bij dit examen
OVERZICHT FORMULES
Differentiëren
naam van de regel functie afgeleide somregel s ( x ) = f ( x ) + g ( x ) s' ( x ) = f ' ( x ) + g' ( x ) verschilregel v ( x ) = f ( x ) − g ( x ) v' ( x ) = f ' ( x ) − g' ( x ) productregel p ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) p' ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g' ( x ) f ( x ) q ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g' ( x ) q' ( x ) = quotiëntregel q ( x ) = g ( x ) q' ( x ) = ( g ( x )) 2 kettingregel k ( x ) = f ( g ( x )) k' ( x ) = f ' ( g ( x )) ⋅ g' ( x ) of d k d f d g = ⋅ = ⋅ d x d g d x
opgave 1Duiken
Karima volgt een duikcursus voor beginners. In het theorieboekje wordt
uitgelegd dat er onder water een grotere druk heerst dan boven water.
Aan de oppervlakte is de druk 1 bar. Omdat een duiker op grotere diepte
lucht inademt onder een hogere druk verbruikt hij zijn luchtvoorraad
sneller en is de maximale duiktijd korter.
Door het gewicht van het water neemt de druk onder water lineair toe met
de diepte: zie de onderstaande tabel.
tabel
Een duiker neemt samengeperste lucht mee in een duikfles om onder
water te kunnen ademen. Het is van levensbelang om een duik goed te
plannen, zodat de duiker nooit zonder lucht komt te zitten. De maximale
duiktijd op grond van de beschikbare luchtvoorraad kan volgens het
theorieboekje van Karima berekend worden met de volgende formule1):
Hierin is T de maximale duiktijd op een vaste diepte in minuten, V de
inhoud van de duikfles in liters, zijn b en e de druk in de fles in bar aan het
begin respectievelijk aan het eind van de duik, is q het luchtverbruik van
de duiker in liter/minuut en p de druk op de duikdiepte.
Karima is van plan een duik op een diepte van 10 meter uit te voeren. Ze
heeft een duikfles met een inhoud van 14 liter die gevuld is met lucht met
een druk van 200 bar. Karima weet in eerste instantie haar luchtverbruik
niet en maakt gebruik van het gegeven dat het luchtverbruik van een met
haar vergelijkbare duiker 18 liter/minuut is. Aan het einde van de duik wil
ze als reserve nog minstens 50 bar druk in haar fles hebben.
13pRekenen met een gegeven formule 2p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Bereken met deze gegevens hoeveel minuten haar duik maximaal mag
duren. Geef je antwoord in hele minuten.
noot 1 Er zijn ook formules waarbij rekening gehouden wordt met de tijdsduur van de duik en
de druk tijdens het dalen en stijgen, maar in deze opgave laten we dat buiten
beschouwing.
In bovenstaande berekening is voor het luchtverbruik van Karima een
waarde van een met haar vergelijkbare duiker gebruikt. Voor een
nauwkeuriger berekening wil zij haar individuele luchtverbruik berekenen
op basis van gegevens van een vorige duik. Eerder heeft Karima een duik
gemaakt met een duikdiepte van 15 meter. Ze begon met een volle
duikfles van 14 liter met 200 bar druk. Aan het einde van haar duik, na
49 minuten, had ze nog 63 bar druk in haar duikfles.
33pLineaire functies 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Stel met behulp van de tabel een dergelijke formule voor T op.
Voor een situatie met een fles van 10 liter met een begindruk van 180 bar,
een einddruk van 60 bar en een luchtverbruik van een duiker van
25 liter/minuut geldt voor de maximale duiktijd de volgende formule:
Deze functie is dalend.
opgave 2Engelendeel
Traditioneel gebrouwen whisky wordt enkele jaren in houten vaten
opgeslagen om daarin te rijpen. In het algemeen geldt: hoe langer de
whisky rijpt, hoe beter hij smaakt. Lang rijpen heeft echter een nadeel:
een deel van de whisky gaat verloren doordat deze in het houten vat trekt
of verdampt.
Het deel van de whisky dat tijdens het rijpen verloren gaat, wordt het
engelendeel genoemd. Het engelendeel wordt uitgedrukt in een
percentage per jaar.
Van een bepaald soort whisky is het engelendeel 4,5%. Neem aan dat het
engelendeel elk jaar hetzelfde percentage is.
53pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken hoelang het duurt totdat nog maar de helft van de whisky over is.
Geef je antwoord in jaren en gehele maanden.
In werkelijkheid is bij traditioneel gebrouwen whisky het engelendeel niet
ieder jaar even groot. Zeker aan het begin van de rijpingsperiode is dit
deel een stuk groter, doordat de whisky nog in het hout moet trekken.
Pappy Van Winkle 23 is een zeer exclusieve whisky die op traditionele
wijze geproduceerd wordt en, zoals de naam al suggereert, 23 jaar in een
houten vat rijpt voordat hij in flessen gedaan wordt. Op de website van de
producent staat het volgende:
Het rijpingsproces begint met een vat met 200 liter whisky. Het eerste jaar
gaat er maar liefst 10% verloren, doordat de whisky in het hout trekt. De
8 jaren erna gaat er 4% per jaar verloren en daarna steeds 3% per jaar.
Tenslotte gaat er van het eindproduct ook nog 6 liter verloren bij het
vullen van de flessen.
Pappy Van Winkle 23 wordt verkocht in flessen van 750 ml.
64pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p · Exponentiële functies en groei 1p
Bereken hoeveel van zulke flessen kunnen worden gevuld, uitgaande van
200 liter whisky.
De meeste whisky rijpt tegenwoordig niet meer in houten vaten. In plaats
daarvan wordt de whisky in grote metalen ketels gedaan en worden er
houtsnippers aan toegevoegd. Hierdoor wordt het engelendeel beperkt tot
zo’n 3% per jaar. Voor het vervolg van de opgave gaan we ervan uit dat
het engelendeel ieder jaar 3% is.
Bij de massaproductie van whisky wordt ervoor gezorgd dat de totale
hoeveelheid whisky gelijk blijft door jaarlijks de ketel weer bij te vullen met
nieuw geproduceerde whisky. Hierdoor ontstaat er een mengsel dat maar
voor een deel uit de oorspronkelijke whisky bestaat.
Bijvoorbeeld: Een ketel bevat 500 liter whisky. Na een jaar is daarvan 3%,
dus 15 liter, verloren gegaan. Er wordt aan het eind van dat jaar
15 liter nieuw geproduceerde whisky in de ketel gedaan, zodat er dan
485 liter whisky van 1 jaar oud en 15 liter whisky van 0 jaar oud in zit. Aan
het eind van het tweede jaar is er weer 15 liter verloren gegaan en ook dit
wordt weer aangevuld met nieuw geproduceerde whisky, enzovoorts.
In de tabel staat voor een aantal jaren de samenstelling van het mengsel
aan het eind van het jaar, in procenten.
tabel
In de tabel kun je bijvoorbeeld aflezen dat aan het eind van het 4e jaar
88,53% van het mengsel bestaat uit 4 jaar oude whisky, 2,74% uit 3 jaar
oude whisky, 2,82% uit 2 jaar oude whisky, 2,91% uit 1 jaar oude whisky
en 3% uit nieuw geproduceerde whisky (0 jaar oude whisky).
74pExponentiële functies en groei 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 2p
Bereken hoeveel procent van het mengsel aan het eind van het 7e jaar
bestaat uit whisky van 5 jaar of ouder. Geef je antwoord in twee
decimalen.
Als we alleen kijken naar de later toegevoegde whisky in een bepaald
jaar, dan vormen de percentages later toegevoegde whisky’s in dat jaar
een meetkundige rij.
Om te berekenen hoeveel procent van een whiskymengsel bestaat uit
later toegevoegde whisky, kun je de termen uit deze meetkundige rij bij
elkaar optellen.
Er geldt dus:
met
W(k) = 3 ⋅ 0,97kIn deze formule is
het percentage later toegevoegde whisky
na n jaar en W(k) het percentage whisky van k jaar oud in het mengsel.
82pRijen en recursie 2p
Bereken, gebruik makend van bovenstaande somformule, welk
percentage van het mengsel na 7 jaar bestaat uit alle later toegevoegde
whisky. Geef je antwoord in één decimaal.
opgave 3Gewicht in beweging
Begin deze eeuw deed de bioloog Yunsheng Ma samen met andere
biologen onderzoek naar het verband tussen het lichaamsgewicht, de
hoeveelheid lichaamsbeweging en het eetpatroon tijdens feestdagen van
een groep Amerikanen.
