Eindexamen wiskunde A vwo 2001 tijdvak 2 (wiskunde A1)

opgave 1Opgave 1 Vakkenkeuze

In het voorjaar van 1994 zijn bij een onderzoek naar vakkenkeuze 344 jongens en 493 meisjes ondervraagd die toen eindexamen havo deden. Nederlands was voor iedereen verplicht. Havo-leerlingen moesten naast Nederlands nog ten minste 5 andere vakken kiezen. In tabel 1 is te zien door hoeveel procent van de ondervraagden de andere vakken zijn gekozen. tabel 1 Vakkenkeuze van jongens en meisjes op havo Duits vak jongens 31,1 (in %) Engels Frans 10,2 98,8 Aardrijkskunde Geschiedenis 19,2 25,3 Economie Handelswetenschappen 60,2 43,0 Wiskunde A 43,3 Wiskunde Biologie B 23,5 54,7 Natuurkunde Scheikunde 42,2 57,6 Tekenen Maatschappijleer 7,0/2,9 Muziek Handenarbeid 0,9/2,3 Textiele Spaans werkvormen 0,0 0,0

Toon aan dat van de ondervraagde leerlingen meer meisjes dan jongens economie deden. De meeste leerlingen hadden naast Nederlands 5 vakken gekozen. Sommige leerlingen hadden naast Nederlands 6 vakken gekozen. Geen van de leerlingen had naast Nederlands meer dan 6 vakken gekozen.

Bereken hoeveel procent van de ondervraagde meisjes een extra vak deed. De onderzoekers vermoedden dat veel kandidaten ontevreden waren over hun huidige vakkenpakket. Bij het onderzoek werd ook gevraagd of je, als je opnieuw zou mogen kiezen, weer precies hetzelfde pakket gekozen zou hebben. De leerlingen moesten daarbij aangeven wélke vakken ze zouden willen vervangen. Voor enkele vakken staat het resultaat in figuur 1. Bijvoorbeeld: van alle meisjes met wiskunde B zou ongeveer 21% dat vak achteraf liever niet hebben gekozen.

figuur 1 Spijtpercentage per vak voor jongens en meisjes apart % 24/22 wiskunde-B natuurkunde economie scheikunde Frans Aan de leerlingen die ten minste één ander vak gekozen zouden hebben, werd ook gevraagd welk nieuw vak of welke nieuwe vakken ze zouden kiezen. In figuur 2 staat voor enkele vakken het resultaat. Bijvoorbeeld: van de meisjes die ten minste één ander vak gekozen zouden hebben, zou ruim 25% wiskunde A kiezen. (Merk op dat veel leerlingen meer dan één nieuw vak zouden kiezen, waardoor het totaal zelfs over deze zes vakken al ver boven de 100% komt.) figuur 2 Voorkeur voor vervangingsvakken van jongens en meisjes op de havo 45 % 40 0 35/30 wiskunde-A economie biologie geschiedenis aardrijkskunde Duits Er waren 127 jongens en 232 meisjes die ten minste één ander vak zouden kiezen. Stel dat alle leerlingen het achteraf gewenste pakket hadden gekozen.

opgave 2Opgave 2 Persoonlijke lening

Iemand heeft bij een bank een persoonlijke lening afgesloten van ƒ 80 000,–.Voor rente en aflossing betaalt hij aan het eind van elke maand een vast bedrag, namelijk ƒ 720,– . De bank brengt hem 0,7% rente per maand over het restant van de lening in rekening. L 0 is het beginbedrag: ƒ 80 000,–. L t is het restant van de lening direct na het einde van de t e maand. L t berekent men als volgt: Eerst wordt het restant van de lening na t – 1 maanden vermeerderd met de verschuldigde rente en daarna wordt de ƒ 720,– er van af getrokken. In de tabel hieronder kun je voor de eerste paar maanden zien hoe groot het restant van de lening is aan het eind van elke maand. Er wordt bij alle bedragen gerekend in guldens. tabel 2

Bereken L 6 . Het maandbedrag van ƒ 720,– bestaat voor een deel uit rente die betaald moet worden en voor een deel uit aflossing. Met behulp van tabel 2 kunnen we nagaan dat er aan het eind van de 1 e maand ƒ 160,– van de lening wordt afgelost.Aan het eind van de 2 e maand wordt ƒ 161,12 afgelost. De aflossing aan het eind van de t e maand geven we aan met A t . In tabel 3 zie je voor de eerste paar maanden hoe groot de aflossing is die er aan het eind van elke maand plaatsvindt. tabel 3 Omdat het restant van de lening steeds kleiner wordt, zal de aflossing A t toenemen.

