bronnen

Eindexamen wiskunde B havo 2016, tijdvak 2

opgave 1Drie snijpunten

De functie f is gegeven door de x- as in drie punten. Zie figuur
Bereken de x- coördinaten van de drie snijpunten van de grafiek van f met de x -as. Verder is gegeven de horizontale lijn l met vergelijking y = p . De grafiek van f snijdt l in drie punten.
Bereken voor welke waarden van p dit het geval is. Rond de getallen in je antwoord af op drie decimalen.

opgave 2Zuinig verpakken

Chocolademelk wordt vaak verpakt in karton. Op foto’s 1 en 2 zie je twee
verschillende kartonnen verpakkingen: een voordeelpak en een klein
pakje.
foto 1
foto 2
figuur bij de opgave
figuur bij de opgave
Deze twee verpakkingen hebben de vorm van een balk. Het voordeelpak
heeft een inhoud van 1,50 liter. De hoogte van dit pak is 24,5 cm. Het
kleine pakje heeft een inhoud van 0,20 liter. De afmetingen van dit kleine
pakje zijn 4,8 bij 3,5 bij 12,0 cm.
De dikte van het karton, de naden en ook de sluitingen van de pakken
worden in deze opgave verwaarloosd.
Het voordeelpak is géén vergroting van het kleine pakje.
34p
Toon dit aan.
Chocolademelk wordt ook in blikjes met een inhoud van
foto 3
0,25 liter verpakt. Zie foto 3.
Zo´n blikje heeft bij benadering de vorm van een cilinder. De
hoogte van deze cilinder is 12,8 cm en de diameter van het
grondvlak is 5,0 cm.
De dikte van het materiaal, de naden, de sluiting en de holle
bodem worden hierbij verwaarloosd.
Bij het bepalen van de vorm van een verpakking wil men de
hoeveelheid verpakkingsmateriaal zo klein mogelijk houden. Om
foto 3
te onderzoeken of men zuinig geweest is met de hoeveelheid materiaal,
kan gebruik worden gemaakt van het isoperimetrisch quotiënt (IQ).
De formule voor het isoperimetrisch quotiënt luidt: IQ = (36π ⋅ V)/(A3)^2
Hierin is V de inhoud van de verpakking in cm3 en A de oppervlakte van
de verpakking in cm2.
Hoe groter het IQ, hoe efficiënter (zuiniger) de verpakking.
44p
Bereken welke verpakking het meest efficiënt is, het kleine pakje of het
blikje.
Het IQ geldt niet alleen voor verpakkingen, maar kan voor alle lichamen
berekend worden.
Een bol is een bijzonder lichaam, want een bol blijkt het hoogste IQ te
hebben.
Het IQ van een lichaam hangt alleen maar af van de vorm van dat
lichaam en niet van de grootte ervan. Daarom is de waarde van het IQ
voor alle bollen gelijk.
54p
Bereken exact het IQ van een bol.

opgave 3Vierdegraadsfunctie

De functie f is gegeven door f(x)= (x2−7)2−25. De grafiek van f snijdt
de x-as achtereenvolgens in de punten A, B, C en D. Zie de figuur.
figuur
y f A B O C D x
Lijnstuk AD is langer dan lijnstuk BC.
66p
Bereken exact hoeveel keer zo lang.
77p
Bepaal op exacte wijze het bereik van f.

opgave 4Energieverbruik

Sinds het begin van de industriële revolutie is het totale jaarlijkse
energieverbruik in de Verenigde Staten (VS) nagenoeg exponentieel
toegenomen.
E is het totale energieverbruik per jaar in de VS in joule per jaar. In
figuur 1 is voor een aantal jaren log (E) aangegeven. Figuur 1 staat ook
vergroot op de uitwerkbijlage.
figuur 1
20 log (E) 19 18 17 16 15 0
1 exajoule is gelijk aan √(018)1 joule.
84puitwerkbijlage
Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage het totale
energieverbruik in de VS in het jaar 1950 in hele exa√(oules)j nauwkeurig.
Licht je antwoord toe.
De punten in figuur 1 liggen bij benadering op een rechte lijn. Deze lijn l is
in figuur 2 getekend.
figuur 2
20 (E) 19 18 17 l 16 15
1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 2j0a0a0r
Een formule voor lijn l is:
log (E) = 0,0125t + 15,8
Hierin is E het totale energieverbruik per jaar in de VS in joule per jaar en
t het aantal jaren met t = 0 voor het jaar 1650.
93p
Bereken in welk jaar volgens de formule in de VS voor het eerst meer dan
3,0·1020 joule aan energie zal worden verbruikt.
Een onderzoeker voorspelt dat het wereldwijde energieverbruik na 2010
exponentieel groeit, waarbij het elke honderd jaar tien keer zo hoog wordt.
Op 1 januari 2010 was het wereldwijde energieverbruik 1,2·1013 joule per
seconde. De aarde ontvangt van de zon veel meer energie, maar liefst
1,7·1017 joule per seconde. Als alle energie die de aarde van de zon
ontvangt door de mens gebruikt zou kunnen worden, dan zouden we nu
theoretisch gezien alleen met zonne-energie kunnen volstaan. Volgens
bovengenoemde voorspelling zullen we in de toekomst op een gegeven
moment toch meer energie verbruiken dan de aarde van de zon ontvangt.
104p
Bereken over hoeveel eeuwen dit volgens deze voorspelling het geval zal
zijn.

