opgave 1APK
Auto’s moeten elk jaar gekeurd worden. Deze wettelijk verplichte keuring wordt APK,
Algemene Periodieke Keuring, genoemd en wordt uitgevoerd door garagebedrijven.
Om na te gaan of de garagebedrijven de keuringen goed uitvoeren, voert de RDW, de Rijks
Dienst voor Wegverkeer, controles uit. De RDW doet dit steekproefsgewijs. Dat wil
zeggen: van alle auto’s die worden gekeurd door de garagebedrijven, selecteert de RDW er
een aantal en onderwerpt die auto’s aan een controle. Op deze wijze controleert de RDW
3% van alle gekeurde auto’s.
Een garagebedrijf gaat op een dag 5 auto’s keuren.
13p
Bereken de kans dat geen van deze 5 auto’s door de RDW wordt gecontroleerd. Geef je
antwoord in vier decimalen nauwkeurig.
Voor het beoordelen van de kwaliteit van de garagebedrijven hanteert de RDW een
puntensysteem:
Ieder garagebedrijf begint met 0 punten. Als bij controle door de RDW blijkt dat de keuring
van een auto niet goed is verricht, krijgt het garagebedrijf 1,5 strafpunten. Als de keuring
van een auto wel goed is uitgevoerd, krijgt het garagebedrijf 0,4 bonuspunten. Strafpunten
en bonuspunten worden met elkaar verrekend. Als een garagebedrijf bijvoorbeeld
0,8 bonuspunten en 1,5 strafpunten heeft gekregen, levert dit 0,7 strafpunten op. Daarmee
komt het aantal punten voor dit bedrijf op −0,7.
Garagebedrijf Hendriks heeft 0 punten. Bij dit bedrijf wordt 20% van de keuringen niet
goed uitgevoerd. De RDW voert vijf keer een controle bij Hendriks uit.
24p
Bereken de kans dat garagebedrijf Hendriks na deze vijf controles meer dan 0 punten heeft.
Geef je antwoord in vier decimalen nauwkeurig.
Met behulp van het puntensysteem van de RDW kunnen we narekenen dat bij een
garagebedrijf waar 15% van de keuringen niet goed wordt uitgevoerd, elke uitgevoerde
controle gemiddeld 0,115 punten oplevert. Dus acht controles door de RDW leveren zo’n
bedrijf naar verwachting 0,92 punten op.
Garagebedrijf Kampman voert slechts 10% van de keuringen niet goed uit. Acht controles
door de RDW zullen dit garagebedrijf naar verwachting meer punten opleveren.
Garagebedrijf Kampman heeft 0 punten.
34p
Bereken hoeveel punten garagebedrijf Kampman naar verwachting zal hebben nadat de acht
controles zijn uitgevoerd.
Mede door de APK neemt de gemiddelde levensduur van personenauto’s toe. In het begin
van de jaren negentig van de vorige eeuw was een personenauto na 9 à 10 jaar rijp voor de
sloop. In 1998 lag de gemiddelde levensduur al een stuk hoger. Deze gemiddelde
levensduur kun je berekenen met behulp van de gegevens in figuur 1. Daarin vind je in de
vorm van een samengesteld staafdiagram de verdeling naar leeftijd van de personenauto’s
die in 1998 werden gesloopt.
leeftijd sloopauto's in jaren
Legenda:
44p
Bereken met behulp van de gegevens in figuur 1 hoe groot in 1998 de gemiddelde
levensduur was van personenauto’s op het moment van slopen.
opgave 2Kaartspel
Een set speelkaarten bestaat uit 52 kaarten,
verdeeld in de soorten schoppen (
), harten
figuur2(
), ruiten (
) en klaveren (
). Iedere soort
bevat 13 kaarten, met de opdruk 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, 10, boer, vrouw, heer of aas.
Het kaartspel bridge wordt gespeeld door vier
spelers, die ieder 13 kaarten krijgen. Zie
figuur 2.
We gaan er bij deze opgave van uit dat het
delen van de kaarten op aselecte wijze
gebeurt. Dat betekent dat bij elk spel iedere
speler evenveel kans heeft op een bepaalde
kaart.
