opgave 1Hittegolven in Nederland
In Nederland is er sprake van een hittegolf als de maximumtemperatuur in
De Bilt gedurende minstens 5 opeenvolgende dagen 25 °C of hoger is en
bovendien op minstens 3 van deze dagen de maximumtemperatuur 30 °C
of hoger is.
In tabel 1 op de uitwerkbijlage staat een overzicht van alle 39 hittegolven
in Nederland in de periode 1911-2013.
Van elke hittegolf is het aantal dagen aangegeven in tabel 1.
Volgens Joost heeft een willekeurig gekozen dag uit de periode
1911-2013 (dus inclusief de wintermaanden) een kans van ongeveer 1%
om in een hittegolf voor te komen.
13pOnderzoek of dit juist is. Hierbij hoef je geen rekening te houden met
schrikkeljaren.
Er zijn jaren waarin er geen of precies één hittegolf voorkomt. Er zijn ook
jaren waarin er twee of nog meer hittegolven voorkomen, bijvoorbeeld
1911.
Een wiskundige heeft op basis van deze periode van 103 jaar een model
opgesteld voor het aantal jaren waarin k hittegolven in één jaar
voorkomen (met k = 0,1,2,3,4).
Bij dit model hoort de volgende formule:
De afgeronde waarde van N is het aantal jaren dat er naar verwachting
k hittegolven in één jaar voorkomen.
25pOnderzoek of er waarden van k zijn waarbij dit model meer dan 1 afwijkt
van het werkelijke aantal jaren in de periode 1911-2013 dat er
k hittegolven in één jaar voorkomen. Licht je antwoord toe.
In tabel 2 op de uitwerkbijlage zijn de maximumtemperaturen van elk van
deze 39 hittegolven vermeld. Joost vermoedt dat de
maximumtemperaturen van hittegolven normaal verdeeld zijn.
36puitwerkbijlageOnderzoek met behulp van het normaal-waarschijnlijkheidspapier in de
uitwerkbijlage of de maximumtemperaturen van de 39 hittegolven in
tabel 2 aanleiding zijn om Joost gelijk te geven. Neem de eerste klasse
van 30 tot en met 31, dus de klasse < 30,31].
opgave 2SMOG-index
Er is veel onderzoek gedaan naar de moeilijkheidsgraad van teksten. Er
zijn dan ook verschillende manieren om die in een getal uit te drukken.
Deze opgave gaat over één van die manieren.
Begin 2014 publiceerde NRC Handelsblad het volgende fragment uit een
artikel over de gebruiksvoorwaarden van Googlesoftware.
fragment
Google’s gebruiksvoorwaarden worden met argusogen gevolgd door privacywaakhonden als Bits of Freedom en het College Bescherming Persoonsgegevens. Ze hebben het vaak over de inhoud van zulke teksten, maar hoe zit het met de moeilijkheidsgraad van de teksten? Die is hoog bij Google’s privacyvoorwaarden, volgens SMOG, de methode waarmee de moeilijkheidsgraad van een tekst berekend wordt aan de hand van woordlengte en zinlengte (hoe langer, hoe moeilijker).
De SMOG-index van een tekst geeft het aantal jaar opleiding aan dat
nodig is om de tekst te kunnen begrijpen. Je berekent de SMOG-index (S)
met de formule:
Hierin is M het aantal woorden van drie of meer lettergrepen en Z het
aantal zinnen. Voor bovenstaand fragment geldt dat M = 14.
43pBereken de SMOG-index van de tekst in het fragment. Rond je antwoord
af op een geheel getal.
Als de SMOG-index van een tekst te hoog is, kun je de tekst herschrijven.
Als je bij het herschrijven van een tekst 15% minder woorden met drie of
meer lettergrepen gebruikt, wordt S kleiner. Maar die verkleining van S
had je ook kunnen bereiken door de tekst alleen te herschrijven in meer
zinnen.
54pBereken hoeveel procent meer zinnen die nieuwe tekst moet hebben om
een even grote afname in de moeilijkheidsgraad op te leveren.
Van een bepaald artikel is de SMOG-index gelijk aan 17. Als we de
waarden van M en Z willen variëren zonder dat daarbij de SMOG-index
verandert, dan is er een recht evenredig verband tussen M en Z, oftewel:
M = p ⋅ Z
65pBereken de waarde van p in één decimaal nauwkeurig voor het geval dat
S = 17.
