bij dit examen
Ga verder op de volgende pagina.
opgave 1Botsproef
Ongeveer 75 jaar geleden onderzocht John Stapp de effecten van grote
versnellingen op het menselijk lichaam. In een van zijn experimenten zat
hij op een stoel, met een veiligheidsriem over zijn heupen. De stoel hing
aan een lange kabel. De stoel werd uit de evenwichtsstand getrokken en
vervolgens vanuit stilstand losgelaten. Zie figuur 1. Bij het laagste punt
werd een botsing nagebootst. Dit deed men door een andere kabel aan de
achterkant van de stoel aan te spannen, waardoor de stoel plotseling
vertraagde.
figuur 1
De snelheid van de stoel vlak voor de botsing (het aanspannen van de
kabel) is 4,0 ms−1.
13p
Bereken op welke hoogte h boven het laagste punt de stoel is losgelaten.
Verwaarloos daarbij de wrijvingskracht.
Aya heeft op internet een film van het experiment van Stapp gevonden.
Figuur 2 toont een beeldje uit de film.
figuur 2
De film werd gemaakt om de beweging met behulp van videometen te
onderzoeken. Daarom is er op de achtergrond in figuur 2 een gestreepte
balk met een totale lengte van 1 yard (= 0,91 m) geplaatst. Ook zijn er
twee markeringen aangebracht:
− M, op de zitting van de stoel;
− S, op de schouder van Stapp.
Aya analyseert de beweging van de markeringen M en S. Daarvoor
vergroot zij de filmbeeldjes en meet daarin met een liniaal. De vergroting
van het beeldje uit figuur 2 staat op de uitwerkbijlage. Daar is ook het
assenstelsel aangegeven dat Aya gekozen heeft. Uit haar metingen
berekent zij de werkelijke horizontale positie x en werkelijke verticale
positie y van de markeringen ten opzichte van de oorsprong.
22puitwerkbijlage
Schat met de figuur op de uitwerkbijlage tot op hoeveel cm nauwkeurig
Aya de werkelijke positie van een markering kan bepalen.
Aya zet de posities van de markeringen M en S uit in een (y,x)-diagram.
Dit diagram is weergegeven in figuur 3. In het diagram zijn enkele
meetpunten genummerd. Beeldje 0 komt overeen met het moment van de
botsing. S en M bevinden zich dan recht boven elkaar bij x = 0. De film is
opgenomen met 50 beeldjes per seconde.
Aya concludeert uit figuur 3 dat S zich na de botsing gedurende 0,34 s
rechts van x = 0 bevindt.
32p
Leg met een berekening uit hoe zij deze tijdsduur heeft bepaald.
figuur 3
figuur 4
Figuur 4 toont beeldje 0 en beeldje 5. Hier is te zien dat de schouder na
de botsing ten opzichte van de stoel beweegt. De beweging van
markering S ten opzichte van markering M duurt volgens Aya 0,34 s.
42p
Leg met behulp van figuur 3 uit of Aya gelijk heeft.
Met behulp van software voor videometen bepaalt Aya voor ieder beeldje
de snelheid vx van markering S in horizontale richting. In figuur 5 is vx
uitgezet tegen de tijd t. Figuur 5 staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 5
Aya bekijkt het deel van de beweging waarin S vertraagt, tot aan het
moment dat de bewegingsrichting omkeert.
53puitwerkbijlage
Bepaal met behulp van het diagram op de uitwerkbijlage de gemiddelde
horizontale vertraging van S tijdens dit deel van de beweging. Noteer je
antwoord in twee significante cijfers.
Door de experimenten van Stapp kwam er aandacht voor de vraag hoe
inzittenden van een personenauto beschermd kunnen worden tegen de
grote vertraging bij een botsing. Men zag in dat de kinetische energie van
de inzittenden zo geleidelijk mogelijk moet worden omgezet. De
vertraging tijdens het afremmen is in dat geval constant. Voor de
horizontale vertraging ax geldt dan:
(1)
Hierin is:
− vb de horizontale snelheid vlak voor de botsing;
− s de lengte van de remweg in horizontale richting.
64p
Leid formule (1) af.
figuur 6
Uit de figuren 3 en 5 blijkt dat de schouder van Stapp na de botsing eerst
nog met constante snelheid bewoog, en vanaf ongeveer x = 20 cm begon
te vertragen.
Tegenwoordig zijn driepuntsgordels in personenauto’s verplicht. Zie
figuur 6. De driepuntsgordel wordt steeds strak tegen het lichaam
getrokken. De elastische schouderband van een bepaald type
driepuntsgordel kan over een horizontale afstand van 18 cm uitrekken.
Aya beweert dat de horizontale vertraging ax van de schouder van Stapp
kleiner geweest zou zijn als hij deze driepuntsgordel had gebruikt in
plaats van de veiligheidsriem.
