bronnen

Eindexamen wiskunde B havo 2018, tijdvak 2

opgave 1Piano

In figuur 1 zijn de witte en zwarte toetsen van een gewone piano getekend. In
totaal heeft deze piano 88 toetsen.
figuur 1
De toetsen worden genummerd van links naar rechts. Zie figuur 2, waarin
de eerste vijftien toetsen met de bijbehorende volgnummers zijn getekend.
figuur 2 toetsen met volgnummers
2
5
7
10 12 14
1
3
4
6
8
9
11 13 15
De tonen die met de toetsen van de piano voortgebracht worden, hebben
verschillende frequenties. Hoe verder een toets naar rechts zit, hoe groter de
frequentie van de bijbehorende toon. Bij de toets met volgnummer 1 hoort een
toon met een frequentie van 27,5 Hz (hertz). Bij de toets met volgnummer 49
hoort een toon met een frequentie van 440 Hz.
Het verband tussen het volgnummer van een toets en de frequentie van de
bijbehorende toon is exponentieel. Dus: wanneer je achtereenvolgens de
toetsen van links naar rechts bespeelt, neemt de frequentie van de
opeenvolgende tonen telkens met hetzelfde percentage toe.
14p

Exponentiële functies en groei 4pexact

Bereken algebraïsch dit percentage in twee decimalen nauwkeurig.
In de twintigste eeuw is de digitale piano ontwikkeld. Dit instrument, dat ook
88 toetsen heeft, bootst een gewone piano na. Bij digitale piano’s wordt een
andere nummering voor de toetsen gebruikt: elke toets van de digitale piano
heeft een zogeheten MIDI-nummer. Zie figuur 3, waarin de eerste vijftien
toetsen met de bijbehorende MIDI-nummers zijn getekend.
figuur 3 toetsen met MIDI-nummers
22
25 27
30 32 34
21
23 24 26 28 29 31 33 35
De frequentie van de toon die bij een bepaalde toets hoort, kan worden
berekend met de volgende formule:
f = 440 ⋅ 2(1)/(12)^(^m^ −^6^9^)
Hierin is f de frequentie van de toon in Hz en m het MIDI-nummer van de
bijbehorende toets.
Algemeen wordt gesteld dat het menselijk gehoor in staat is om tonen met
een frequentie tussen 20 Hz en 20 000 Hz waar te nemen. Iemand wil daarom
de digitale piano uitbreiden met een aantal toetsen met MIDI-nummers zodat
zoveel mogelijk tonen met frequenties tussen 20 Hz en 20 000 Hz voorkomen.
25p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 4p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pGR mag

Bereken met bovenstaande formule hoeveel toetsen zo’n piano dan zal
hebben.

opgave 2Twee paren punten op een cirkel

De cirkel c met middelpunt M is gegeven door de vergelijking
x2 + y2 − 10x + 16y = 56. Lijn l is de lijn door het punt A(4,4) met
richtingscoëfficiënt –1. Deze lijn snijdt de cirkel behalve in het punt A ook in
het punt B. Zie figuur 1.
figuur 1
l A O x B M c
35p

Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 3p · Lijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 1p · Lijn en cirkel: snijpunten en raaklijnen 1pexact

Bereken exact de coördinaten van B.
De cirkel heeft twee snijpunten met de x-as. Dit zijn de punten C(−4,0) en
D(14,0). In figuur 2 zijn de stralen MC en MD getekend. Figuur 2 staat
vergroot op de uitwerkbijlage.
figuur 2
C D O x M c
46puitwerkbijlage

Hoek tussen lijnen 3p · Cirkels: vergelijking, middelpunt en straal 2p · Lijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 1pGR mag

Bereken CMD. Geef je eindantwoord in graden en rond af op één
decimaal. Je kunt hierbij de uitwerkbijlage gebruiken.

opgave 3Logaritme van een kwadratische functie

De functie f wordt gegeven door:
f(x) =2log (x^2 − 3x + 3)
In figuur 1 is de grafiek van f weergegeven.
figuur 1
f O x
De grafiek van f lijkt geen verticale asymptoot te hebben. De grafiek van
de standaardfunctie y =2log (x) heeft wél een verticale asymptoot.
53p

Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 2p · Eigenschappen van functies en grafieken 1pexact

Bewijs dat de grafiek van f inderdaad geen verticale asymptoot heeft.
Gegeven is het punt P(4,0).
De grafiek van f wordt over een afstand a naar rechts verschoven.
Hierdoor ontstaat de grafiek van de functie g.
Er zijn twee waarden van a waarvoor de grafiek van g door P gaat. Zie
figuur 2.
figuur 2
y f g g O P x

opgave 4Trapezium

Een trapezium is een vierhoek met twee evenwijdige zijden.
Gegeven is trapezium ABCD waarvan de zijden AB en CD evenwijdig zijn.
Verder geldt: AB = 6, AC = 5, AD = 3, B = 55° en ACB > 90°.
De afstand tussen AB en CD, de hoogte van het trapezium, is h.
Zie de figuur. Deze figuur staat tweemaal op de uitwerkbijlage getekend.
figuur
D C 3 5 h 55˚ 6
Afgerond op twee decimalen is BAC gelijk aan 24,41°.
74puitwerkbijlage

Sinusregel en cosinusregel 4pexact

Bereken BAC algebraïsch en rond je eindantwoord af op
drie decimalen. Je kunt hierbij de uitwerkbijlage gebruiken.
De oppervlakte van het trapezium is te berekenen met de volgende
formule:
oppervlakte = h ⋅ (AB + CD)/(2)
85puitwerkbijlage

Pythagoras, sinus, cosinus en tangens 4p · Rekenen met een gegeven formule 1pGR mag