Door een tekst te herschrijven in een tekst met meer zinnen, kun je S
kleiner maken. Als we ervan uitgaan dat van een tekst het aantal woorden
met drie of meer lettergrepen 75 is en blijft, dan kun je de formule van S
herschrijven als
en dus als
Die laatste formule kun je vervolgens differentiëren.
74pafgeleide uit dat S afnemend daalt als de hoeveelheid zinnen groter wordt.
opgave 3Buisfolie
Een bedrijf produceert plastic verpakkingsmateriaal. Men maakt er onder
andere buisfolie. Buisfolie wordt verwerkt tot plastic zakken. Bij de
productie van de buisfoliezakken moet de breedte binnen nauwe grenzen
blijven. De streefwaarde is 715 mm.
Om het risico te beperken dat de zakken te smal zijn, wordt de
gemiddelde breedte ingesteld op 715,6 mm. Neem aan dat de breedte
normaal verdeeld is met σ = 0,5 mm.
Bij de productie van buisfoliezakken voor een bepaalde afnemer is
vastgelegd dat het tolerantiegebied het gebied is waar de breedte van de
zakken maximaal 1 mm van de streefwaarde van 715 mm afwijkt.
83pBereken het percentage van de partij zakken dat buiten dit
tolerantiegebied ligt.
Men vindt het productieproces voor een andere afnemer van
buisfoliezakken acceptabel als hoogstens 2,5% van de zakken breder is
dan 716 mm. Hiervoor moet de standaardafwijking wel veranderen. Het is
mogelijk de machine zo in te stellen dat de gemiddelde breedte niet
verandert maar de standaardafwijking wel.
92pBeredeneer of de standaardafwijking dan kleiner of groter dan 0,5 moet
zijn.
De bedrijfsleiding streeft naar een weekproductie van 26 000 kg buisfolie.
In 2013 beweerden de technici van het bedrijf dat in 2014 voor elk van de
48 gewone werkweken de kans minstens 75% zou zijn dat die
weekproductie van 26 000 kg (of meer) gerealiseerd kon worden.
Later bleek echter dat die weekproductie van 26 000 kg (of meer) in 2014
slechts in 27 van de 48 gewone werkweken gehaald was.
106pOnderzoek met behulp van een hypothesetoets of er reden is om de
bewering van de technici in twijfel te trekken. Neem daarbij een
significantieniveau van 1%.
Bij het bedrijf komt het verzoek binnen om een spoedorder te verwerken
van 23 750 kg buisfolie. Deze bestelling moet binnen een week geleverd
worden.
Op basis van eerdere gegevens gaat de leiding ervan uit dat het gewicht
in kg van de buisfolie die per week geproduceerd wordt normaal verdeeld
is met μ = 28000 en σ = 3300.
113pToon hiermee aan dat de kans dat het bedrijf de weekproductie van
23 750 kg niet haalt ongeveer 9,9% is.
Er bestaat dus een kans van 9,9% dat het bedrijf de weekproductie niet
haalt. Het bedrijf kan zodoende met 90,1% zekerheid de spoedorder
uitvoeren.
Voor die spoedorder van 23 750 kg buisfolie wordt een prijs van € 2,15
per kg gerekend als deze binnen die week geleverd wordt. Als dit echter
niet lukt dan haakt de klant af en kan het bedrijf een boete van € 50 000,-
verwachten. De partij buisfolie kan dan nog wel te zijner tijd afgemaakt
worden en aan een andere klant worden verkocht voor € 0,50 per kg.
Het is nu de taak van het management om de risico’s af te wegen en een
keuze te maken of men deze spoedorder al dan niet zal accepteren.
124pBereken de verwachtingswaarde van de opbrengst voor het bedrijf als
men deze spoedorder accepteert.
opgave 4Tarwe
Tarwe is één van de belangrijkste granen. Van tarwe wordt bloem
gemalen en brood gemaakt. Aan het begin van iedere week wordt op de
groothandelsbeurs van Rotterdam de actuele marktprijs van tarwe (in euro
per 1000 kg) bekendgemaakt. Op de site productschapakkerbouw.nl zijn
voor de eerste weken van 2014 deze marktprijzen door middel van
stippen in een figuur gezet. De stippen zijn met lijnstukjes verbonden. Zie
figuur
In de figuur zie je dat de marktprijs van week 3 naar week 4 gedaald is.