Het blijkt dat A t exponentieel groeit. Laat zien dat bij de waarden van A t in tabel 3 sprake is van exponentiële groei. Het is mogelijk deze exponentiële groei in een formule weer te geven. Deze formule ziet er als volgt uit: A t = 160 1,007 t –1

Bereken na hoeveel maanden de aflossing voor het eerst groter is dan ƒ 200,–. Aan de formule voor A t is te zien dat er sprake is van een meetkundige rij. Om te berekenen hoeveel er na verloop van tijd in totaal is afgelost, moet dus de som van een meetkundige rij bepaald worden.

opgave 3Opgave 3 Geboorte

In de kansrekening gaat men er vaak van uit dat bij een geboorte de kans op een

jongen even groot is als de kans op een meisje, namelijk 0,5. In werkelijkheid worden

er iets meer jongens geboren dan meisjes. Bij elke geboorte is de kans op een jongen

ongeveer 0,51.

Wanneer we bijvoorbeeld de kans willen berekenen dat een gezin met 4 kinderen

bestaat uit twee jongens en twee meisjes, dan kunnen we gebruik maken van de

bovengenoemde 0,5. Maar we kunnen die kans ook berekenen met behulp van de

bovengenoemde 0,51. De twee uitkomsten die we krijgen, zijn niet even groot.

84p

Bereken hoeveel beide uitkomsten van elkaar verschillen.

Ook bij de Europese vorstenhuizen is de kans dat een jongen wordt geboren, gelijk

aan 0,51. Toch zijn er bij de 500 geboortes die de afgelopen eeuwen bij de Europese

vorstenhuizen plaatsvonden maar liefst 285 jongens geboren. De kans op zo’n groot

aantal jongens is niet zo groot.

94p

Bereken de kans dat er bij 500 geboortes minstens 285 jongens zijn.

De Nieuw-Zeelandse arts Grant heeft onderzocht of de kans op een jongen, en daarmee

dus ook de kans op een meisje, afhangt van persoonlijkheidskenmerken van de moeder.

Daartoe deelde zij in eerste instantie een onderzoeksgroep in 3 verschillende

categorieën in. De resultaten van dat onderzoek zie je in onderstaande tabel:

tabel 4

104p

Bereken in 3 decimalen nauwkeurig voor de totale onderzoeksgroep hoe groot de

kans is op een jongen.

Bovenstaand onderzoek was voor Grant aanleiding om verder te zoeken. In het

vervolgonderzoek deelde zij de moeders in 5 categorieën in: zeer meegaand,

meegaand, bescheiden, dominant en zeer dominant. Uit het vervolgonderzoek bleek

dat de kans op een meisje bij een zeer meegaande moeder vijf keer zo groot is als de

kans op een meisje bij een zeer dominante moeder.

Als de uitkomst van het vervolgonderzoek van Grant juist is, is de kans op een jongen

bij een zeer dominante moeder, zo valt na te rekenen, groter dan 0,8. Dat betekent dat

deze kans dus zeker niet gelijk kan zijn aan bijvoorbeeld 0,75.

113p

Laat door een berekening zien dat deze kans inderdaad niet gelijk kan zijn aan 0,75.

Uit de uitkomst van Grants vervolgonderzoek mag je niet de conclusie trekken dat de

kans op een jongen bij een zeer dominante moeder vijf keer zo groot is als bij een

zeer meegaande moeder.

