opgave 1Spaarrekeningen
‘Wij blijven maar sparen en sparen’, zo luidde in oktober 2001 de kop van een artikel in de
krant. Aanleiding hiervoor was een bericht van het Centraal Bureau voor de Statistiek.
Daarin werden gegevens bekend gemaakt over de groei van het spaargeld op de
Nederlandse spaarrekeningen. Deze groei ontstaat doordat meer geld op rekeningen gestort
wordt dan er afgehaald wordt. In het artikel was figuur 1 opgenomen. De bedragen in deze
figuur zijn genoteerd in guldens (ƒ); de gulden was tot 1 januari 2002 de nationale munt in
Nederland.
figuur 1
Zoals je onder de grafiek kunt zien, was de groei van het spaargeld in de eerste acht
maanden van 2001 (28,9 miljard) ongeveer 3 keer zo groot als in de eerste acht maanden
van 1999 (9,4 miljard).
De groei in de eerste acht maanden van 2001 is een flink aantal malen zo groot als de groei
in de eerste acht maanden van 2000.
15p
Bereken hoeveel keer zo groot.
Eind augustus 2000 was het totale bedrag aan spaargeld ongeveer 291,5 miljard gulden, bij
elkaar gespaard op 25 miljoen spaarrekeningen. In de periode van eind augustus 2000 tot
eind augustus 2001 steeg het totale bedrag aan spaargeld met 9,8%. In diezelfde periode
steeg het aantal spaarrekeningen met 2,8%.
24p
Bereken met hoeveel gulden het gemiddelde bedrag per spaarrekening in de genoemde
periode is toegenomen.
Bij INTERNETBANK kun je alleen maar sparen via een internetrekening. In het begin van
het jaar 2000 waren er bij INTERNETBANK 1200 van zulke rekeningen. Vanaf dat
moment heeft men bij INTERNETBANK aan het eind van elke maand bijgehouden hoeveel
rekeningen er waren. Het aantal rekeningen N, hier aangegeven in honderdtallen, is dan
afhankelijk van t, het aantal maanden vanaf het begin van 2000.
Aanvankelijk ging men ervan uit dat N elke maand met 850 zou toenemen. Dan geldt dus de
formule:
N = 8,5t + 12
Maar na verloop van tijd bleek de volgende formule een betere benadering te zijn:
N 
Voor een bepaalde periode voorspelde de tweede formule een groter aantal rekeningen dan
de eerste formule.
35p
Hoeveel maanden duurde deze periode? Licht je antwoord toe.
Bij INTERNETBANK realiseerde men zich dat volgens de tweede formule het aantal
rekeningen op den duur nauwelijks zou toenemen en een grenswaarde zou bereiken. Men
wilde weten na hoeveel maanden het aantal rekeningen minder dan 1% van deze
grenswaarde zou afwijken.
45p
Onderzoek na hoeveel maanden dit voor het eerst het geval was.
opgave 2Macht
Sinds 1 mei 2004 bestaat de Europese Unie uit 25 landen. In de Raad van Ministers heeft
elk land één zetel. In deze raad worden veel beslissingen genomen. Daarbij heeft niet elk
land evenveel stemmen. Zo heeft Frankrijk 29 stemmen, Nederland 13 stemmen en
Denemarken 7 stemmen. Op deze wijze beschikken de 25 landen samen over 321 stemmen.
Een land stemt óf voor óf tegen en kan zich dus niet van stemming onthouden of met een
deel van zijn stemmen vóór en een ander deel tegen stemmen.
Vaak worden beslissingen genomen bij meerderheid van stemmen. Dat betekent dat een
voorstel alleen wordt aangenomen als meer dan de helft van de stemmen voor dat voorstel
is. Dan kan het gebeuren dat de stemmen van Nederland de doorslag geven bij het wel of
niet aannemen van een voorstel. Dat is bijvoorbeeld het geval wanneer van de overige
landen 152 stemmen voor zijn en 156 stemmen tegen.
53p
Bereken bij welke aantallen voorstemmen van de overige landen de stemmen van Nederland
de doorslag geven om een meerderheid voor een voorstel te krijgen.
Bij een stemming kan dus één van de partijen soms de doorslag geven. Hoeveel invloed een
partij bij de stemming heeft, geven we aan met de machtsindex (mi).
Aan de hand van een voorbeeld laten we zien hoe je die kunt uitrekenen.
We gaan uit van drie partijen A, B en C. Partij A heeft 6 stemmen, partij B heeft 4 stemmen
en partij C heeft 3 stemmen. Zij beslissen over een voorstel bij meerderheid van stemmen.
Eén van de mogelijkheden is de volgende: A stemt voor, B stemt voor en C stemt tegen.
Deze mogelijkheid noteren we met (V,V,T).
63p
Hoeveel verschillende mogelijkheden zijn er in totaal?
