bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2005, tijdvak 1 (wiskunde B1)

opgave 1Inademen

Bij controlemetingen aan de ademhaling wordt men gevraagd om diep uit te ademen en vervolgens gedurende vijf seconden zo diep mogelijk in te ademen. Tijdens het inademen is de hoeveelheid verse lucht in de longen een functie van de tijd. Voor gezonde mensen gebruiken we het volgende model: L ( t )…

Bij controlemetingen aan de ademhaling wordt men gevraagd om diep uit te ademen en vervolgens gedurende vijf seconden zo diep mogelijk in te ademen. Tijdens het inademen is de hoeveelheid verse lucht in de longen een functie van de tijd. Voor gezonde mensen gebruiken we het volgende model: L ( t ) = 3,6(1 − e − 2,5 t ). Hierbij is L de hoeveelheid verse lucht in liters en t de tijd in seconden ( 0 ≤ t ≤ 5 ). De maximale hoeveelheid verse lucht in de longen van gezonde mensen is volgens dit model ongeveer 3,6 liter.

→ Bereken na hoeveel seconden 90% van deze maximale hoeveelheid verse lucht is ingeademd. Astma is een aandoening aan de luchtwegen. Bij astmapatiënten is de maximale hoeveelheid verse lucht in de longen kleiner en duurt het langer voordat dit maximum bereikt wordt. Voor astmapatiënten gebruiken we…

→ Bereken na hoeveel seconden 90% van deze maximale hoeveelheid verse lucht is ingeademd. Astma is een aandoening aan de luchtwegen. Bij astmapatiënten is de maximale hoeveelheid verse lucht in de longen kleiner en duurt het langer voordat dit maximum bereikt wordt. Voor astmapatiënten gebruiken we het model: L α ( t ) = α ⋅ 3,6(1 − e − 2,5 α t ). Hierbij is α een constante tussen 0 en 1 die afhankelijk is van de zwaarte van de astma.

In figuur 1 is de grafiek van de hoeveelheid figuur 1 ingeademde verse lucht getekend voor een gezond persoon en voor een zekere astmapatiënt. → Bereken voor deze astmapatiënt α in één decimaal nauwkeurig. Licht je werkwijze toe. Een gezond persoon heeft na 2 seconden al 99% van de maximale…

In figuur 1 is de grafiek van de hoeveelheid figuur 1 ingeademde verse lucht getekend voor een gezond persoon en voor een zekere astmapatiënt. → Bereken voor deze astmapatiënt α in één decimaal nauwkeurig. Licht je werkwijze toe. Een gezond persoon heeft na 2 seconden al 99% van de maximale hoeveelheid verse lucht van 3,6 liter ingeademd. Voor een bepaalde astmapatiënt geldt

α = 0,3. → Bereken hoeveel procent van de maximale hoeveelheid verse lucht deze astmapatiënt na 2 seconden heeft ingeademd. Ga bij de volgende vraag weer uit van de formule L α ( t ) = α ⋅ 3,6(1 − e − 2,5 α t ). De snelheid waarmee de hoeveelheid verse lucht toeneemt, is maximaal op het tijdstip t…

α = 0,3. → Bereken hoeveel procent van de maximale hoeveelheid verse lucht deze astmapatiënt na 2 seconden heeft ingeademd. Ga bij de volgende vraag weer uit van de formule L α ( t ) = α ⋅ 3,6(1 − e − 2,5 α t ). De snelheid waarmee de hoeveelheid verse lucht toeneemt, is maximaal op het tijdstip t = 0.

