bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2017, tijdvak 2

naslagFormules

Vlakke meetkunde
Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
gebruikt zonder nadere toelichting.
Hoeken, lijnen en afstanden:
gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken,
afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid.
(Meetkundige plaatsen:)/(middelloodlijn, bissectr)ice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel,
parabool.
(Driehoeken:)/(hoekensom)driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ,
ZZZ, ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr; middelloodlijnen driehoek,
bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek,
zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek,
gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige
rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek.
(Vierhoeken:)/(hoekensom)vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant.
Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken:
koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales,
middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen
koorde en raaklijn, koordenvierhoek.
Goniometrie
sin(t + u) = sin(t)cos(u) + cos(t)sin(u)
sin(t) + sin(u) = 2sin((t + u)/(2))cos ((t − u)/(2))
sin(t − u) = sin(t)cos(u) − cos(t)sin(u)
sin(t) − sin(u) = 2sin((t − u)/(2))cos((t + u)/(2))
cos(t + u) = cos(t)cos(u) − sin(t)sin(u)
cos(t) + cos(u) = 2cos((t + u)/(2))cos((t − u)/(2))
cos(t − u) = cos(t)cos(u) + sin(t)sin(u)
cos(t) − cos(u) = − 2sin((t + u)/(2))sin ((t − u)/(2))

opgave 2Twee machten van 2

De functie f is gegeven door:
figuur 1
15p
f(x) = 2x + 2−2x
In figuur 1 is een deel van de grafiek
van f weergegeven.
De functie heeft één extreme waarde
en dat is een minimum.
Bereken exact de waarde van x
waarvoor f(x) minimaal is.
y f ––11 O 111 x
In figuur 2 is het gebied grijs gemaakt dat wordt begrensd door de grafiek
van f, de x-as en de lijnen met vergelijkingen x = −1 en x = 1.
In figuur 3 is het rechthoekige gebied grijs gemaakt dat wordt begrensd
door de x-as en de lijnen met vergelijkingen x = −1, x = 1 en y = k.
De waarde van k is zo gekozen dat het grijze gebied uit figuur 2 en het
grijze gebied uit figuur 3 dezelfde oppervlakte hebben.
figuur 2
figuur 3
y f ––11 O 111 x
y f y = k ––11 O 111 x
25p
Bereken algebraïsch de waarde van k. Rond je eindantwoord af op twee
decimalen.

opgave 3De stelling van Ptolemaeus

De Griekse wiskundige Ptolemaeus leefde van 87 tot 150 na Christus.
In een van zijn stellingen formuleert hij het volgende verband tussen de
lengtes van de twee diagonalen en de vier zijden van een
koordenvierhoek ABCD:
AC ⋅ BD = AB ⋅ CD + AD ⋅ BC
In deze opgave gaan we deze stelling van Ptolemaeus in stappen bewijzen.
In de figuur is een koordenvierhoek ABCD getekend. Verder is op het
verlengde van zijde AB, aan de kant van B, punt P getekend waarvoor
geldt: ACD = PCB.
figuur
C P B
De driehoeken ACD en PCB zijn gelijkvormig.
34puitwerkbijlage
Bewijs dit. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.
Ook de driehoeken BCD en PCA zijn gelijkvormig.
44puitwerkbijlage
Bewijs dit. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.
Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken BCD en PCA volgt de
uitdrukking
AP ⋅ CD = AC ⋅ BD
Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken ACD en PCB volgt voor
BP ⋅ CD een soortgelijke uitdrukking.
54p
Bewijs met behulp van deze uitdrukkingen de stelling van Ptolemaeus:
AC ⋅ BD = AB ⋅ CD + AD ⋅ BC

opgave 4Straal van een waterstraal

In deze opgave kijken we naar
figuur 1
water dat uit een cirkelvormige
cirkel op hoogte h 0 met straal r 0 en stroomsnelheid v 0 xxx === hhh −−− hhh 000 cirkel op hoogte h met straal r en stroomsnelheid v h
kraanopening stroomt.
In figuur 1 is de vorm van de
waterstraal getekend. Op elke
hoogte is de horizontale
doorsnede van de waterstraal een
cirkel. De straal van die cirkel
wordt naar beneden toe steeds
kleiner.
Op hoogte h heeft de horizontale
doorsnede straal r en is de
stroomsnelheid van het water v.
De kraanopening heeft straal r0 en
bevindt zich op hoogte h0.
De snelheid waarmee het water uit
de kraan stroomt, is v0.
Het hoogteverschil h0 − h geven
we aan met x.
In de formules van deze opgave is meter de eenheid van lengte en meter
per seconde de eenheid van snelheid.
Uit de (natuurkundige) Wet van behoud van energie volgt:
v02 + 2gh0 = v2 + 2gh
(1)
Hierin is g de valversnelling van 9,81 m/s2.
De hoeveelheid water die per seconde op een bepaalde hoogte
voorbijstroomt, is voor elke hoogte gelijk. Hieruit is af te leiden:
r02 ⋅ v0 = r2 ⋅ v
(2)
Door formule 1 en formule 2 te combineren kan worden aangetoond:
v 2 4 0 r r 0 v 2 2gx 0
(3)
65p
Toon door formule 1 en formule 2 te combineren aan dat formule 3 juist is.
Een bepaalde kraan heeft een opening met een diameter van 2 cm. De
opening bevindt zich 30 cm boven een oppervlak. De kraan wordt zo ver
opengedraaid dat v0 = 0,5 m/s.
In figuur 2 is voor deze waterkraan de grafiek getekend die het verband
weergeeft tussen het hoogteverschil x en de straal r.
figuur 2
r 0,01 O 0,1 0,2 0,3 x
Als deze grafiek wordt gewenteld om de horizontale x-as, ontstaat de
vorm van de waterstraal (90 graden linksom gedraaid).
De inhoud van het omwentelingslichaam is gelijk aan de hoeveelheid
water waaruit de waterstraal op een bepaald moment bestaat.
75p
Bereken deze hoeveelheid. Rond je eindantwoord af op een geheel aantal
cm3.

