. Het resultaat is een nieuwe vector die het gespiegelde beginpunt en het gespiegelde eindpunt verbindt. figuur 1 In figuur 1 is een voorbeeld uuur weergegeven. Daarin wordt vector AB , met A ( 1,1 ) en B ( 2, 3 ) , gespiegeld in de lijn met vergelijking uuur x = 3 . Het spiegelbeeld is dan vector CD , met C ( 5,1 ) en D ( 4, 3 ) . uuur Gegeven is punt F ( 7, 2 ) en vector OF . uuur Vector OF wordt in de x -as gespiegeld. Het spiegelbeeld is vector OG . uuur Voor één bepaalde combinatie van p en q geldt p ⋅ OF + q ⋅ OG = . − 3

opgave 4Raaklijnen bij een vierdegraadsfunctie

figuur 1 De functie f p is gegeven door: f p ( x ) = ¼ x 4 − x 3 + px De lijn k heeft vergelijking y = px . Lijn k raakt de grafiek van f p voor iedere waarde van p in de oorsprong. De lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f p in het punt A met x -coördinaat 2. Lijn l snijdt de y -as voor elke…

figuur 1 De functie f p is gegeven door: f p ( x ) = ¼ x 4 − x 3 + px De lijn k heeft vergelijking y = px . Lijn k raakt de grafiek van f p voor iedere waarde van p in de oorsprong. De lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f p in het punt A met x -coördinaat 2. Lijn l snijdt de y -as voor elke waarde van p in het punt B ( 0, 4 ) . Punt M is het snijpunt van lijn k en lijn l . In figuur 1 is de grafiek van f p weergegeven voor een waarde van p . De raaklijnen k en l zijn gestippeld weergegeven.

opgave 5Bankenformules

Op een spaarrekening wordt een bedrag gestort. Het jaarlijkse
rentepercentage op deze spaarrekening is constant. Hierdoor groeit het
bedrag op de spaarrekening exponentieel. Voor de spaarder is het
interessant om te weten na hoeveel jaar het bedrag is verdubbeld.
De verdubbelingstijd is exact te berekenen met de formule T = (ln(2))/(ln(1 + p))100.
Hierin is T de verdubbelingstijd in jaren en p het jaarlijkse
rentepercentage.
84p

Exponentiële functies en groei 2pexact

Bewijs dat deze formule voor T correct is.
Als je geen rekenmachine gebruikt, is de formule voor T onhandig.
Daarom gebruiken bankmedewerkers, als zij de verdubbelingstijd willen
weten, formules die de exacte verdubbelingstijd benaderen. Zulke
formules noemen we bankenformules. Om zo’n bankenformule te vinden
onderzoeken we eerst de noemer van de formule voor T. We bekijken dus
de functie N gegeven door:
N(x) = ln (^1^ + (x)/(100)) (met x ≥ 0)
In de figuur is de grafiek van N getekend. Ook is de raaklijn k aan de
grafiek van N in O getekend.
figuur
figuur
Een vergelijking van k is y = (1)/(100)x. Als x > 0 ligt de grafiek van N onder
lijn k. Verder geldt: als x groter wordt, dan wordt de verticale afstand
tussen de grafiek van N en lijn k groter.
94p

Kettingregel 2p · Samengestelde functies, som- en verschilfuncties 1p · Stijgen, dalen en veranderingsgedrag 1pexact

Bewijs met behulp van differentiëren dat de verticale afstand tussen de
grafiek van N en lijn k inderdaad groter wordt als x groter wordt.
Voor kleine positieve waarden van x ligt lijn k dicht bij de grafiek van N.
Je kunt dus zeggen dat voor kleine positieve waarden van p geldt dat
ln (^1^ + (p)/(100)) ongeveer gelijk is aan (1)/(100) p. Dan geldt dus:
T ≈ (ln(2))/(1 p)_1_0_0 ofwel T ≈(100 ⋅ ln(2))/(p) ≈(70)/(p)
Daarmee is een voorbeeld gevonden van een bankenformule: de exacte
verdubbelingstijd T kan voor kleine positieve waarden van p benaderd
worden door (70)/(p) te berekenen. Deze benadering noemen we T_1.
De benadering met de formule T_1 = (70)/(p) verschilt voor toenemende waarden
van p steeds meer van de waarde volgens de exacte formule, waarmee
de benadering dus steeds slechter wordt. Daarom wordt in de praktijk het
getal 70 in de teller aangepast als p groter wordt, bijvoorbeeld naar 72.
Deze benadering noemen we T2.
In de tabel wordt voor twee waarden van p de verdubbelingstijd in jaren
volgens de bankenformules T_1 = (70)/(p) en T_2 = (72)/(p) vergeleken met de
verdubbelingstijd volgens de exacte formule.
tabel
  rentepercentage rentepercentage   p = 1,5 p = 5,5 ln(2) exacte formule T =     exacte formule T = ln ( 1 + p ) 46,56 12,95 ln 1 + 100     70 bankenformule T =     bankenformule T = 1 p 46,67 12,73 72 bankenformule T =     bankenformule T = 2 p 48,00 13,09
In de tabel is te zien dat voor p = 1,5 de bankenformule T_1 = (70)/(p) een
betere benadering geeft dan de bankenformule T_2 = (72)/(p). In de tabel is ook
te zien dat voor p = 5,5 de benadering met T_2 = (72)/(p) beter is dan met
T_1 = (70)/(p).
Vanaf een bepaald rentepercentage p geeft de formule T_2 = (72)/(p) een betere
benadering van de exacte verdubbelingstijd dan de formule T_1 = (70)/(p).
105p