→ Bereken voor welke waarde van α deze maximale snelheid gelijk is aan 4,5 liter per seconde.

opgave 2Lichaamsgewicht

Het gewicht van volwassen Nederlanders is bij benadering normaal verdeeld met
gemiddelde 76 kg en standaardafwijking 10 kg. In deze opgave werken we met deze
normale verdeling.
Bij een onderzoek worden 1200 personen gewogen.
53p
Bereken de verwachtingswaarde van het aantal proefpersonen met een gewicht tussen 66 en
86 kg.
65p
Bereken de kans dat van twee willekeurig gekozen personen er één zwaarder is dan 82 kg
en één lichter dan 82 kg.

opgave 3Rechthoek om driehoek

figuur 2
figuur 2
figuur 2
figuur 2
Een gelijkbenige driehoek met een tophoek van 30° ((1)/(6) π radialen) en twee zijden van
lengte 1 wordt op een rechthoekig blaadje papier gelegd met de top in een hoekpunt van het
papier. Zie figuur 2.
Vervolgens wordt door elk van de andere hoekpunten van de driehoek een lijn getrokken
evenwijdig aan een rand van het blaadje. Door de getekende lijnen en de randen van het
blaadje papier wordt zo een rechthoek gevormd.
figuur 2
figuur 2
figuur 3
figuur 3
figuur 3
figuur 3
In figuur 3 is bij vijf verschillende posities van de driehoek de bijbehorende rechthoek
getekend.
In figuur 4 zijn voor een willekeurige situatie figuur 4
letters bij de hoekpunten gezet.
Om driehoek ABC met tophoek A is rechthoek
APQR gevormd.
Bij elke stand van driehoek ABC hoort een
hoek PAB. Noem de grootte van deze hoek x
radialen, dus ∠PAB = x, met 0 ≤ x ≤ (1)/(3) π.
Verder is AB = AC = 1 en ∠BAC = (1)/(6) π.
R C Q 1 B 1 6 π x 1
73p
Bereken voor welke waarde van x rechthoek APQR een vierkant is.
De oppervlakte van rechthoek APQR is een functie van x en wordt aangegeven met O(x).
Er geldt: O(x) = cos x · cos( π x).
84p
Toon dit aan.
Voor de afgeleide functie van O geldt: O (x) sin( π 2x) .
95p
Toon dit langs algebraïsche weg aan.
104p
Bereken de exacte waarden die O(x) kan aannemen.