opgave 5Sinus en het kwadraat van sinus

Voor 0 ≤ x ≤ (1)/(2)π zijn de functies f en g gegeven door f(x) = sin(x) en
g(x) = sin2(x). De grafieken van f en g snijden elkaar in O en ((1)/(2)π,1).
V is het vlakdeel dat wordt begrensd door de twee grafieken.
In figuur 1 is V grijs gemaakt.
figuur 1
y 1 f g V O 1 x -- 2
85p
Bereken exact de oppervlakte van V.
De lijn met vergelijking x = p, met 0 < p < (1)/(2)π, snijdt de grafiek van f in
het punt A en die van g in het punt B. Zie figuur 2.
figuur 2
y x = p 1 f g A B O 1 x -- 2
De lengte van lijnstuk AB is afhankelijk van p.
96p
Bereken exact de maximale lengte van lijnstuk AB.

opgave 6De vergelijking van Arrhenius

Om een chemische reactie tot stand te brengen is een
bepaalde hoeveelheid activeringsenergie nodig. De
Zweedse scheikundige en Nobelprijswinnaar Svante
Arrhenius heeft een vergelijking opgesteld die het
verband aangeeft tussen het aantal reagerende
moleculen, de temperatuur en de activeringsenergie:
k = A ⋅ e^ − (E)/(8,314T)
figuur bij de opgave
Hierin is
− A de constante van Arrhenius;
− E de activeringsenergie (in joule per mol);
− T de temperatuur (in kelvin);
− k een getal dat aangeeft hoeveel moleculen er per seconde reageren.
De vergelijking van Arrhenius kun je herleiden tot de volgende vorm:
E = 8,314T ⋅ ln (A)/(k)
104p
Geef een herleiding waaruit dit blijkt.
E en A hebben voor elk soort reactie een eigen waarde. De waarden van
E en A hangen niet af van de temperatuur. Omdat ze niet direct te meten
zijn, meet men bij een reactie de waarde van k bij twee verschillende
temperaturen. Hieruit zijn dan met de vergelijking van Arrhenius de bij die
reactie horende waarden van E en A te berekenen.
Als voorbeeld bekijken we de chemische reactie waarbij stikstofdioxide
wordt omgezet naar stikstofmonoxide en zuurstof.
Voor deze reactie is in een proef vastgesteld dat k = 2,7·10–2 als T = 500
en dat k = 2,4·10–1 als T = 550.
113p
Bereken de waarde van E van deze reactie. Geef je eindantwoord in de
vorm a ⋅105, met a afgerond op één decimaal.

opgave 7Op een cirkel

Op de cirkel met middelpunt O(0,0) ligt punt A(0, − 1). Punt P beweegt
over de cirkel volgens de bewegingsvergelijkingen xy = = csions((αα))
waarbij α (met 0 < α < (1)/(2)π) de draaihoek in radialen is ten opzichte van
de positieve x-as.
figuur 1
De raaklijnen aan de cirkel in de
punten A en P snijden elkaar in een
punt S. In figuur 1 is een mogelijke
situatie getekend.
Voor de x-coördinaat van S geldt:
x = (1 + sin(α))/(cos(α))
y P α x O A S
127puitwerkbijlage
Bewijs dit. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de
uitwerkbijlage.
figuur 2
Punt Q op de cirkel is het beeld van
P bij spiegeling in de y-as. Als P
over de cirkel beweegt, veranderen
de posities van Q en van S. Bij deze
beweging blijven de lijnstukken AS
en PQ evenwijdig.
Voor 0 < α < (1)/(2)π is er een positie
van P waarbij de lijnstukken PQ en
AS even lang zijn.
In figuur 2 is deze situatie getekend.
y P Q α O x A S
138p
Bereken voor deze situatie exact de omtrek van vierhoek ASPQ.

opgave 8Middelloodlijn en koordenvierhoek

Gegeven is een scherphoekige driehoek ABC waarin de middelloodlijn
van AB zijde BC snijdt. De cirkel door de punten A, B en C heeft als
middelpunt M. De middelloodlijn van AB gaat dus door M. Deze
middelloodlijn snijdt AB in punt R en BC in punt S. Zie de figuur.
In de figuur is ook vierhoek AMSC aangegeven.
figuur
C S M R
146puitwerkbijlage
Bewijs dat vierhoek AMSC een koordenvierhoek is. Je kunt hierbij
gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.