opgave 1Brandstofverbruik
Een schip maakt een tocht over een rivier van P naar Q en terug. De afstand tussen P en Q
is 42 km. Van P naar Q vaart het schip tegen de stroom in (stroomopwaarts); op de terugreis
vaart het met de stroom mee (stroomafwaarts).
De snelheid van het schip ten opzichte van de wal hangt af van de stroomsnelheid van het
water en van de snelheid v van het schip ten opzichte van het water; hierbij is v in km/u.
De stroomsnelheid van het water is 8 km/u. Zie figuur 1, waarin de tocht van P naar Q is
weergegeven.
figuur 1
Veronderstel: v = 20.
15p
Toon aan dat de tocht van
P naar
Q en terug dan 5 uur duurt.
Het brandstofverbruik B op het deel van de tocht stroomopwaarts hangt af van de vaartijd T
(in uren) en van de snelheid v (in km/u) van het schip ten opzichte van het water.
Er geldt: B = T ⋅ v3.
Voor het deel van de tocht stroomopwaarts geldt:
B 
.
23p
Toon deze laatste formule aan.
37p
Bereken algebraïsch bij welke waarde van
v het brandstofverbruik minimaal is voor het deel
van de tocht stroomopwaarts.
opgave 2Spreekuur
Een huisarts heeft op elke werkdag twee uren gereserveerd voor een spreekuur. De ervaring
heeft haar geleerd dat zij tijdens het spreekuur gemiddeld tien minuten voor een patiënt
nodig heeft.
De huisarts deelt de patiënten die van haar spreekuur gebruik maken in drie groepen in:
• gemakkelijke patiënten die hoogstens 5 minuten tijd kosten;
• gewone patiënten die tussen de 5 en 15 minuten tijd kosten;
• tijdrovende patiënten die minstens 15 minuten tijd kosten.
We maken bij deze situatie het volgende wiskundige model:
• elke werkdag komen er 12 patiënten op het spreekuur;
• de tijd die de huisarts tijdens het spreekuur voor een patiënt nodig heeft, is normaal
verdeeld met een gemiddelde van 10 minuten en een standaardafwijking van 4 minuten.
44p
Bereken de verwachtingswaarde van het aantal
tijdrovende patiënten tijdens een spreekuur
in twee decimalen nauwkeurig.
55p
Bereken in twee decimalen nauwkeurig de kans dat de huisarts tijdens een spreekuur
2 gemakkelijke en 10 gewone patiënten krijgt.
65p
Bereken in twee decimalen nauwkeurig de kans dat tijdens een spreekuur minstens zes
patiënten meer dan 10 minuten kosten.
Neem aan dat de totale tijd die de arts voor 60 patiënten nodig heeft normaal verdeeld is
met een gemiddelde van 600 minuten en een standaardafwijking van 4
minuten.
In een week had de arts voor de 60 patiënten op haar spreekuur in totaal 654 minuten nodig.
Dat is aanzienlijk meer dan de 600 minuten die je zou verwachten.
75p
Onderzoek of deze gegevens voldoende aanleiding geven om de veronderstelde gemiddelde
tijd van 10 minuten te verhogen, bij een significantieniveau van 5%.
De huisarts beweert dat zij de afgelopen vijf jaar van haar ruim 3000 patiënten 30% wel
eens een keer doorverwezen heeft naar een specialist in het ziekenhuis.
Haar plaatsvervanger (tijdens een vakantie) denkt dat dit percentage minder is en neemt een
steekproef van 50 patiënten.
84p
Bereken de kans dat de plaatsvervanger in deze steekproef minder dan 10 doorverwezen
patiënten vindt, als de huisarts gelijk heeft.
opgave 3Voedselbehoefte
In een zeker gebied wordt een grote toename van de bevolking voorzien. Om de daarmee
gepaard gaande problemen het hoofd te kunnen bieden, heeft men een schatting nodig van
de grootte van de bevolking voor de komende jaren. Daarvoor stelt men het volgende model
Hierin is B het aantal mensen in duizenden en is t de tijd in jaren. Het komende jaar loopt
van t = 0 tot t = 1. In deze opgave werken we met jaren van 360 dagen en maanden van
30 dagen.
94p
Bereken de procentuele toename van de bevolking per maand.
Voedseldeskundigen hanteren als vuistregel: per persoon is er per dag 0,4 kg vast voedsel
nodig.
De totale benodigde hoeveelheid vast voedsel voor de inwoners van het gebied in het
komende jaar noemen we V (in kg).
Iemand wil berekenen hoe groot V is.
Hij gebruikt daartoe eerst een benaderingsmethode. Hij bepaalt het gemiddelde van de
groottes van de bevolking op de tijdstippen t = 0 en t = 1. Hij gaat ervan uit dat de
bevolkingsomvang het gehele jaar gelijk is aan dit gemiddelde.
103p
Bereken
V volgens deze methode.
Een nauwkeuriger schatting van V kan verkregen worden door voor iedere dag van het jaar
de voedselbehoefte te berekenen en deze voedselbehoeften op te tellen.
115p
Bereken
V volgens deze tweede methode.
Een derde methode om V te berekenen is met behulp van een integraal.
124p
Bereken
V met behulp van primitiveren volgens deze derde methode.
opgave 4De wijzers van een uurwerk
We volgen de eindpunten van de wijzers van een uurwerk. Daartoe brengen we een
uren, vanaf 0:00 uur.
De bewegingsvergelijkingen van het eindpunt van de grote wijzer zijn:
De bewegingsvergelijkingen van het eindpunt van de kleine wijzer zijn:
135p
Teken in één figuur op ware grootte de banen van de eindpunten van de wijzers en geef
daarin de wijzers aan op het tijdstip t = 1,3. Licht je werkwijze toe.
Op het tijdstip t = 0 liggen de wijzers over elkaar heen.
144p
Bereken het eerste tijdstip na
t = 0 waarop dit weer het geval is.
De (rechtstreekse) afstand tussen de eindpunten van de wijzers verandert voortdurend.
156p
Toon aan dat deze afstand op tijdstip
t gelijk is aan
.
164p
Bereken het eerste tijdstip na
t = 0 waarop de eindpunten van de wijzers, samen met de
oorsprong, een gelijkbenige driehoek vormen.
opgave 5Twee halve parabolen
figuur 2
De lijn x = p, met 0 < p < 1, snijdt de grafiek van f in A en de grafiek van g in B.
177p
Bereken de exacte waarde van
p waarvoor de lengte van het lijnstuk
AB maximaal is.
In figuur 3 zijn de grafieken van f en g en ook de lijn y = 6 − x getekend. Het gebied
ingesloten door de grafiek van f, de grafiek van g en de lijn y = 6 − x, is in de figuur grijs
gekleurd.
figuur 3
187p
Bereken algebraïsch de exacte oppervlakte van dit gebied.