We gaan nu de machtsindex van één van deze partijen, partij B, berekenen. Daarvoor kijken
we alleen naar de mogelijkheden waarbij deze partij voor stemt. Dat levert de volgende
mogelijkheden op:
Omdat de partijen samen 13 stemmen hebben, zijn er minstens 7 stemmen nodig voor een
meerderheid. Bij de mogelijkheden I, II en III is er een meerderheid voor het voorstel.
Bij de mogelijkheden II en III zijn de 4 voorstemmen van B onmisbaar om een meerderheid
te realiseren.
Bij mogelijkheid I zou die meerderheid ook behaald zijn als B niet voor zou stemmen.
Bij mogelijkheid IV is er geen meerderheid.
Omdat de stemmen van B bij 2 van de 4 mogelijkheden doorslaggevend zijn, zeggen we:
de machtsindex van B 
We gebruiken dus de volgende definitie van de machtsindex (mi) van een partij:
aantal mogelijkheden waarbij de voorstemmen van die partij doorslaggevend zijn voor de meerderheid
mi =
totaal aantal mogelijkheden waarbij die partij voorstemt
Wanneer er sprake is van vier partijen, zijn er meer mogelijkheden. We nemen de volgende
situatie: partij A heeft 7 stemmen, partij B heeft 4 stemmen, partij C heeft 4 stemmen en
partij D heeft 2 stemmen.
Ook nu beslissen de partijen bij meerderheid van stemmen.
76p
Bereken de machtsindex van
A in deze nieuwe situatie.
We nemen nu een situatie met vijf partijen A, B, C, D en E.
Partij A heeft 3 stemmen en de overige partijen hebben elk 1 stem.
86p
Onderzoek of de machtsindex van
A meer dan drie maal zo groot is als de machtsindex
van B.
opgave 3De wet van Benford
In 1881 ontdekte Simon Newcomb een bijzondere eigenschap van sommige reeksen getallen. Hij keek steeds naar het begincijfer van de getallen in zo’n reeks en constateerde dat daarbij lage begincijfers veel vaker voorkomen dan hoge begincijfers. Een voorbeeld van zo’n reeks getallen zijn de beurskoersen die elke dag in de krant verschijnen. De lijst met beurskoersen van vrijdag 10 september 2004 begon met de getallen: 17,75 9,15 5,30 28,07 11,02 6,66 39,67 18,73 1,59 1,53 24,29 41,00 20,37 42,31 6,32 5,03 26,08 19,33 10,77 19,39 50,15 1,54 21,86 13,64 Je kunt hier bijvoorbeeld zien dat bij deze reeks getallen het begincijfer 1 veel vaker voorkomt dan het begincijfer 6 (tien keer tegen twee keer). In 1938 deed Frank Benford uitgebreid onderzoek naar dit verschijnsel. Hij bekeek onder andere de wateroppervlakte van een groot aantal rivieren. Het resultaat van zijn onderzoek vind je in tabel 2. tabel 2 wateroppervlakte van rivieren begincijfer 1 2 3 4 5 frequentie 104 55 36 38 24 29 18 14 17 Je ziet dat lage begincijfers vaker voorkomen dan hoge.
→ Bereken in hoeveel procent van de waarnemingen in tabel 2 het begincijfer 1, 2 of 3 is. Het blijkt dat dit verschijnsel bij veel reeksen van getallen optreedt, bijvoorbeeld ook bij de lengte van rivieren of bij inwoneraantallen van gemeenten. Benford heeft een formule opgesteld waarmee je in dergelijke situaties de relatieve frequentie van de verschillende begincijfers kunt benaderen. Deze formule, die bekend staat als de wet van Benford , ziet er als volgt uit: F ( n ) = 100 ⋅ log ⎜ ⎟ In deze formule is F ( n ) het percentage getallen met het begincijfer n ( n = 1, 2, 3, …, 9). Bij getallenreeksen die voldoen aan de wet van Benford zal bijvoorbeeld ongeveer 17,6% van de getallen met het cijfer 2 beginnen, want F (2) = 100 ⋅ log ( 3/2 ) ≈ 17,6 . En in ongeveer 60,2% van de gevallen zal het begincijfer 1, 2 of 3 zijn, want F (1) + F (2) + F (3) ≈ 60,2. Benford heeft aangetoond dat ook de oneindige rij opeenvolgende machten van het getal 2, de rij 1, 2, 4, 8, 16, … , voldoet aan deze wet. Maar het is de vraag of de wet van Benford ook geldt wanneer je je beperkt tot een beginstuk van deze rij. Om dat na te gaan, tellen we hoe vaak de cijfers 1, 2 of 3 als begincijfer voorkomen bij de eerste twaalf getallen uit deze rij.
→ Onderzoek of het percentage getallen met begincijfer 1, 2 of 3 bij deze twaalf getallen in overeenstemming is met de wet van Benford. We bekijken in de rest van deze opgave een reeks getallen die voldoet aan de wet van Benford. Uit deze reeks kiezen we aselect 160 getallen. Zoals we hierboven hebben gezien, is voor elk van deze getallen de kans dat het begincijfer 1, 2 of 3 is, gelijk aan 0,602.