De 52 kaarten kunnen op zeer veel verschillende
manieren onder de vier spelers verdeeld worden.
54p
Onderzoek of dit aantal manieren groter is dan 5
⋅10
25.
Arie, Bert, Clemens en Douwe spelen bridge.
De kans dat Clemens bij een spel precies twee klaverenkaarten krijgt, is ongeveer 0,2.
64p
Bereken deze kans in vier decimalen nauwkeurig.
Arie heeft gedurende een lange periode bijgehouden hoeveel klaverenkaarten hij bij elk spel
kreeg. Het resultaat van 10 000 spellen vind je in tabel 1.
Het gemiddelde aantal klaverenkaarten dat Arie bij deze 10 000 spellen kreeg, komt vrijwel
overeen met het aantal klaverenkaarten dat je per spel kunt verwachten.
74p
Toon dit met een berekening aan.
Het aantal van 10 000 spellen is erg groot. Dat betekent dat we de uitkomsten in tabel 1
goed kunnen gebruiken om de theoretische kansen op de bijbehorende aantallen
klaverenkaarten te benaderen.
83p
Gebruik tabel 1 om de kans te berekenen dat je in 10 spellen precies één keer géén
klaverenkaarten krijgt. Rond je antwoord af op vier decimalen.
Het aantal klaverenkaarten dat iemand per spel krijgt, is bij benadering normaal verdeeld
met gemiddelde 3,25 en standaardafwijking 1,365.
Douwe wil de kans op ten hoogste 4 klaverenkaarten op twee manieren uitrekenen:
• met behulp van deze normale verdeling;
• met behulp van tabel 1.
Beide uitkomsten zullen niet veel van elkaar verschillen.
95p
Onderzoek of dit verschil kleiner is dan 0,01.
opgave 4Al doende leert men
In de Amerikaanse industrie is ooit onderzocht hoe snel werknemers leren wanneer zij een
handeling vaker verrichten. Bij een groot aantal werknemers is bijgehouden hoeveel tijd ze
nodig hadden om een bepaalde handeling voor de eerste keer te verrichten, hoeveel tijd
voor de tweede keer, enz.
Zo bleken werknemers 16 minuten nodig te hebben om handeling A voor de eerste keer te
verrichten. Bij de tweede keer was die handelingstijd 12,8 minuten. Dus wanneer een
werknemer handeling A twee keer heeft uitgevoerd, is zijn gemiddelde handelingstijd
14,4 minuten. Deze 14,4 minuten zie je in tabel 3. De andere waarden in deze
tabel zijn op een vergelijkbare manier berekend.
Met behulp van tabel 3 kunnen we berekenen dat een werknemer 8,1 minuten nodig heeft
om handeling A voor de 5e keer te verrichten.
143p
Geef zo’n berekening.
Wanneer we de gemiddelde handelingstijd Hn willen uitrekenen voor meer dan
6 handelingen is het handig te beschikken over een formule voor Hn. Hiertoe zijn
verschillende pogingen ondernomen. Eén zo’n poging resulteerde in de formule:
Deze formule komt redelijk overeen met de gegevens van tabel 3 voor n = 1 tot en met
n = 6.
153p
Bereken het grootste verschil tussen de uitkomsten uit tabel 3 en de bijbehorende waarden
van Hn.
Voor grote waarden van n is de formule voor Hn echter niet geschikt om de gemiddelde
handelingstijd te beschrijven.
164p
Leg uit waarom de formule voor
Hn niet geschikt is.
Het is niet zo eenvoudig een formule voor Hn te vinden die wel voldoet.
Toch kunnen we bijvoorbeeld de gemiddelde handelingstijd na 10 handelingen uitrekenen.
Daarbij maken we gebruik van Tn, de tijd die een werknemer nodig heeft om handeling A
voor de n-de keer te verrichten. Tn kan goed worden benaderd met de formule:
Tn = 6 +14,7 ⋅ 0,68n
In deze formule is Tn in minuten. Inderdaad levert deze formule T1 ≈ 16 en T2 ≈ 12,8.