opgave 5Sinusoïden

Op het domein 0,(5)/(2)π is de functie f gegeven door
f(x) = 2cos((1)/(2)x − (1)/(8)π). Zie figuur 1.
figuur 1
y 2 f 1 0 2 x -1 -2
113p
Bereken exact de x-coördinaat van het snijpunt van de grafiek van f met
de x-as.
De punten A en B zijn de toppen van de grafiek van f. Lijn k gaat door
A en B. Zie figuur 2.
figuur 2
y A 2 f k 1 0 2 x -1 -2 B ( ) ( ) De coördinaten van A en B zijn 1π,2 en 9π,−2 4 4
Een vergelijking voor k is y = − (2)/(π)x + (5)/(2).
122p
Toon aan dat deze vergelijking voor k met behulp van de coördinaten van
A en B opgesteld kan worden.
Op hetzelfde domein is de functie g gegeven door g(x) = sin (x − (1)/(4)π).
De toppen van de grafiek van g liggen ook op k. Zie figuur 3.
figuur 3
y A 2 f k 1 g 0 2 x -1 -2 B
135p
Toon dit met exacte berekening aan.

opgave 6Het midden en de top

De functie f is gegeven door ^f^(^x^)^ = (^x^ +^1)(^x^2^ −^5^x^ +^5). De grafiek van f
snijdt de positieve x-as in de punten A en B. Het punt M is het midden van
lijnstuk AB. Zie figuur 1.
figuur 1
y f M O A B x
De x-coördinaat van M is gelijk aan 2(1)/(2).
144p
Toon dit met exacte berekening aan.
Het punt C is een top van de grafiek van f. De verticale lijn door M gaat
niet door C. Zie figuur 2.
figuur 2
y 1_ x = 2 2 f M O A B x C
156p
Bereken exact het verschil tussen de x-coördinaten van M en C.

opgave 7Het Gebouw

In Leidsche Rijn staat Het Gebouw,
foto 1
foto 1
een bouwwerk naar een idee van
kunstenaar Stanley Brouwn. Zie foto 1.
De vorm van Het Gebouw wordt bepaald
door twee op elkaar liggende balken. Elke
balk heeft een lengte van 27,30 meter,
een breedte van 3,90 meter en een
hoogte van 3,90 meter. De onderste balk
rust op de grond. De balken liggen in het midden op elkaar onder een
hoek van 90º. In figuur 1 is een model van Het Gebouw getekend. In
figuur 2 zie je het bovenaanzicht van dit model.
figuur 1
figuur 2
figuur 1
figuur 2
Een groot deel van deze op elkaar liggende balken van Het Gebouw komt
met de buitenlucht in aanraking.
163p
Bereken de oppervlakte van dit deel. Geef je antwoord in hele m2
nauwkeurig.
In figuur 3 zie je nogmaals het
figuur 3
176p
bovenaanzicht van het model van
Het Gebouw. Hierin is ook een
horizontale kijklijn PQ aangegeven.
Deze kijklijn maakt in het bovenaanzicht
een hoek van 45º met de beide balken.
Kijkend in de richting van PQ zie je
Het Gebouw als in foto 2.
Teken een aanzicht op schaal 1: 390
van Het Gebouw (zonder ramen en
deuren) in de richting van de kijklijn PQ.
Licht je werkwijze toe.
Q P
foto 2
foto 2

opgave 8Twee parabolen

De functie f is gegeven door f(x) = x2 − 6x.
De grafiek van f snijdt de x-as in de oorsprong en in het punt A.
De grafiek van de functie g raakt de x-as in A en gaat door de top T van
de grafiek van f. Zie de figuur.
figuur
y O A x f T g
g heeft een functievoorschrift van de vorm g(x) = ax2 + bx + c.
187p
Bereken exact a, b en c.