Eindexamen wiskunde B havo 2014 tijdvak 1

opgave 1Kwelders

De vorm van eilanden, bijvoorbeeld in de Waddenzee, verandert voortdurend. De zee spoelt stukken strand weg en op andere plekken ontstaat juist nieuw land. Deze nieuwe stukken land worden kwelders genoemd. Een plant die op kwelders groeit, is de zoutmelde. Het verband tussen de leeftijd van een kwelder en het percentage van de bodem dat bedekt is met zoutmelde kan bij benadering beschreven worden door de formule: Hierin is P het percentage van de kwelder dat bedekt is met zoutmelde en t de leeftijd van de kwelder in jaren. In figuur 1 is de bijbehorende grafiek getekend. figuur 1

Bereken na hoeveel jaar de helft van een kwelder bedekt is met zoutmelde. Rond je antwoord af op een geheel aantal jaren.

Zoutmelde neemt na verloop van tijd de plaats in van een deel van de planten die door ganzen worden gegeten. Ganzen eten de zoutmelde niet. Daarom heeft de hoeveelheid zoutmelde invloed op het aantal ganzen. Het gemiddelde aantal ganzen per vierkante kilometer kwelder hangt dus af van de leeftijd van de kwelder. Dit verband kan vanaf het vierde jaar bij benadering beschreven worden door de formules: G 1 ( t ) = 2( t − 4) 2 voor 4 ≤ t ≤ 8 G 2 ( t ) = − 2( t − 12) 2 + 64 voor 8 ≤ t ≤ 16 80 t − 1184 G 3 ( t ) = voor t ≥ 16 4 t − 61 Hierin zijn G 1 , G 2 en G 3 de gansdichtheden in de verschillende periodes en is t de leeftijd van de kwelder in jaren. De gansdichtheid is het gemiddelde aantal ganzen per vierkante kilometer kwelder. In figuur 2 zijn de bijbehorende grafieken getekend. figuur 2 De grafieken van de eerste twee periodes sluiten vloeiend op elkaar aan. Dit betekent dat aan de volgende twee voorwaarden is voldaan: 1 de formules hebben voor t = 8 dezelfde uitkomst; 2 de hellingen van de grafieken zijn voor t = 8 aan elkaar gelijk.

Toon op algebraïsche wijze aan dat aan beide voorwaarden is voldaan. Gedurende een aantal jaren ligt de gansdichtheid boven de 40 (ganzen per km 2 ).

Bereken gedurende hoeveel jaar dit het geval is. Als de kwelder op den duur grotendeels is begroeid met zoutmelde is het voor de ganzen moeilijk om voedsel te vinden. Toch blijven er dan ganzen op de kwelder komen. In figuur 2 is te zien dat de gansdichtheid op de lange duur tot een bepaalde grenswaarde daalt.

opgave 2Gebroken functie

De functie f is gegeven door f(x) = (60)/(x4 + 4)

In de figuur is de grafiek van f getekend.

figuur

De horizontale lijn met vergelijking y = 2 snijdt de grafiek van f in

twee punten.

54p

Bereken exact de coördinaten van deze twee punten.

Voor de afgeleide van f geldt: f'(x) = (− 240x)/((x4 + 4)2)^3

64p

Toon dit op algebraïsche wijze aan.

Het punt A(2,3) ligt op de grafiek van f.

73p

Bereken exact de waarden van a en b waarvoor y = ax + b een

vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in A is.

opgave 3Bloembak

Op de foto is een bloembak afgebeeld. De bloembak heeft de vorm van

een (omgekeerde) halve kegel met boven aan de vlakke achterkant een

extra halve cirkelschijf voor de bevestiging. De totale hoogte van de

bloembak is 39,0 cm. De straal van de extra halve cirkelschijf is 9,0 cm.

In de figuur is de bloembak schematisch getekend.

foto

figuur

82p

Teken op schaal 1: 3 het zijaanzicht van de bloembak in de kijkrichting PQ.

Zo’n bloembak wordt gemaakt door uit een plaat metaal de verschillende

stukken te snijden en deze dan aan elkaar te lassen.

96p

Bereken hoeveel cm² metaal hiervoor nodig is.

De bloembak wordt met 1 liter potgrond gevuld. Dit is niet genoeg om de

bloembak tot de rand te vullen.

106p

Bereken tot hoeveel centimeter onder de rand de potgrond komt. Rond je

antwoord af op één decimaal.

opgave 4f boven g

Op het domein [0,4]

zijn de functies f en g gegeven door f(x) = sin x en

In de figuur zijn de grafieken van f en g getekend.

figuur

De grafiek van g snijdt de x-as in de oorsprong en in punt A. De grafiek

van f snijdt de x-as in de oorsprong en in punt B.

115p

Bereken exact de lengte van het lijnstuk AB.

Het maximum van g kan geschreven worden in de vorm a√(b)

met b een

zo klein mogelijk geheel getal.

125p

Bereken exact de waarden van a en b.

De grafiek van f ligt voor 0 < x ≤ 4 boven de grafiek van g.

134p

Bereken de maximale waarde van x waarvoor het verschil tussen f(x) en

g(x) minder dan 0,01 bedraagt. Geef je antwoord in twee decimalen

nauwkeurig.

opgave 5Functie met logaritme

De functie f is gegeven door f(x) =² log(x² − x).

figuur

De grafiek van f heeft twee verticale asymptoten. Zie de figuur.

142p

Geef van elk van deze asymptoten een vergelijking.

De grafiek van f snijdt de x-as in de punten A en B. Zie de figuur.

155p

Bereken exact de lengte van lijnstuk AB.

opgave 6Theezakje

foto Theezakjes zijn er in diverse vormen. In deze opgave bekijken we een theezakje in de vorm van een piramide. Zie de foto. De in figuur 1 getekende piramide T.ABC is een model van het theezakje. De vier zijvlakken van deze piramide zijn gelijkzijdige driehoeken met zijden van 6 cm. Punt D is het midden van AB . In figuur 1 zijn ook CD en TD en het punt S recht onder T op CD aangegeven. Er geldt CS : DS = 2:1 . figuur 1 figuur 2 Voor de productie van deze theezakjes wordt gaas gebruikt. De piramide wordt gevouwen uit een plat stuk gaas. Waar twee delen van randen van het stuk gaas door het vouwen tegen elkaar aan zijn gekomen, worden deze aan elkaar vast gemaakt zodat er naden in het theezakje ontstaan. In figuur 2 zijn de naden dik getekend. Het betreft de lijnstukken AB , DT en CT . Er geldt CD = TD . Uit de gegevens volgt: CD = 27 cm en de hoogte TS van de piramide is 24 cm.