Bij het onderzoek naar de invloed van beweging op het lichaamsgewicht
speelt de MET-waarde1) een rol. De MET-waarde is een eenheid voor de
hoeveelheid energie die een bepaalde fysieke activiteit kost ten opzichte
van de hoeveelheid benodigde energie in rust. Eén MET komt overeen
met de ruststofwisseling, de hoeveelheid energie die verbruikt wordt
tijdens stilzitten. De MET-waarde van lichamelijke activiteiten varieert van
0,9 MET (tijdens slaap) tot 18 MET (bij zware inspanning). In de tabel is
voor een aantal activiteiten de MET-waarde voor volwassen mannen
weergegeven.
tabel
Met behulp van de MET-waarde en de duur van de activiteit kan het
aantal MET-minuten of MET-uren van een activiteit berekend worden. Als
een volwassen man bijvoorbeeld 45 minuten lang rustig fietst, dan zegt
men ook wel dat hij 180 MET-minuten of 3 MET-uren heeft uitgevoerd. Dit
gebruikt men om de mate van lichaamsbeweging te beschrijven.
Een volwassen man wandelt wekelijks met een snelheid van 4 km/uur in
2 uur een rondje van 8 km. Hij wil meer MET-uren realiseren en besluit
om hetzelfde rondje met een snelheid van 6 km/uur te gaan wandelen. De
tijd die ‘overblijft’ van die 2 uur, wordt stilzittend doorgebracht.
95pRekenen met een gegeven formule 3p · Procenten, verhoudingen en eenheden 2p
Onderzoek of dit voor hem het gewenste resultaat oplevert.
noot 1 MET: Metabolic Equivalent of Task
Om meer MET-uren te realiseren, wil deze volwassen man per week
maximaal 3 keer (op dinsdag, woensdag en/of donderdag) een uur fietsen
of een uur hardlopen en daarmee in totaal precies 12 MET-uren
realiseren. Hij kan dan bijvoorbeeld hardlopen op dinsdag en rustig
fietsen op donderdag. Hij wil op één dag één uur dezelfde activiteit
uitvoeren dus wisselen van activiteit na een half uur is voor hem geen
optie.
104pTelproblemen 4p
Onderzoek hoeveel verschillende weekindelingen hij kan maken.
Na de feestdagen blijken Amerikanen gemiddeld zwaarder dan daarvoor.
Dat zou mede veroorzaakt kunnen worden door de geringe hoeveelheid
lichaamsbeweging in die periode. In figuur 1 is voor de groep onderzochte
Amerikanen het verband geschetst tussen de totale fysieke activiteit per
dag en de tijd. Hierbij komt t = 0 overeen met 1 januari.
figuur 1
De totale fysieke activiteit per dag varieert jaarlijks van minimaal
29,4 MET-uren per dag tot 30,5 MET-uren per dag. Op 21 december, de
kortste dag, is de totale fysieke activiteit per dag minimaal. De totale
fysieke activiteit wordt gemodelleerd met een formule van de vorm:
F = a + bsin(c(t − d))
Hierin is F de totale fysieke activiteit in MET-uren per dag en is t de tijd in
dagen met t = 0 op 1 januari.
115pSinusoïden: periode, amplitude en formule 5p
Bereken de waarden van a, b, c en d. Geef a en b in twee decimalen, c in
vijf decimalen en d in gehelen.
Men heeft ook bijgehouden hoeveel calorieën de deelnemers gemiddeld
per dag gedurende het jaar binnenkregen en hoe het gemiddelde gewicht
van de deelnemers gedurende het jaar varieerde. Zie figuren 2 en 3.
figuur 2
figuur 3
De gemiddelde calorie-inname wordt gemodelleerd met de formule:
C = 2005 + 45sin(0,0172t + 2,3756)
Hierin is C de gemiddelde calorie-inname in kcal per dag en is t weer de
tijd in dagen met t = 0 op 1 januari.
Het gemiddelde gewicht wordt gemodelleerd met de formule:
Hierin is G het gemiddelde gewicht in kg en is t weer de tijd in dagen met
t = 0 op 1 januari.
