opgave 1Een rij
opgave 2Onnodig ingewikkeld?
Een gezonde volwassene is ’s morgens langer dan aan het einde van de dag. De Australische wetenschapper D. Burgess heeft dit verschijnsel onderzocht en publiceerde in 1999 de volgende formule voor de lengtefractie S : S = ln( − 0,00216 t + 2,7183) . Hierin is t het aantal uren nadat een persoon is opgestaan en S de verhouding tussen de lengte L van die persoon ten opzichte van zijn lengte L 0 bij het Meneer Jansen heeft als hij uit bed komt een lengte van 170,0 cm.
Bereken na hoeveel tijd meneer Jansen volgens de formule 2,0 cm korter is geworden. Geef je antwoord in minuten nauwkeurig. We gaan er in het vervolg van de opgave van uit dat een persoon na het opstaan 16 uur actief is, dus na 16 uur weer gaat slapen. figuur 1 In figuur 1 is de grafiek van S als functie van t getekend. Deze grafiek lijkt zo op het eerste gezicht een rechte lijn, maar door de formule weten wij dat dit niet zo is.
Leg met behulp van de tweede afgeleide uit of er voor 0 ≤ t ≤ 16 sprake is van toenemende of afnemende daling. De grafiek van S valt nagenoeg samen met de rechte lijn door de punten (0; 1,0000) en (16; 0,9872) . Is de formule van S met de natuurlijke logaritme, zoals gepubliceerd door de Australische wetenschapper, niet onnodig ingewikkeld? We zouden voor S ook gewoon een lineaire functie van t kunnen nemen. We vergelijken daarom de formule S = ln( − 0,00216 t + 2,7183) met de formule S = − 0,0008 t + 1,0000 die hoort bij de rechte lijn door de punten (0; 1,0000) en (16; 0,9872) . We nemen weer meneer Jansen, met een lengte van 170,0 cm bij het opstaan, als voorbeeld. Met behulp van beide formules kun je op elk tijdstip t (met 0 ≤ t ≤ 16 ) de lengte van meneer Jansen in de loop van de dag uitrekenen. Ook kun je op elk tijdstip t het verschil tussen de uitkomsten van beide formules bekijken.
opgave 3Gelijkzijdige driehoeken
Gegeven is een gelijkzijdige
figuur 1
driehoek ABC.
l is de lijn door C, evenwijdig aan
AB. Punt E ligt op l aan dezelfde
kant van BC als A.
Punt D ligt zó op de lijn BC dat
60°.Zie figuur 1. Deze figuur staat ook
op de uitwerkbijlage.
Vierhoek ACDE is een koordenvierhoek.
63p
Bewijs dit.
Driehoek ADE is gelijkzijdig.
75p
Bewijs dit.
Gegeven zijn de lijnen k en m en
figuur 2
een punt A. Zie figuur 2.
In de volgende vraag zoeken we een
gelijkzijdige driehoek waarvan A één
van de hoekpunten is, waarvan een
ander hoekpunt op k ligt en waarvan
het derde hoekpunt op m ligt.
Daartoe tekenen we eerst de
gelijkzijdige driehoek ABC waarbij B
84puitwerkbijlage
en C beide op k liggen. Zie figuur 3.
Teken in de figuur op de
uitwerkbijlage een gelijkzijdige
driehoek AKM, waarbij K op k ligt en
M op m. Licht je werkwijze toe.
opgave 4Evenwijdige lijnen
De functie f is gegeven door 
.
.De grafiek van f snijdt de x-as in punt A (4, 0) en de y-as in punt B (0, 4).
Voor elke waarde van c is de lijn k met vergelijking y = − x + c evenwijdig aan de
lijn AB. Voor c > 5 sluiten de x-as, de lijn k, de y-as en de lijn AB een trapezium
in dat door de grafiek van f in twee delen wordt verdeeld. Zie figuur 1.
figuur 1
98p
Bereken algebraïsch voor welke exacte waarde van c deze twee delen gelijke
oppervlakte hebben.
opgave 5Een leugendetector
Een leugendetector meet allerlei aspecten van het lichaam (ademhaling,
hartslag, bloeddruk, zweten) tijdens een verhoor. Het idee achter het gebruik
van een leugendetector is dat iemands lichaam zich anders gedraagt wanneer
hij of zij liegt dan wanneer hij of zij de waarheid spreekt.