De getallen die voorkomen in een groot financieel overzicht, voldoen meestal bij benadering aan de wet van Benford. Accountants maken daar tegenwoordig vaak gebruik van om mogelijke fraude bij het opstellen van dergelijke overzichten op te sporen. Zij gaan er daarbij van uit dat het bewust manipuleren van getallen door fraudeurs een andere verdeling van begincijfers oplevert dan de wet van Benford voorspelt. Als bijvoorbeeld 7% van de getallen in een financieel overzicht met het cijfer 9 begint, zal men dit overzicht vrijwel zeker nader onderzoeken. Immers: F (9) ≈ 4,6 en het geconstateerde percentage is ongeveer anderhalf keer zo veel. Bij het accountantskantoor Levrek & Partners neemt men uit een financieel overzicht een steekproef van 800 getallen. Er zal nader onderzoek worden verricht als het aantal getallen met begincijfer 8 meer dan 20 afwijkt van het door de wet van Benford voorspelde aantal. In de steekproef van 800 worden 62 getallen gevonden met begincijfer 8.
opgave 4Bevallen
In het ‘Moeders voor moeders babyboek’ staat dat 75% van de zwangere vrouwen bevalt
tussen 14 dagen vóór en 14 dagen na de uitgerekende datum. Bij het bepalen van deze
uitgerekende datum gaat men uit van een zwangerschap van 40 weken, dus 280 dagen.
De zwangerschapsduur is bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van
280 dagen.
Met behulp van deze gegevens kun je berekenen dat de bijbehorende standaardafwijking,
afgerond op één decimaal, gelijk is aan 12,2 dagen.
In 2002 vonden er in Nederland 199 205 bevallingen plaats. Van een aantal van deze
bevallingen duurde de zwangerschap minder dan 36 weken.
134p
Bereken bij hoeveel bevallingen dit het geval was.
De standaardafwijking kan nauwkeuriger bepaald worden.
144p
Bereken deze standaardafwijking in twee decimalen nauwkeurig.
Volgens een krantenartikel uit 2000 is hevige zwangerschapsmisselijkheid een voorteken
dat er een meisje op komst is. In Zweden is een groot onderzoek gedaan naar vrouwen die
wegens zwangerschapsmisselijkheid waren opgenomen in een ziekenhuis. Daarbij bleek
55,7% van de geboren kinderen een meisje te zijn.
Drie vrouwen zijn in het ziekenhuis opgenomen wegens zwangerschapsmisselijkheid.
154p
Bereken de kans dat de drie baby’s die uit deze zwangerschappen geboren worden van
hetzelfde geslacht zijn.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
opgave 5Sponsorloop
Een school houdt een sponsorloop voor een goed doel. De sponsorloop bestaat uit het lopen
van een aantal ronden in een sportpark. Elke leerling die meeloopt, maakt vooraf met
ouders en bekenden afspraken over het bedrag dat ze voor elke gelopen ronde aan het goede
doel zullen bijdragen.
Er doen 251 leerlingen mee aan de sponsorloop. Na elke ronde wordt genoteerd hoeveel
leerlingen die ronde hebben uitgelopen. In tabel 3 staan de gegevens van de sponsorloop.
Ga ervan uit dat wie aan een volgende ronde begint, deze ook helemaal uitloopt.
Je kunt in tabel 3 bijvoorbeeld aflezen dat 200 leerlingen de vijfde ronde hebben uitgelopen
en dat geen enkele leerling meer dan 14 ronden liep.
164p
Bereken het gemiddelde aantal ronden per leerling.
Joris is een fanatieke hardloper. Hij heeft een schema gemaakt voor de sponsorloop waarbij
hij ervan uit gaat dat hij rustig begint en elke ronde steeds 2 seconden sneller loopt dan de
voorgaande ronde. De eerste ronde loopt hij in 150 seconden; over de tweede ronde doet hij
dus 148 seconden; enzovoort. Voor de rondetijden geldt de volgende formule:
Hierin is tn de tijd in seconden voor ronde n.
De totale tijd Tn die Joris over n ronden doet, wordt gegeven door de formule:
Tn = 151n − n2
174p
Toon aan dat de formule voor
Tn juist is.
De sponsorloop duurt 30 minuten.
184p
Bereken hoeveel volledige ronden Joris in die tijd kan afleggen.
Joris wordt gesponsord door zijn ouders. Voor zijn eerste ronde geven zij slechts 0,01 euro,
maar voor elke volgende ronde geven zij twee maal zo veel als voor de voorafgaande ronde.
Het bedrag in euro’s waarmee zij de n-de ronde van Joris sponsoren noemen we bn. Er geldt
dus:
bn = 0,005⋅ 2n
195p
Bereken hoeveel geld zijn ouders totaal betalen als Joris 13 ronden loopt.
