bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2019, tijdvak 1

naslagFormules

Goniometrie
sin(t + u) = sin(t)cos(u) + cos(t)sin(u)
sin(t − u) = sin(t)cos(u) − cos(t)sin(u)
cos(t + u) = cos(t)cos(u) − sin(t)sin(u)
cos(t − u) = cos(t)cos(u) + sin(t)sin(u)
sin(2t) = 2sin(t)cos(t)
cos(2t) = cos2(t) − sin2(t) = 2cos2(t) − 1 = 1 − 2sin2(t)

opgave 3Rechts van het snijpunt

De functies f en g zijn gegeven door:
figuur
25p

Kettingregel 2p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2pGR mag

y g A O x f B
f(x) = 3cos(2x) − √(2x) en
g(x) = 3 − √(2x)
De grafiek van g snijdt de x-as in punt A.
De grafiek van f heeft diverse toppen, alle
met een positieve x-coördinaat.
Punt B is de derde van deze toppen.
Zie de figuur.
Er geldt: punt B ligt rechts van punt A.
Toon dit aan met behulp van de afgeleide
van f.

opgave 4Altijd raak

Voor p ≥ 1 is de functie fp gegeven door:
f_p(x) = p + √(x − p)
In figuur 1 is voor enkele waarden van p de grafiek van fp weergegeven
en ook lijn k met vergelijking y = x + (1)/(4).
figuur 1
y k f 7 f 4 f 3 f 1 O x
Lijn k raakt de grafiek van fp voor elke waarde van p ≥ 1.
35p

Raaklijnen aan grafieken 3p · Kettingregel 1p · Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 1pexact

Bewijs dit.
Voor p ≥ 1 heeft de grafiek van fp een randpunt, ook wel beginpunt
genoemd. De randpunten van de grafieken in figuur 1 zijn met een stip
aangegeven.
Er geldt voor elke p ≥ 1: het randpunt van de grafiek van fp ligt op de
grafiek van fp−1.
43p

Eigenschappen van functies en grafieken 2pexact

Bewijs dat inderdaad voor p ≥ 1 geldt: het randpunt van de grafiek van fp
ligt op de grafiek van fp−1.
Punt A(1,1) is het randpunt van de grafiek van f1. Punt B(2,2) is het
randpunt van de grafiek van f2. B ligt dus op de grafiek van f1.
Door de punten A en B gaat een lijn l.
V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door lijn l en de grafiek van f1.
Zie figuur 2.
figuur 2
f2 B f1 V l A
55p

Bepaalde integralen en oppervlakte 2p · Primitiveren 2p · Lijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 1pexact

Bereken exact de oppervlakte van V.

opgave 5Slingshot

De Slingshot is een kermisattractie.
foto
Tussen de toppen van twee palen hangt aan
twee identieke elastische koorden een capsule
die plaats biedt aan twee personen. Zie de foto.
De capsule wordt allereerst omlaag getrokken
tot aan de grond. Op dat moment gaan er twee
personen in de capsule zitten. Vervolgens wordt
de capsule losgelaten. De capsule schiet dan
recht omhoog. Daarna valt hij recht omlaag,
gaat weer omhoog, enzovoorts. Na enige tijd
komt de capsule stil te hangen.
Gegeven is:
− De palen staan 14 m uit elkaar.
− De palen staan verticaal.
foto
− De palen zijn 20 m hoog.
− Zonder uitrekking heeft elk koord een lengte van 8 m.
− Elk koord trekt aan de capsule met een kracht die afhangt van de
lengte van het uitgerekte koord. De grootte van deze kracht kan
berekend worden met de formule:
Fk = 0,6 ⋅ (L − 8)
Hierbij is Fk de grootte van de kracht in kN (kilonewton) en L de
lengte van het uitgerekte koord in m (met L ≥ 8).
figuur 1
63p

Pythagoras, sinus, cosinus en tangens 2p · Rekenen met een gegeven formule 1pGR mag

14 m A B 20 m F F k k C
In figuur 1 is de beginsituatie
weergegeven. De capsule is aangegeven
met het punt C en de toppen van de palen
met A en B.
De capsule bevindt zich op de grond,
midden tussen de palen.
Beide koorden, CA en CB, zijn dan flink
uitgerekt en staan strak.
Bereken de grootte van de kracht in kN
waarmee een koord in de beginsituatie
aan de capsule trekt. Geef je
eindantwoord in één decimaal.
De twee krachten kun je weergeven met twee vectoren.
De som van deze twee vectoren is een vector die een verticale kracht
weergeeft met grootte Fkv. De grootte van deze kracht kan berekend
worden met de volgende formule:
Fkv = 2 ⋅ Fk ⋅ cos(α)
Hierin is α de hoek tussen een koord en de verticale vector. Zie figuur 2.
figuur 2
figuur 3
14 m A B F x kv 20 m F k αα F k C
x F F k k C 20 m F z
Op de capsule, inclusief de twee personen, werkt niet alleen de kracht
van beide koorden, maar ook de zwaartekracht Fz, die recht naar
beneden is gericht. Zie figuur 3. Deze zwaartekracht bedraagt 1,8 kN.
In figuur 2 en figuur 3 is ook het hoogteverschil tussen C en de toppen
van de palen met x aangegeven.
Na een aantal keren op en neer te zijn geslingerd, is de capsule tot
stilstand gekomen. Op dat moment heft de zwaartekracht de twee
krachten op die door de koorden samen worden uitgeoefend.
Er geldt dan dus: Fkv = Fz
De hoogte waarop de capsule tot stilstand komt, is te berekenen door
eerst Fkv in x uit te drukken.
76p