opgave 4De badkuipkromme

Bij veel in massaproductie vervaardigde apparaten is de levensduur afhankelijk van het
toeval. Bij de modellering daarvan onderscheidt men vaak drie tijdsintervallen:
• een korte beginperiode, waarin fabricage- en materiaalfouten aan het licht komen; er gaan
dan relatief veel apparaten stuk
• een (lange) normale werkperiode, waarin slechts weinig apparaten stukgaan
• een korte eindperiode, waarin vrijwel alle apparaten door veroudering en slijtage stukgaan.
Figuur 5 illustreert een wiskundig model dat voor de analyse van de levensduur van een
bepaald type apparaten gebruikt wordt. Het gaat om apparaten waarbij de begin- en
eindperiode beide ongeveer een half jaar duren en de normale werkperiode ongeveer 10 jaar
bedraagt. De apparaten worden maximaal 11 jaar oud.
0,4 0,3 f 0,2 0,1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 t (jaren)
figuur 5
Op de horizontale as van figuur 5 staat de tijd t, gemeten in jaren. De figuur toont de
grafiek van een functie f waarvoor geldt dat de oppervlakte onder de grafiek op het interval
0 ≤ t ≤ 11 gelijk is aan 1. Voor ieder tijdstip a tussen 0 en 11 jaar is de kans dat een
willekeurig apparaat stukgaat vóórdat het een leeftijd van a jaren bereikt, gelijk aan de
oppervlakte onder de grafiek van f tussen de tijdstippen t = 0 en t = a. In figuur 5 is voor
a = 1 die oppervlakte grijs aangegeven. De grafiek van f wordt vanwege de vorm een
badkuipkromme genoemd.
In dit geval heeft de badkuipkromme de volgende eigenschappen:
• de grafiek is symmetrisch in de lijn t = 5,5
• de oppervlakte onder de grafiek tussen t = 0 en t = 1 is ongeveer 0,14
• de grafiek loopt tussen t = 1 en t = 10 ongeveer horizontaal.
114p
Bereken met behulp van bovenstaande
eigenschappen de kans dat een apparaat een
levensduur bereikt tussen 2 en 7 jaar. Zie
figuur 6.
0,4 0,3 f 0,2 0,1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 t (jaren)
De kans op stukgaan tussen 0 en a jaar (met 0 a 11) noemen we F(a). Dus F(1) 0,14.
125puitwerkbijlage
Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de grafiek van F. Licht je werkwijze toe. De
grafiek moet in overeenstemming zijn met de hierboven genoemde eigenschappen van de
badkuipkromme.
Voor de badkuipkromme van figuur 5 geldt het functievoorschrift
f (t) = 0,08 + 2 ⋅10−23 ⋅ (t − 5,5)30
133p
Bereken met behulp van dit functievoorschrift de kans op stukgaan tijdens het eerste
halfjaar.
De fabrikant geeft één jaar garantie op het apparaat. Als het binnen één jaar stukgaat, wordt
het gratis vervangen door een nieuw exemplaar. Ook dat kan weer binnen een jaar stukgaan,
waarna ook dat exemplaar gratis wordt vervangen, enzovoort.
Iemand koopt vier van deze apparaten.
145p
Bereken de kans dat precies één keer een apparaat van deze persoon gratis wordt vervangen
door een nieuw exemplaar.
Als de gemiddelde levensduur van een apparaat 5,5 jaar is, geldt voor het trekken van een
aselecte steekproef van 150 apparaten: de gemiddelde levensduur van de 150 apparaten in
de steekproef is bij benadering normaal verdeeld met verwachtingswaarde 5,5 jaar en
standaardafwijking 0,285 jaar.
Van een groep van 150 aselect gekozen apparaten bleek de gemiddelde levensduur slechts
5,1 jaar te zijn.
155p
Geeft dit voldoende aanleiding om de veronderstelde gemiddelde levensduur van een
apparaat naar beneden bij te stellen? Neem een significantieniveau van 10%.

opgave 5Richtingen

Gegeven is de functie f (x) 0,01x 0,1x x .
In figuur 7 is de grafiek van f getekend.
y 12 8 f 4 x -8 -4 4 8 12 16 -4 -8
figuur 7
De raaklijn in de oorsprong aan de grafiek van f gaat door een top van de grafiek van f.
166p
Toon dit langs algebraïsche weg aan.
Verder is gegeven het punt A(0, 4).
Voor elk punt P(x, f(x)) op de grafiek van f tussen de punten O(0, 0) en (10, 10) bekijken
we de lijn AP.
174p
Bereken de x-coördinaat van het punt P waarbij de lijn AP de grootste richtingscoëfficiënt
heeft.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

opgave 6Onafhankelijk van n

De grafieken van de functies y = (1)/(2) x2 en y = x sluiten een gebied G in. Door dit gebied G
te wentelen om de x-as ontstaat een omwentelingslichaam.
186p
Bereken de exacte waarde van de inhoud van dit omwentelingslichaam.
Voor n = 1, 2, 3, … bekijken we het vierkant OQnPnRn, waarvan twee zijden langs de
coördinaatassen vallen en waarvan het punt Pn(n, n) een hoekpunt is.
De grafiek van de functie y = (1)/(n) x2 gaat door O en door Pn. In figuur 8 is dit voor n = 1,
n = 2, n = 3 en n = 4 getekend.
y P R 4 4 P R 3 3 P R 2 2 P R 1 1 x O Q 1 Q 2 Q 3 Q 4
figuur 8
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van y = (1)/(n) x2 in het punt Pn is
onafhankelijk van n.
193p
Toon dit aan.
De grafiek van y = (1)/(n) x2 verdeelt het vierkant OQnPnRn in twee stukken V en W. Zie
figuur 9.
y R n P n V W x O Q n
figuur 9
De verhouding van de oppervlakten van V en W is onafhankelijk van n.
206p
Toon dit aan.
√(Einde)
Lees verder