Het grootste verschil in gemiddeld gewicht in een jaar is procentueel
gezien kleiner dan het grootste verschil in gemiddelde calorie-inname in
een jaar.
opgave 4Vlinders in Nederland
De Vlinderstichting in Nederland houdt jaarlijks vlindertellingen.
Het totaal aantal vlinders is in de periode 1992–2017 met 40%
afgenomen. Hierbij vermoedt men een exponentiële trend.
144pExponentiële functies en groei 4p
Bereken de jaarlijkse procentuele afname in deze periode, uitgaande van
de exponentiële trend. Geef je antwoord in één decimaal.
De heivlinder is een van de vlindersoorten heivlinder
waarvan het aantal sterk is gedaald. Zie
figuur 1.
figuur 1 heivlinders
In figuur 1 is op de verticale as een logaritmische schaalverdeling
gebruikt. Op deze as is niet het aantal heivlinders maar de populatie-
index weergegeven. Deze index geeft het percentage heivlinders aan ten
opzichte van het totaal aantal heivlinders in 1992. De populatie-index van
het jaar 1992 is dus 100. In 1995 is de populatie-index weer (ongeveer)
100. Met andere woorden: in 1995 waren er (ongeveer) evenveel
heivlinders als in 1992.
Nadat het aantal heivlinders vanaf 2003 stabiel leek en zich in de periode
2011–2013 zelfs wat leek te herstellen, was 2017 weer een rampjaar voor
de heivlinder.
153pTabellen en grafieken lezen en gebruiken 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken met behulp van de figuur het percentage heivlinders in 2017 ten
opzichte van het aantal heivlinders in 1992. Geef je antwoord in één
decimaal.
In figuur 2 zie je dezelfde grafiek als in figuur 1 maar nu is een trendlijn
toegevoegd.
figuur 2 heivlinders met trendlijn
De trendlijn in figuur 2 hoort bij een exponentieel model voor de afname
van de populatie-index. De trendlijn kan worden beschreven met de
volgende formule:
log(P) = −0,026t + 1,8
Hierin is P de populatie-index en is t het aantal jaren na 1992.
Als de trend zich op dezelfde manier blijft doorzetten, zal het aantal
getelde heivlinders in een gegeven jaar minder dan 2% zijn van het aantal
getelde heivlinders in 1992.
162pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p
Bereken in welk jaar dat volgens de gegeven formule voor het eerst het
geval zal zijn.
De formule log(P) = −0,026t + 1,8 kan worden herleid tot een formule van
de vorm P = b ⋅ gt waarmee de populatie-index in een bepaald jaar in één
keer kan worden berekend.
opgave 5Zwemtijden en FINA-punten
Bij wedstrijdzwemmen worden er verschillende zwemnummers
gezwommen, bijvoorbeeld de 50 meter rugslag voor heren en de
200 meter schoolslag voor vrouwen. Om prestaties bij verschillende
zwemnummers met elkaar te vergelijken, wordt gebruikgemaakt van
FINA-punten1). Hoe meer FINA-punten, hoe beter de prestatie van een
zwemmer.
Het aantal FINA-punten wordt berekend met de formule:
P is hierbij het aantal FINA-punten, T de gezwommen tijd in seconden in
twee decimalen en B de basistijd in seconden in twee decimalen. De
basistijd2) is het wereldrecord op een zwemnummer aan het begin van
het jaar.
Het aantal FINA-punten is altijd een geheel getal. Als de uitkomst van de
formule geen geheel getal is, dan wordt er een geheel getal van gemaakt
door alle cijfers achter de komma weg te laten. Zo wordt 345,798
bijvoorbeeld 345.
Gegeven zijn de volgende (basis)tijden:
− Maarten Brzoskowski zwom in november 2021 de 50 meter vrije slag
in 22,26 seconden; de bijbehorende basistijd is 20,16 seconden.
− Op 16 december 2021 zwom Anne Louise Palmans de 100 meter
schoolslag in 1 minuut en 10,25 seconden; de bijbehorende basistijd is
1 minuut en 4,13 seconden.
182pRekenen met een gegeven formule 2p
Bepaal welke van de twee genoemde zwemmers het hoogste aantal
FINA-punten scoorde.