Formules en vergelijkingen opstellen 3p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2pGR mag

Bereken dit rentepercentage p. Geef je eindantwoord in één decimaal.

opgave 6Twee wortelgrafieken

De functies f en g zijn gegeven Op de grafiek van f ligt het punt De helling van de grafiek van f in De lijn door O en P snijdt de grafiek van g in het punt Q . Deze situatie is weergegeven in figuur 1. figuur 1 De helling van de grafiek van g in punt Q is voor elke waarde van p gelijk aan de…

De functies f en g zijn gegeven Op de grafiek van f ligt het punt De helling van de grafiek van f in De lijn door O en P snijdt de grafiek van g in het punt Q . Deze situatie is weergegeven in figuur 1. figuur 1 De helling van de grafiek van g in punt Q is voor elke waarde van p gelijk aan de helling van de grafiek van f in punt P .

opgave 7Asymptoten en raaklijnen

De functie f is gegeven door f(x) = e^ − (1)/(x).
In figuur 1 is de grafiek van f weergegeven.
figuur 1
figuur 1
De grafiek van f heeft twee asymptoten. Daarom heeft de grafiek van de
inverse functie van f ook twee asymptoten.
133p

Eigenschappen van functies en grafieken 2p · Inverse functies 1pexact

Stel met behulp van exacte berekeningen vergelijkingen op van de
asymptoten van de grafiek van de inverse functie van f.
De afgeleide functie van f wordt gegeven door f'(x) = (1)/(x2) ⋅ e^ − (1)/(x).
In de rest van de opgave is het domein van f beperkt tot x > 0.
De raaklijn aan de grafiek van f in een punt P snijdt de x-as in een punt S.
Zie figuur 2.
figuur 2
figuur 2
De x-coördinaat van S hangt af van de positie van P op de grafiek van f.
Er is een positie van P waarvoor de x-coördinaat van S maximaal is.
147p

Raaklijnen aan grafieken 3p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 2p · Extremen en optimaliseren 2pexact

Bereken exact deze maximale waarde van de x-coördinaat van S.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

opgave 8Driehoek in cirkel

figuur 1
figuur 1
Een lijn k gaat door de oorsprong O en
maakt een hoek α met de positieve x-as,
met 0° < α < 90°.
Op de positieve x-as ligt een punt M zo
dat de cirkel met middelpunt M en straal 1
lijn k raakt. Punt A is het raakpunt en
hoek OAM is dus 90°.
In figuur 1 is de situatie voor een bepaalde waarde van α weergegeven.
De coördinaten van A(x_A,y_A) kunnen worden uitgedrukt in α.
155p

Pythagoras, sinus, cosinus en tangens 3p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2pGR mag

Bereken de waarde van α waarvoor x_A = (1)/(2). Geef je eindantwoord in hele
graden.
Voor elke hoek α (met 0° < α < 90°) raakt lijn k de cirkel in punt A. Verder
snijdt de cirkel de x-as rechts van het middelpunt in een punt B. Op de
cirkel ligt een punt C boven de x-as, zo dat de lijn door M en C hoek AMB
middendoor deelt. De positie van M, en dus ook de oppervlakte van
driehoek MBC, hangt af van hoek α. In figuur 2 en 3 is voor twee
verschillende waarden van α de situatie weergegeven.
figuur 2
figuur 3
figuur 2
figuur 3
Als α nadert naar 0, neemt de oppervlakte van driehoek MBC af tot een
grenswaarde.