bronnen

Eindexamen wiskunde B havo 2003, tijdvak 1 (wiskunde B1)

opgave 1Sparrenbomen

Een boomkweker koopt een grote partij jonge sparrenboompjes. Uit onderzoek is bekend
dat de lengte van jonge sparrenboompjes bij benadering normaal verdeeld is met een
gemiddelde van 25 cm en dat 5% van de boompjes korter is dan 20 cm. De partij jonge
sparrenboompjes is te beschouwen als een aselecte steekproef.
12p
Hoeveel procent van de boompjes is naar verwachting langer dan 30 cm? Licht je antwoord
toe.
24p
Bereken de standaardafwijking van de lengteverdeling van jonge sparrenboompjes. Geef je
antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
De kweker neemt steeds aselect 40 boompjes en plant deze in één rij.
34p
Bereken de kans dat in zo'n rij precies één boompje korter is dan 20 cm. Rond je antwoord
af op twee decimalen.
Na een aantal jaren wordt een groot aantal van deze sparrenboompjes voor de kerstverkoop
gerooid. Je kunt er nu van uitgaan dat de lengte van deze partij bomen bij benadering
normaal verdeeld is met een gemiddelde van 145 cm en een standaardafwijking van 15 cm.
43p
Bereken de kans dat een aselect gekozen boom uit deze partij een lengte heeft die ligt
tussen 140 cm en 170 cm. Rond je antwoord af op twee decimalen.
De bomen worden ingedeeld in twee prijsklassen, namelijk: kleine bomen van € 10,- per
stuk en grote bomen van € 15,- per stuk. De kweker wil dat de te verwachten opbrengst per
100 bomen € 1300,- is.
57p
Bereken bij welke lengte de grens tussen de beide prijsklassen dan moet liggen. Rond je
antwoord af op hele centimeters.

opgave 2Spitsboog

Al heel lang worden in bouwwerken
boogconstructies gebruikt om grote ruimten
te overspannen. In figuur 1 zie je enkele
soorten bogen, waaronder de spitsboog.
Een spitsboog is opgebouwd uit twee
cirkelbogen. Hierbij ligt het middelpunt van
de ene cirkelboog op een uiteinde van de
andere cirkelboog.
figuur 1
spitsboog lancetboog
rondboog
63p
In figuur 2 is de vorm van een spitsboog OPQ figuur 2
in een assenstelsel getekend. O is het
middelpunt van cirkelboog PQ en Q is het
middelpunt van cirkelboog OP.
Voor de cirkelboog PQ in figuur 2 geldt de
volgende formule (met x en h in meter):
h = √(36 − x2) met 3 ≤ x ≤ 6
Bereken de hoogte h van het punt P. Geef je
h (m) 6 P 4 2 O Q 2 4 6 x (m)
antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
74p
Ter versteviging wordt tussen de twee delen figuur 3
van de spitsboog een stang bevestigd,
evenwijdig met de lijn OQ. Zie figuur 3.
Men wil een stang van 5 meter gebruiken.
Bereken op welke hoogte deze stang precies
past. Rond je antwoord af op een geheel
aantal centimeters.
Men wil een andere stang op 4 meter hoogte
plaatsen.
h (m) 6 P 4 2 O Q x (m)
85p
Bereken hoe lang deze stang moet zijn. Rond
je antwoord af op een geheel aantal centimeters.
Een toegangspoort tot een kasteel heeft aan de bovenkant de vorm van een spitsboog en
heeft in een vooraanzicht de vorm zoals in figuur 4 is afgebeeld. Het gedeelte OPQ in dit
vooraanzicht heeft dezelfde afmetingen als in figuur 2. De top P van de spitsboog bevindt
zich 8 meter boven de grond.
figuur 4
P 8 O Q S R T 3 3 ?
In het punt P bevindt zich een bewakingscamera. Deze camera neemt niets waar van het
gebied onder de raaklijn PT. Het gedeelte RT op de grond in het vooraanzicht valt dus
buiten het bereik van deze camera.
Met behulp van de gegeven formule voor de cirkelboog kun je de helling van PT berekenen.
Deze helling is op twee decimalen afgerond −0,58.
93p
Bereken de helling van PT in drie decimalen nauwkeurig.
105p
Bereken de lengte van RT. Geef je antwoord in meters. Rond af op één decimaal.