Omdat het aantal FINA-punten altijd een geheel getal is, is het mogelijk
dat verschillende gezwommen tijden bij dezelfde basistijd een gelijk
aantal FINA-punten opleveren.
Als 0,01 s sneller gezwommen wordt dan de basistijd, dan zijn er twee
opties voor de bijbehorende score:
1 1000 FINA-punten (dit is het geval voor langere basistijden)
2 1001 of meer FINA-punten (dit is het geval voor kortere basistijden)
194pFormules en vergelijkingen opstellen 2p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p
Bereken de grootste basistijd waarbij 0,01 s sneller zwemmen dan de
basistijd leidt tot een score van minimaal 1001 FINA-punten. Geef je
antwoord in seconden en in twee decimalen.
noot 1 De FINA is een internationale zwembond: Fédération Internationale de Natation.
noot 2 In deze opgave wordt gebruikgemaakt van de basistijden uit 2021.
De FINA-punten worden onder andere gebruikt om te bepalen welke
zwemmers mee mogen doen aan het NJK (Nederlands junioren-
kampioenschap). Voor het NJK wordt een plaatsingslijst gemaakt door per
zwemmer voor 6 verschillende zwemnummers het aantal FINA-punten uit
te rekenen en deze punten bij elkaar op te tellen. Diegene die in totaal de
meeste FINA-punten heeft, komt boven aan de plaatsingslijst, daarna
volgt diegene met het een-na-hoogste totaal, et cetera. Op basis van de
plaatsingslijst wordt bepaald wie mee mag doen aan het NJK.
Met formule 1 kan het aantal FINA-punten berekend worden op basis van
een gezwommen tijd en een basistijd. Als je als zwemmer bezig bent met
je plek op de plaatsingslijst, dan is het nuttig om uit te rekenen welke tijd
je moet zwemmen om een bepaald aantal FINA-punten te halen. Dit kan
met de formule:
203pFormules herleiden en omwerken 3p
Toon door middel van een herleiding aan dat formule 1 en formule 2 met
elkaar overeenkomen.
De snelste tijd die een zwemmer ooit gezwommen heeft, noemen we het
persoonlijk record van die zwemmer. Een van de zwemnummers die
gebruikt wordt voor de plaatsingslijst van het NJK is de 100 meter vrije
slag. Bij de 100 meter vrije slag voor meisjes is de basistijd 50,25
seconden. Er geldt dus:
In de volgende vraag vergelijken we twee zwemsters. De ene heeft als
beste prestatie een tijd staan met een score van 300 FINA-punten, de
ander een tijd met een score van 500 FINA-punten.
We laten de eis dat FINA-punten altijd een geheel getal zijn buiten
beschouwing.
opgave 6Baby’s in Nigeria
Nigeria is een dichtbevolkt land in Afrika, met een sterke bevolkingsgroei.
Tijdens het WK voetbal in 2018 was Nigeria het deelnemende land met na
Brazilië de meeste inwoners en IJsland het deelnemende land met de
minste inwoners. Tijdens de wedstrijd tussen IJsland en Nigeria deed de
Nederlandse verslaggever Frank Wielaard de volgende uitspraak:
“In Nigeria komen er tijdens de 26 dagen van dit WK minstens zoveel
baby’s bij als het totale aantal inwoners van IJsland.”
Het is natuurlijk de vraag of deze uitspraak klopt. Om dit uit te zoeken heb
je een aantal gegevens nodig. Die volgen hieronder.
Ten tijde van dit WK had IJsland 341 000 inwoners. In de figuur op de
uitwerkbijlage staan de inwoneraantallen van Nigeria voor de jaren 1960
tot en met 2009. Neem aan dat de bevolkingsgroei exponentieel is en dat
deze exponentiële groei zich tot en met het WK van 2018 heeft
voortgezet.
In het jaar van dit WK heerste er in Nigeria een mannenoverschot. Dit
betekent dat er meer mannen dan vrouwen waren. Per vrouw waren er
1,04 mannen.
Er werden in het jaar 2018 gemiddeld 0,09 baby’s geboren per vrouw in
Nigeria. Hierbij is het gemiddelde berekend over alle vrouwen, dus ook
baby’s, peuters en hoogbejaarden. Neem aan dat de geboorten in Nigeria
gelijkmatig over de dagen van het jaar verdeeld zijn.