Men heeft onderzocht in hoeverre een leugendetector betrouwbaar is. De
uitkomsten zijn als volgt:
− als iemand liegt, wordt hij door de leugendetector in 88% van de gevallen
ook als leugenaar aangewezen (en in 12% van de gevallen wordt hij niet als
leugenaar aangewezen);
− als iemand de waarheid spreekt, wordt hij door de leugendetector in 25%
van de gevallen toch als leugenaar aangewezen (en in 75% van de gevallen
wordt hij niet als leugenaar aangewezen).
Vijf mensen worden onderworpen aan een verhoor. Het is zeker dat één van hen
liegt en dat de andere vier personen de waarheid spreken. Bij het verhoor wordt
gebruikgemaakt van de leugendetector.
103p
Bereken de verwachtingswaarde van het aantal personen dat bij dit verhoor door
de leugendetector als leugenaar wordt aangewezen.
Er zijn twee manieren waarop de leugendetector één van de vijf mensen die
worden verhoord kan aanwijzen als leugenaar:
− de leugenaar wordt aangewezen als leugenaar en de waarheidsprekers niet;
− één van de waarheidsprekers wordt aangewezen als leugenaar en de
andere vier personen niet.
115p
Bereken de kans dat één van deze vijf mensen door de leugendetector als
leugenaar wordt aangewezen.
De kans dat iemand die de waarheid spreekt toch door de leugendetector als
leugenaar wordt aangewezen, is 25%. Daaruit volgt bijvoorbeeld dat de kans dat
hij van tien mensen die de waarheid spreken er minstens één aanwijst als
leugenaar ongeveer 94% is. Dat is onacceptabel hoog. De leugendetector moet
worden verbeterd zo dat de kans dat hij van tien mensen die de waarheid
spreken er minstens één als leugenaar aanwijst, hoogstens 50% is.
125p
Bereken hoe groot de kans dat de leugendetector iemand die de waarheid
spreekt als leugenaar aanwijst maximaal mag zijn.
opgave 6Ellips in een cirkel
Gegeven is een cirkel c met middelpunt
figuur 1
133puitwerkbijlage
M en een punt F binnen deze cirkel.
De ellips e is de meetkundige plaats van
de punten die gelijke afstanden tot cirkel c
en punt F hebben.
In figuur 1 is een gedeelte van e getekend
en een straal MA van de cirkel. Deze
figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
Teken in de figuur op de uitwerkbijlage het
snijpunt van ellips e en de straal MA. Licht
je werkwijze toe.
In figuur 2 is een soortgelijke situatie
figuur 2
144puitwerkbijlage
getekend, met F en A op een andere
plaats. De straal MA snijdt de ellips in
punt B. Deze figuur staat ook op de
uitwerkbijlage.
Bewijs dat 
.
.Je kunt hierbij gebruik maken van de
figuur op de uitwerkbijlage.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
opgave 7Bebuikte rechthoeken
Binnen een cirkel met straal 4 bekijken we gebieden die bestaan uit een
rechthoek (met de hoekpunten op de cirkel), aan de rechter kant aangevuld met
een cirkelsegment. Zo’n gebied heeft dan de vorm van een rechthoek met een
buik. Zie figuur 1.
figuur 1
figuur 2
In figuur 2 is het gebied verdeeld in twee cirkelsectoren, beide met
middelpuntshoek t radialen, en zes gelijke rechthoekige driehoeken. Deze
driehoeken hebben ook een hoek met grootte t radialen.
De oppervlakte O van het gebied is een functie van t, met 
.
.Er geldt: O(t) = 16t + 24 ⋅ sin2t.
156p
Toon de juistheid van deze formule aan.
164p
Bereken de exacte waarde van O als de hoogte van het gebied 4 is.
Bij een bepaalde hoogte is de oppervlakte O maximaal.
177p
Bereken de exacte waarde van deze hoogte.
Bij dit examen hoort geen uitwerkbijlage.
14p
25p
34p
46p
54p
63p
75p
84p
98p
103p
115p
125p
133p
144p
156p
164p
177p