123p

Laat met behulp van een getallenvoorbeeld zien dat je die conclusie inderdaad niet

mag trekken.

opgave 4Opgave 4 Kavelkosten

Een gemeente wil uitbreiden door het bouwen van een nieuwe wijk. De plaats waar de nieuwe wijk gebouwd zal worden, is vastgesteld.Voordat de gemeente het uitbreidingsplan laat uitvoeren, doet de gemeente onderzoek naar de kosten van het plan. Er zijn twee soorten kosten voor de gemeente: de kosten van aankoop van de grond. In deze situatie bedragen de kosten 170 000 gulden per hectare (1 hectare = 10 000 m 2 ). de kosten van het bouwrijp maken. Dit betreft kosten voor de aanleg van bijvoorbeeld wegen, rioleringen en groenvoorzieningen. Deze kosten zijn hoger naarmate het aantal woningen dat per hectare gebouwd zal worden groter is. In figuur 3 zijn kosten van diverse vergelijkbare projecten door middel van plusjes weergegeven. Zowel langs de horizontale als langs de verticale as is een logaritmische schaalverdeling gebruikt. Hierbij is x het aantal woningen per hectare. B stelt voor de kosten per hectare van het bouwrijp maken in duizenden guldens. Op grond van de plusjes in figuur 3 is een grafiek (de lijn k in figuur 3) getekend die het verband tussen B en x weergeeft. De figuur staat ook op de bijlage afgebeeld. figuur 3

De lijn k beschrijft een theoretisch model waarmee B kan worden berekend. De werkelijke kosten bij de onderzochte projecten (de plusjes in de figuur) wijken soms aanzienlijk af van de kosten volgens dit model. Kijk bijvoorbeeld maar naar de kosten van het project dat hoort bij x 19.

Onderzoek of de werkelijke waarde van B van dit project meer dan 100% afwijkt van de waarde van B volgens het model. Voor x = 100 is de waarde van B volgens het model niet in figuur 3 af te lezen.

Geef voor x = 100 een schatting van de waarde van B volgens het model. Maak hierbij gebruik van figuur 3. Licht je werkwijze toe. Ga er in de rest van de opgave van uit dat B = 0,4 x 1,8 . Neem aan dat de gemeente 30 woningen per hectare wil bouwen.

Bereken de kosten voor het bouwrijp maken die de gemeente dan per woning zal maken. De totale kosten per woning die de gemeente maakt, noemen we K .Voor het verband tussen K en x kan de volgende formule worden afgeleid: Hierbij is K in duizenden guldens.

Toon dit aan. De gemeente wil dat de kavelgrootte (dat wil zeggen de grondoppervlakte) voor alle woningen in de nieuwe wijk hetzelfde is. Bovendien wil men dat de totale kosten die de gemeente per woning maakt, minimaal zijn.

opgave 5Opgave 5 Schaatsrecords

Als een schaatsrecord verbeterd wordt, verschijnen in de kranten vaak prachtige

grafieken. In figuur 4 is weergegeven hoe de recordtijden op de 10 kilometer voor

mannen zich in de loop der jaren ontwikkeld hebben. Voor het overzicht heeft men

niet alle in deze periode behaalde wereldrecords vermeld.

figuur 4

Recordhouders 10 km 17.00 Andersen (Noo), Davos 6 feb '49 tijd 16.45 16.57,4 16.30 Progressie 6,96% 16.15 16.00 15.45 Johannessen (Noo), 15.30 Squaw Valley 4,54% 27 feb '60 15.15 15.46,6 15.00 Verkerk (Ned), 4,08% 14.45 Inzell 26 jan '69 15.03,6 14.30 Oglobin (Rus), 14.15 Medeo 29 mrt '80 4,44% 14.26,71 14.00 Güstafson (Zwe), 2,13% 13.45 Calgary 21 feb '88 13.48,20 Koss (Noo), 13.30 Hamar 20 feb '94 13.30,55 1945 '50 '55 '60 '65 '70 '75 '80 '85 '90 '95 jaar

Zo zien we dat Koss in 1994 een recordtijd van 13.30,55 reed. Dit houdt in dat deze

Noor de 10 kilometer aflegde in 13 minuten en 30,55 seconden.

Tussen twee vermelde records staat steeds met hoeveel procent in die periode de

recordtijd gedaald is. We noemen dat de progressie.

Nog niet vermeld in deze figuur is de recordtijd die Gianni Romme op 17 februari

1998 reed, namelijk 13.15,33.

183p

Laat met een berekening zien dat dit een progressie van 1,88% betekent ten opzichte