Pythagoras, sinus, cosinus en tangens 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 2p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2pGR mag

Druk Fkv uit in x en bereken daarmee hoe hoog de capsule boven de
grond hangt als hij tot stilstand is gekomen. Geef je eindantwoord in
gehele meters.

opgave 6Een logaritmische functie en haar afgeleide

De functies f en g worden gegeven door:
f(x) = xln(x) − x + 1
g(x) = f'(x)
85p

Exponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 4p · Product- en quotiëntregel 1pexact

Bereken exact de x-coördinaten van de snijpunten van de grafieken
van f en g.
Er is één waarde van p waarvoor geldt:
2 p
_p g(x)dx = 0
Voor deze waarde van p is de situatie in de figuur geschetst.
figuur
y g p 2p x
97p

Exponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 5p · Bepaalde integralen en oppervlakte 2pexact

Bereken exact deze waarde van p. Schrijf je eindantwoord in de vorm
p = ae, waarbij a een getal is.

opgave 7Gebroken goniometrische functie

De functie f is gegeven door:
figuur 1
f(x) = (cos(x))/(− sin2(x))
Lijn k is de lijn met vergelijking
y = √(2).
Lijn k en de grafiek van f hebben
oneindig veel snijpunten. De punten
A en B zijn de twee snijpunten met
de kleinste positieve x-coördinaten.
y f A B k O x
Deze zijn in figuur 1 aangegeven.
106p

Goniometrische vergelijkingen exact oplossen 2p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 2p · Goniometrische formules en herleidingen 1pexact

Bereken exact de x-coördinaten van A en B.
Voor elke waarde van p is de functie fp gegeven door:
f_p(x) = (cos(x))/(p − sin2(x))
116p

Eigenschappen van functies en grafieken 3p · Goniometrische formules en herleidingen 2p · Goniometrische vergelijkingen exact oplossen 1pexact

Onderzoek of er waarden van p zijn waarvoor de grafiek van fp
perforaties heeft.
In de rest van de opgave beperken we ons tot waarden van p waarvoor
geldt: p ≠ 0
De punten op de grafiek van fp met x-coördinaten 0, π en 2π noemen
we respectievelijk P, Q en R.
In figuur 2 is voor een waarde van p de grafiek van fp weergegeven.
Ook zijn de lijnstukken PQ en QR weergegeven.
figuur 2
y fp P R O x Q
Er zijn waarden van p waarvoor PQ en QR loodrecht op elkaar staan.

opgave 8Driehoek met bewegend hoekpunt

Lijn k gaat door de punten A(0,10) en B(40,0).
De baan van een punt P is gegeven door de volgende
bewegingsvergelijkingen:
xy = = 1380 + − 53tt
De baan van punt P is de lijn m. Zie de figuur.
figuur
y 40 P 30 20 m 10 A k B O 10 20 30 40 555000 60 777000 x
Bij bijna elke positie van punt P vormen de punten A, B en P een
driehoek ABP. Er is één uitzondering.
135p

Lijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 2p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1p · Parametervoorstellingen en bewegingen 1pGR mag

Bereken de coördinaten van P zodat A, B en P niet de hoekpunten van
een driehoek vormen.
148p

Vectoren en inproduct 3p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 2p · Afstanden met coördinaten 2pexact

Onderzoek op algebraïsche wijze of er een positie van P is, zó dat
driehoek ABP een rechte hoek heeft bij P én driehoek ABP een
gelijkbenige driehoek is.

opgave 9Afgeknotte paraboloïde

De functie f is gegeven door f(x) = √(x). De grafiek van f is getekend in
figuur 1, samen met de lijnen met vergelijkingen x = a en x = b, waarbij
0 < a < b. Midden tussen de punten (a,0) en (b,0) ligt het punt (m,0).
De grafiek van f, de x-as en de twee verticale lijnen sluiten een gebied in.
Dit gebied, in figuur 1 met grijs aangegeven, wordt gewenteld om de x-as.
Het omwentelingslichaam is een zogenaamde afgeknotte paraboloïde.
Deze is afgebeeld in figuur 2.
figuur 1
figuur 2
y f O a m b x
a m b
Bij de omwenteling beschrijft elk punt van de grafiek een cirkel.
De oppervlakte van de cirkel die beschreven wordt door het punt (m,√(m))
noemen we A. De cirkelschijf met deze oppervlakte is met donkergrijs
aangegeven in figuur 2.
figuur 3
In figuur 3 staat de afgeknotte paraboloïde
een kwartslag gedraaid. In die figuur is ook
de hoogte h van de afgeknotte paraboloïde
aangegeven.
b m h a
Voor de inhoud V van de afgeknotte paraboloïde geldt de formule:
V = h ⋅ A