Ook van week 13 naar week 14 is een daling te zien.
133pBeredeneer, zonder berekening, in welk van beide perioden de
procentuele daling van de marktprijs van tarwe het grootst is.
Er is een verband tussen de vraag naar tarwe en de prijs van tarwe. In het
boek ‘Wiskunde voor economie’ wordt daarvoor de volgende
prijs-vraag-formule vermeld:
o per 1000 kg en q de vraag in 1000 kg per
143pBereken de grootste gehele waarde van q waarvoor deze
prijs-vraag-formule nog betekenis heeft.
Op een bepaald moment wordt tarwe verhandeld voor 232 euro per
1000 kg.
154pBereken, uitgaande van de formule, met hoeveel kg per maand de vraag
afneemt als de prijs toeneemt van 232 euro per 1000 kg naar 238 euro
per 1000 kg. Rond je antwoord af op tientallen kilo’s.
Voor de totale maandopbrengst van tarwe TO geldt de formule:
163pDe eenheid van TO is euro per maand. Toon dit aan en bereken bij
q = 100 de totale maandopbrengst.
174pOnderzoek met behulp van
of
TO een maximum heeft.
opgave 5Prille groei
Gemiddeld duurt een zwangerschap bij de mens 38 weken. Een
ongeboren kind van 8 weken of ouder wordt een foetus genoemd.
In tabel 1 staat het (gemiddelde) lichaamsgewicht G in gram van een
foetus bij een leeftijd van t weken.
tabel 1
In deze opgave willen we onderzoeken welk model er bij tabel 1 zou
kunnen passen.
Het eerste model dat we bekijken is dat van exponentiële groei:
G = b ⋅ at met a en b constanten.
Veronderstel dat de groei tussen week 8 en week 10 inderdaad
exponentieel verloopt.
183pBereken met hoeveel procent per week het gewicht van de foetus dan
toeneemt in die periode.
Exponentiële groei is echter geen goed model voor de groei van de foetus
in de gehele periode van 8 tot 38 weken. Dit kun je afleiden uit de tabel.
193pLaat dat met een berekening zien.
Om een beter model voor de groei van de foetus te maken, berekenen we
de logaritmes van de getallen in tabel 1.
We bekijken dus de waarden van M = log(G) ten opzichte van L = log(t).
Zie tabel 2 en de bijbehorende punten in figuur 1.
De punten in figuur 1 liggen bij benadering op een bergparabool. Deze
parabool is in figuur 1 getekend. Bij deze parabool hoort de volgende
formule:
M = −7,131 + 11,305 ⋅ L − 2,892 ⋅ L2
Het gewicht van een foetus van 30 weken kan met deze formule worden
berekend: bij t = 30 hoort L = log(30) ≈ 1,48. Met de formule kun je de
waarde van M en daarna de bijbehorende waarde van G berekenen. Die
waarde wijkt af van de waarde volgens tabel 1.
203pBereken hoeveel deze afwijking bedraagt.
Als de parabool van figuur 1 de groei goed beschrijft, dan zou de grafiek
moeten stijgen gedurende de hele zwangerschap.
214pBereken met behulp van de afgeleide functie M' de waarde van t waar de
grafiek van M weer gaat dalen en leg uit dat dit voor het model geen
bezwaar is.
Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.
Voor een foetus van 20 weken en ouder blijkt een rechte lijn nog beter bij
de punten in figuur 1 te passen dan de parabool van zojuist. Deze lijn is in
figuur 2 getekend.
figuur 2
De vergelijking van deze lijn is:
M = −1,314 + 3,075 ⋅ L
Omdat geldt M = log(G) en L = log(t) is deze vergelijking te schrijven als
log(G) = −1,314 + 3,075 ⋅ log(t) (formule 1)
Deze formule 1 is te herschrijven tot formule 2:
224pLaat zien hoe je formule 1 kunt herleiden tot formule 2 of hoe je formule 2
kunt herleiden tot formule 1.