73p
Leg met behulp van formule (1) uit of Aya gelijk heeft.
opgave 2Elektriciteitspracticum
figuur 1 Een ohmse weerstand van 60 Ω wordt met twee meetsnoeren aangesloten op een voedingskastje. Zie figuur 1. Beide snoeren hebben een cilindervormige koperen kern met een diameter van 0,80 mm en een lengte van 140 cm . De weerstand van de twee meetsnoeren is kleiner dan de onnauwkeurigheid in de waarde van de ohmse weerstand.
Leid dit verband af. figuur 3 De weerstanden worden vervangen door drie gelijke gloeilampjes, zie figuur 3. Op de lampjes staat: 12 V; 2,4 W . De voedingsspanning is ingesteld op 18 V . Als de lampjes zich net zo zouden gedragen als de ohmse weerstanden in figuur 2, dan zou er volgens formule (1) een spanning van 12 V over lampje L 3 staan. L 3 zou dan precies goed branden. Gloeilampjes gedragen zich echter als PTC’s.
opgave 3Cepheïden
De parallaxmethode is een manier om de afstand tot een ster te bepalen. Door de beweging van de aarde rond de zon lijkt de positie van een nabije ster te verschuiven ten opzichte van verder weg gelegen sterren. Na een periode van een half jaar is de schijnbare verplaatsing maximaal. Zie figuur 1. figuur 1 Hoek p in figuur 1 wordt de parallax genoemd. Hoe groter de afstand d tot de ster, des te kleiner is de parallax. Rond het jaar 1900 was de kleinste parallax die kon worden gemeten 3 ⋅ 10 − 5 graad. Afstanden in de ordegrootte van 10 18 m en groter waren toen nog niet te onderscheiden.
Toon dit aan. figuur 2 Omstreeks 1910 onderzocht Henrietta Leavitt (zie figuur 2) een bepaald type sterren: de Cepheïden. De stralingsintensiteit van deze sterren varieert met een constante periode T van enkele dagen tot enkele weken. De Cepheïden zijn vernoemd naar de heldere ster Delta Cephei, waarvan als eerste werd vastgesteld dat de stralingsintensiteit periodiek verandert.
Figuur 3 laat hedendaagse metingen zien van de waargenomen stralingsintensiteit I van Delta Cephei. figuur 3 Uit andere metingen blijkt dat de oppervlaktetemperatuur van Delta Cephei tijdens één periode varieert tussen 5,5·10 3 K en 6,8·10 3 K . De waargenomen variatie van de stralingsintensiteit komt overeen met de verwachte variatie op basis van de oppervlaktetemperaturen.
Toon dit aan. Sterren zijn niet gelijkmatig verdeeld over het heelal, maar gegroepeerd in een groot aantal sterrenstelsels. De Kleine Magelhaense Wolk (KMW) is een sterrenstelsel dat in de buurt van ons eigen melkwegstelsel ligt. Zie figuur 4. Henrietta Leavitt ontdekte in de KMW ruim twintig Cepheïden. figuur 4
Leavitt bepaalde van iedere Cepheïde in de KMW de maximale stralingsintensiteit I max en de periode T . Vervolgens zette zij de logaritme van I max uit tegen de logaritme van T . Zie figuur 5. figuur 5 Tot Leavitts verrassing werd een lineair verband tussen log ( I max ) en log ( T ) zichtbaar. Het verband is te beschrijven met de formule: Hierin is: − I max de gemeten maximale stralingsintensiteit in W m − 2 − T de periode in dagen − a een constante (zonder eenheid) − C een constante in W m − 2 Het diagram uit figuur 5 staat vergroot op de uitwerkbijlage.
Leavitt vond ook voor Cepheïden in een ander sterrenstelsel een lineair verband tussen log( I max ) en log( T ). Daarbij was alleen de waarde van de constante C anders. Zij concludeerde dat de constante a voor alle Cepheïden in het heelal hetzelfde is, en dat C alleen afhangt van de afstand van de Cepheïde tot de aarde. Tegenwoordig noemt men formule (1) de ‘wet van Leavitt’. Leavitt kon haar wet ontdekken doordat zij metingen deed aan meerdere Cepheïden in twee verschillende sterrenstelsels. Dit was niet gelukt als ze de gegevens van Cepheïden op willekeurige plekken in het heelal in het diagram had uitgezet.