Bereken de oppervlakte van het trapezium met behulp van deze formule.
Rond je eindantwoord af op één decimaal. Je kunt hierbij de uitwerkbijlage
gebruiken.

opgave 5Productiviteit

Werken op een hete zomerdag kost
meer moeite dan op een dag met
een temperatuur van een graad of
twintig.
In deze opgave kijken we hoe de
omgevingstemperatuur invloed heeft
op de productiviteit. Met dit begrip
bedoelen we: de hoeveelheid werk
die een mens gemiddeld verzet.
Op de Helsinki University of
Technology is hier onderzoek naar
gedaan.
figuur P (%) 100 90 80 0 15 20 25 30 35 T (°C)
De resultaten van het onderzoek zijn verwerkt in de grafiek in de figuur. De
productiviteit P op de verticale as geeft aan hoe hoog de productiviteit is ten
opzichte van de maximale productiviteit. Zo zie je dat bij een temperatuur van
15 °C de productiviteit 90% is van wat maximaal mogelijk is.
De grafiek in de figuur kan worden benaderd met de volgende formule:
P = 0,00623T3 − 0,58274T2 + 16,47524T − 46,76666
Hierbij is P de productiviteit in procenten ten opzichte van de maximale
productiviteit en T de temperatuur in graden Celsius (°C). De formule geldt
voor 15 ≤ T ≤ 35.
De temperatuur waarbij de productiviteit volgens de formule maximaal is,
noemt men de ideale temperatuur.
Iemand vraagt zich af door welke verandering van de temperatuur de
productiviteit het meest afneemt:
− twee graden daling ten opzichte van de ideale temperatuur
óf
− twee graden stijging ten opzichte van de ideale temperatuur
94p

Extremen en optimaliseren 2p · Rekenen met een gegeven formule 2pGR mag

Onderzoek, zonder gebruik te maken van de figuur, door welke van deze twee
veranderingen de productiviteit het meest afneemt.
Voor temperaturen vanaf 30 °C tot en met 35 °C kan P goed benaderd
worden door een formule van de volgende vorm:
P_b_e_n_a_d_e_r_d = a ⋅ T + b
Hierbij kunnen a en b zo gekozen worden dat P_b_e_n_a_d_e_r_d voor T = 30 en T = 35
dezelfde uitkomsten geeft als de formule voor P.
103p

Lineaire functies 2p · Rekenen met een gegeven formule 1pGR mag

Bereken deze waarden van a en b. Rond in je eindantwoord a af op
drie decimalen en b op één decimaal.

opgave 6Sinus

Op het domein [ − (8)/(7),(8)/(7)] wordt de functie f gegeven door f(x) = 3sin(πx).
De lijn l is de lijn met vergelijking y = (3)/(2). Lijn l snijdt de grafiek van f in de
punten P en Q. Zie figuur 1.
figuur 1
y l P Q O x f
113p

Goniometrische vergelijkingen exact oplossen 3pexact

Bereken exact de x-coördinaten van P en Q.
De grafiek van f snijdt de positieve x-as in het punt A. De grafiek van f heeft
een top rechts van de y-as. Dit is punt T. De punten A en T zijn in figuur 2
aangegeven.
Er bestaat één derdegraadsfunctie g waarvoor geldt:
− het functievoorschrift is van de vorm g(x) = ax3 + bx
én
− de grafiek gaat door A en T.
De grafiek van g is gestippeld getekend in figuur 2.
figuur 2
y T g f x O A f g
Uit bovenstaande gegevens volgt: a + b = 0 en (1)/(8)a + (1)/(2)b = 3.
133p

Stelsels van lineaire vergelijkingen 3pexact

Bereken exact de waarden van a en b.

opgave 7Gebroken functies

Op het domein 0,→ zijn de functies f en g gegeven door:
f(x) = x + (1)/(x) en g(x) = (x)/(4) + (4)/(x)
Op het gegeven domein hebben de grafieken van f en g één snijpunt.
144p

Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 3p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pexact

Bereken exact de x-coördinaat van dit snijpunt.
De functies f en g zijn voorbeelden van functies met een functievoorschrift
van de vorm h(x) = (x)/(a) + (a)/(x) met a > 0 en domein 0,→.
In figuur 1 is voor een aantal waarden van a de grafiek van h getekend.
figuur 1
y a = 1_ 2 a = 1 a = 2 a = 5 O x
De afgeleide van h wordt gegeven door:
h'(x) = (x − a)/(ax2)^2^2
153p

De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 2p · Formules herleiden en omwerken 1pexact

Bewijs dit.
Voor elke waarde van a heeft de grafiek van h één top. In figuur 2 is voor
enkele waarden van a de top met een stip aangegeven.
figuur 2
y a = 1_ 6 2 a = 1 5 a = 2 4 3 2 a = 5 1 O x
De y-coördinaat van elke top in figuur 2 is gelijk aan 2.
Het is zelfs zo dat voor elke waarde van a (met a > 0) de y-coördinaat van de
top van de grafiek van h gelijk is aan 2.
164p

Extremen en optimaliseren 3p · Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 1pexact

Bewijs dit.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

opgave 8Macht en lijnen

De functie f is gegeven door:
f(x) = (3)/(16x4)
De horizontale lijn met vergelijking y = (1)/(32) snijdt de grafiek van f in twee
punten.
173p

Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 2p · Afstanden met coördinaten 1pexact

Bereken exact de afstand tussen deze twee punten.
Op de grafiek van f ligt het punt A(1,(3)/(16)). De lijn l is de raaklijn aan de grafiek
van f in het punt A. Lijn l snijdt de y-as in punt B. Zie de figuur.
figuur
y l f B A x O
185p

Raaklijnen aan grafieken 3p · De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 2pexact

Bereken exact de y-coördinaat van B.