opgave 3Medicijnen

Een huisarts schrijft een patiënt een geneesmiddel voor. De patiënt moet dat geneesmiddel
enkele weken achtereen gebruiken. Hij neemt één keer per week op maandagochtend één
tablet van 500 mg van het medicijn in. De hoeveelheid medicijn in zijn lichaam neemt
exponentieel af. Na precies één week is nog 30% van de oorspronkelijke hoeveelheid
medicijn aanwezig in zijn lichaam.
Uit de gegevens is te berekenen dat de groeifactor per 24 uur ongeveer 0,842 is.
113p
Schrijf deze berekening op.
124p
Bereken in hoeveel tijd 40% van het toegediende medicijn in zijn lichaam wordt
afgebroken. Rond je antwoord af op een geheel aantal uren.
De patiënt neemt elke week een nieuwe tablet van 500 mg in. We nemen aan dat hij dat
steeds na precies een week doet. De hoeveelheid medicijn in zijn lichaam neemt na inname
weer exponentieel af met groeifactor 0,842 per 24 uur.
M(t) is de hoeveelheid medicijn in mg in zijn lichaam, t dagen nadat de eerste tablet is
ingenomen. In figuur 5 is de grafiek van M als functie van t getekend van t = 0 tot t = 9.
800 M (mg) 700 600 500 400 300 200 100 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 t (dagen)
figuur 5
Het differentiequotiënt (∆M)/(∆t) op het tijdsinterval [0; 0,01] is een benadering van de snelheid
waarmee direct na inname van de eerste tablet het medicijn in zijn lichaam wordt
afgebroken.
134p
Benader met behulp van dit differentiequotiënt de snelheid waarmee direct na inname van
de eerste tablet het medicijn in zijn lichaam wordt afgebroken. Geef het antwoord in
milligrammen per uur. Rond af op één decimaal.
144p
Bereken de hoeveelheid medicijn in het lichaam op tijdstip t = 10. Rond je antwoord af op
een geheel aantal milligrammen.
De grafiek van figuur 5 staat ook op de bijlage.
156p
Schets in de figuur op de bijlage de grafiek van M van t = 9 tot net na de inname van de
tablet op dag 21. Bereken hiervoor de maximale en minimale waarden van de hoeveelheid
medicijn in het lichaam, die wekelijks worden bereikt.

opgave 4Derdegraadsfunctie

165p
174p
In figuur 6 is de grafiek getekend van de figuur 6
functie f (x) = 300x − x3.
De grafiek van f heeft twee toppen.
Stel een functievoorschrift van f ′ op en
bereken daarmee de coördinaten van beide
toppen.
Op de grafiek van f ligt punt P met
x-coördinaat a. Hierbij is a een willekeurig
positief getal.
Q is het punt op de grafiek van f met
x-coördinaat –a.
Onderzoek met behulp van de afgeleide f ′ of
de raaklijnen aan de grafiek van f in de
punten P en Q evenwijdig zijn.
P -a O a x Q

opgave 5Kroonkurken

Bij de introductie van een nieuw biermerk organiseert een fabrikant een reclameactie. Op de
binnenkant van elke kroonkurk laat hij een letter van het alfabet afdrukken. Alle 26 letters
van het alfabet worden in gelijke hoeveelheden afgedrukt. De bierflesjes worden
willekeurig over de bierkratten verdeeld.
Wie een kroonkurk met de letter P inlevert, krijgt een gratis flesje bier van dit merk.
Een klant drinkt elke dag één flesje bier van het nieuwe merk.
183p
Bereken hoeveel flesjes bier hij moet drinken om tien gratis flesjes te kunnen verwachten.
193p
Bereken de kans dat hij op de derde dag voor het eerst een kroonkurk met de letter P heeft.
Rond je antwoord af op drie decimalen.
204p
Bereken de kans dat hij bij de eerste 10 flesjes minstens één letter P heeft. Rond je
antwoord af op drie decimalen.
214p
Bereken de kans dat hij met de letters van de eerste vier kroonkurken het woord ‘PILS’ kan
vormen. Geef je antwoord in procenten. Rond af op vier decimalen.
√(Einde)
Lees verder