Leg dit uit. Uit de wet van Leavitt volgt dat Cepheïden met dezelfde periode hetzelfde stralingsvermogen P bron uitzenden. Bij gelijke periodes hangt de waargenomen maximale intensiteit I max van een Cepheïde dus alleen af van zijn afstand tot de aarde. In figuur 4 is te zien dat de ster Delta Cephei veel dichter bij de aarde ligt dan de KMW. Omstreeks 1930 was men in staat om de afstand tot Delta Cephei met de parallaxmethode te bepalen: deze is 8,4·10 18 m . Met dit gegeven en de wet van Leavitt kon men vervolgens ook de afstand tot de veel verder weg gelegen KMW bepalen. Op de uitwerkbijlage is figuur 3 afgebeeld. Ook zijn de data uit figuur 5 daar nogmaals weergegeven, nu op logaritmisch papier. Voor Delta Cephei geldt: I max = 1,1 ⋅ 10 − 9 W m − 2 .
opgave 4Morpho didius
De Morpho didius is een vlinder waarvan de vleugels felblauw zijn.
Onderzoekers hebben verschillende hypotheses opgesteld over de
oorzaak van deze kleur. Een van de hypotheses is dat de vleugels een
pigment bevatten. Een pigment is een chemische stof waarvan de
moleculen licht met bepaalde golflengtes absorberen. Een pigment dat
fotonen met een energie van 2,1 eV absorbeert, heeft een felblauwe tint.
Een bepaald natuurlijk pigment bestaat uit moleculen met een lengte van
1,27 nm. Acht elektronen bewegen vrij over de gehele lengte van het
molecuul. De energieniveaus van die elektronen kunnen berekend worden
met het model van een oneindig diepe eendimensionale energieput. De
verdeling van de elektronen over de energieniveaus waarbij de totale
energie minimaal is, noemen we de grondtoestand van het molecuul.
164p
Toon met een berekening aan dat de kleinst mogelijke energieopname
vanuit de grondtoestand van dit molecuul overeenkomt met de
absorptie-energie van een blauw pigment.
Kleur kan ook verklaard worden uit de oppervlaktestructuur van een
materiaal. Figuur 1 toont een elektronenmicroscoopfoto van de doorsnede
van de vleugel. Het oppervlak is bedekt met smalle verticale richels die
ieder weer opgebouwd zijn uit horizontale lamellen. In figuur 2 is de
doorsnede van één richel schematisch weergegeven.
figuur 1
figuur 2
Licht dat loodrecht op de opengeklapte vleugel valt, gaat gedeeltelijk door
de lamellen heen en wordt gedeeltelijk teruggekaatst op de grensvlakken
tussen de lamellen en lucht. In figuur 3 is dit schematisch weergegeven
voor twee achtereenvolgende lamellen.
figuur 3
In het materiaal van de lamellen is de voortplantingssnelheid van licht
1,5 keer kleiner dan in lucht. De frequentie van het licht is onafhankelijk
van het materiaal. In lucht heeft blauw licht een golflengte van 480 nm.
175p
Voer de volgende opdrachten uit:
− Bepaal het faseverschil dat ontstaat tussen blauw licht dat terugkaatst
op lamel 1 en blauw licht dat terugkaatst op lamel 2.
− Verklaar hiermee de blauwe kleur van de vlinder.
Wanneer de vleugel onder een hoek wordt bekeken, heeft hij nog steeds
een blauwe tint. Dit blijkt ook uit figuur 4, waarin een meting is afgebeeld
van de intensiteit van het teruggekaatste blauwe licht als functie van de
hoek waaronder men de vleugel waarneemt.
figuur 4
figuur 5
De twee buitenste maxima in figuur 4 kunnen niet verklaard worden vanuit
de lamellenstructuur, maar wel vanuit de regelmatige lijnstructuur van de
richels op de vleugel. Deze is te zien in figuur 1 en in de schematische
doorsnede in figuur 5. De lijnstructuur werkt als een tralie voor het
teruggekaatste licht.
Het diagram uit figuur 4 staat vergroot op de uitwerkbijlage.
183puitwerkbijlage
Bepaal met behulp van het diagram op de uitwerkbijlage het aantal richels
per centimeter op de vleugel. Noteer je antwoord in twee significante
cijfers.
opgave 5Linac
In ziekenhuizen past men uitwendige bestraling toe om tumoren te
behandelen. Het apparaat dat hiervoor wordt gebruikt noemt men een
Linac. Het bevat een lineaire deeltjesversneller waarin elektronen worden
versneld. Daarna zijn er twee mogelijkheden:
− de tumor wordt direct bestraald met de elektronenbundel;
− met de elektronen worden röntgenfotonen geproduceerd waarmee
vervolgens de bestraling wordt gedaan.
De eerste methode is niet voor alle tumoren geschikt.
192p
Leg uit aan welke voorwaarde een tumor moet voldoen om de eerste
methode te kunnen toepassen.
Om een röntgenbundel te vormen, bevat de Linac behalve de versneller
nog drie andere essentiële onderdelen:
− een afbuigmagneet om de elektronenbundel te richten en te
focusseren;
− een trefplaatje waarin de energie van de elektronen wordt omgezet in
röntgenfotonen;
− een of meer filters om een gelijkmatige bestraling van de tumor
mogelijk te maken.