Met deze formule kunnen we ook andere handelingstijden uitrekenen en dus ook
gemiddelde handelingstijden berekenen.
174p
Bereken hoe groot de gemiddelde handelingstijd is wanneer een werknemer 10 keer
handeling A heeft uitgevoerd.
opgave 5Koelkasten
Tegenwoordig worden koelkasten voorzien
van een energiesticker. Op deze sticker staat
vermeld in welke energieklasse de koelkast
zit. Deze energieklassen worden aangegeven
met de letters A tot en met G. Een koelkast in
klasse A gebruikt weinig energie, een
koelkast in klasse G gebruikt veel energie. In
figuur 5 zie je een voorbeeld van zo’n sticker
die hoort bij een koelkast uit energieklasse A.
Om te bepalen in welke energieklasse een
koelkast moet worden ingedeeld, wordt het
energieverbruik vergeleken met het
zogenaamde standaardenergieverbruik van dat
type koelkast. Hiermee berekent men de EEI,
de energie-efficiëntie-index van de koelkast.
Dat gebeurt met behulp van de volgende
formule:
energieverbruik van de koelkast
EEI =
⋅100%
standaardenergieverbruik van de koelkast
De waarde van deze EEI bepaalt in welke energieklasse de koelkast wordt ingedeeld. Zie
tabel 4.
Een koelkast heeft een energieverbruik van 330 kWh per jaar en is ingedeeld in klasse B.
183p
Bereken de grootst mogelijke waarde van het bijbehorende
standaardenergieverbruik.
Om het gebruik van energiezuinige koelkasten te stimuleren, geeft de overheid subsidie
voor koelkasten in klasse A. Bij aanschaf van een koelkast in klasse A krijgt de koper € 50
subsidie.
Van twee koelkasten, de Freezer en de Icebox, zijn enkele gegevens bekend. Zie tabel 5.
De prijs van elektriciteit is € 0,20 per kWh.
De Icebox is duurder in aanschaf, maar verbruikt minder energie in vergelijking met de
Freezer. Dat betekent dat na verloop van tijd de extra investering in de Icebox zal zijn
terugverdiend.
In januari van het jaar 2000 heeft iemand een Icebox gekocht.
195p
Bereken in welke maand van welk jaar de extra investering in de Icebox zal zijn
terugverdiend.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
Bij de berekening van de EEI moeten we weten hoe groot het standaardenergieverbruik van
een koelkast is. Dit wordt voor elk type koelkast apart uitgerekend. Hiervoor gebruikt men
de volgende formule:
standaardenergieverbruik = m ⋅ GV + n
In deze formule is GV het Gecorrigeerd Volume; dit wordt berekend met de formule:
GV = K + s ⋅V
In deze formule is K het volume van de koelruimte en V het volume van de vriesruimte,
beide in liters.
Om deze twee formules te kunnen gebruiken, hebben we dus de waarden van m, n en s
nodig. In tabel 6 staan voor een aantal categorieën koelkasten deze waarden aangegeven.
Voor elke categorie koelkasten is de formule voor het standaardenergieverbruik van de
vorm:
standaardenergieverbruik = a ⋅ K + b ⋅V + c
Hierbij zijn a, b en c constanten. Ook hier is K weer de inhoud van de koelruimte en V de
inhoud van de vriesruimte, beide in liters.
205p
Hoe groot zijn de constanten
a,
b en
c voor de categorie koelkasten met vriesruimte **?
Er bestaan ook koelkasten met vriesruimte ***. Voor deze categorie koelkasten geldt de
formule:
standaardenergieverbruik = 0,657 ⋅ K +1,41255⋅V + 235
Een fabrikant van koelkasten wil een nieuw type koelkast met vriesruimte *** op de markt
brengen. Dit nieuwe type moet voldoen aan de volgende voorwaarden:
• de koelkast hoort in energieklasse A;
• het jaarlijks energieverbruik is 187 kWh;
• de koelruimte is vier maal zo groot als de vriesruimte.
214p
Onderzoek hoe groot de inhoud van de vriesruimte moet zijn om aan deze voorwaarden te
voldoen.