Figuur 1 toont deze onderdelen in een schematische tekening.
figuur 1
De elektronen moeten na het versnellen naar de behandeltafel worden
afgebogen. Dit wordt gedaan met de afbuigmagneet. Figuur 2 toont de
baan van een elektron dat met de gemiddelde snelheid in punt P het
homogene magneetveld binnenkomt. Het doorloopt een deel van een
cirkelbaan en verlaat het magneetveld weer bij Q. Het magneetveld staat
loodrecht op het papier.
figuur 2
figuur 3
Voor de baanstraal van een elektron in het magneetveld geldt:
(1)
203p
Leid formule (1) af met behulp van formules uit het informatieboek.
In de praktijk hebben de elektronen niet allemaal dezelfde snelheid en
heeft de elektronenbundel een bepaalde breedte. Een evenwijdig
invallende elektronenbundel blijkt daardoor na het afbuigen uit elkaar te
lopen. Zie figuur 3.
Op de uitwerkbijlage is figuur 2 nog twee keer weergegeven voor
elektronen die op een andere hoogte in de bundel of met een andere
beginsnelheid het magneetveld binnenkomen.
213puitwerkbijlage
Teken in beide figuren op de uitwerkbijlage de baan die het elektron volgt
door het magneetveld heen en na het verlaten van het magneetveld.
Om ervoor te zorgen dat de elektronenbundel na het afbuigen evenwijdig
blijft, gebruikt men in de praktijk een ander magneetveld, dat inhomogeen
is. De elektronen doorlopen hierin een bocht van 270 graden. In figuur 4
zijn de banen van een snel en een langzaam elektron in dit veld getekend.
figuur 4
figuur 5
In tekening I en II van figuur 5 is het magneetveld het papier in gericht,
en in tekening III en IV het papier uit.
223p
Leg uit welk magneetveld in figuur 5 (I, II, III of IV) geschikt is om de
elektronen de banen van figuur 4 te laten volgen.
De smalle elektronenbundel die uit de afbuigmagneet komt, valt op het
trefplaatje. De grafiek van figuur 6 toont het röntgenspectrum dat ontstaat
bij een elektronenbundel die versneld is tot 4,1 MeV.
figuur 6
In figuur 6 is te zien dat er geen röntgenfotonen zijn met een golflengte
kleiner dan 0,30 pm.
233p
Verklaar dit met behulp van een berekening.
Omdat de stralingsdosis over het te bestralen gebied constant moet zijn,
wil men dat de intensiteit van de bundel röntgenfotonen overal hetzelfde
is. Dit is bij de originele bundel niet het geval, zie figuur 7. Daarom
monteert men zogenaamde collimators en flattening filters in het
apparaat. Zie figuur 8.
figuur 7
figuur 8
Een collimator houdt alle fotonen in het
figuur 9
buitenste deel van de bundel tegen. Een
flattening filter moet in het middelste deel van
de bundel zoveel fotonen absorberen dat de
intensiteit daar overal even groot wordt.
Figuur 9 toont een voorbeeld van een
flattening filter dat voor dit doel ontworpen is.
Ontwerpers willen een kegelvormig flattening
filter ontwikkelen waarbij de intensiteit na het
filter overal 38% van de maximale intensiteit
in de originele bundel is. Ze nemen aan dat de gemiddelde fotonenergie
overal in de röntgenbundel gelijk is aan 2,0 MeV. Het filter wordt gemaakt
van ijzer.
242p
Bereken de dikte die het flattening filter in het midden van de bundel moet
hebben.
In figuur 10 is te zien dat de intensiteit na plaatsing van het kegelvormige
filter toch niet over de hele bundel gelijk is. De aanname dat de
gemiddelde fotonenergie overal in de bundel hetzelfde is, is kennelijk niet
juist.
figuur 10
Op de uitwerkbijlage staat figuur 10 met daarboven een doorsnede van
het kegelvormige filter.
253puitwerkbijlage
Voer de volgende opdrachten uit:
− Leg uit of de gemiddelde fotonenergie in het midden van de bundel
groter of kleiner is dan die aan de randen.
− Schets binnen het gestippelde kader op de uitwerkbijlage een vorm
van het flattening filter waarmee een meer homogene bundel ontstaat,
zonder extra verlies aan gemiddelde intensiteit.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.
vraag 2
vraag 5
vraag 13
vraag 15
vraag 18
vraag 21
vraag 25
13p
22p
32p
42p
53p
64p
73p
84p
93p
103p
113p
123p
134p
142p
154p
164p
175p
183p
192p
203p
213p
223p
233p
242p
253p
