bij dit examen
FORMULEBLAD Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen a b 2 × 2 kruistabel , met c d waarin a , b , c en d absolute aantallen zijn. − als phi < − 0,4 of phi > 0,4 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als − 0,4 ≤ phi < − 0,2 of 0,2 < phi ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als − 0,2 ≤ phi ≤ 0,2 , dan zeggen we “het verschil is gering”. Maximaal verschil in cumulatief percentage ( max V cp ) (met steekproefomvang n > 100 ) − als max V cp > 40 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als 20 < max V cp ≤ 40 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als max V cp ≤ 20 , dan zeggen we “het verschil is gering”. X 1 − X 2 Effectgrootte E = 1 , met X 1 en X 2 de steekproefgemiddelden 2 ( S 1 + S 2 ) ( X 1 ≥ X 2 ), S 1 en S 2 de steekproefstandaardafwijkingen − als E > 0,8 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als 0,4 < E ≤ 0,8 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als E ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is gering”. Twee boxplots vergelijken − als de boxen 1) elkaar niet overlappen, dan zeggen we “het verschil is groot”, − als de boxen elkaar wel overlappen en een mediaan van een boxplot buiten de box van de andere boxplot ligt, dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − in alle andere gevallen zeggen we “het verschil is gering”. noot 1 De ‘box’ is het interval vanaf het eerste kwartiel tot en met het derde kwartiel.
opgave 1Minder rokers
Figuur 1 komt uit het rapport Volksgezondheid Toekomst Verkenning 2018
van het RIVM1). In deze figuur zijn voor Nederland het percentage van de
mannen dat rookt en het percentage van de vrouwen dat rookt op 1 juli
voor de jaren 1990 tot en met 2018 weergegeven.
figuur 1 Percentage rokers 18 jaar of ouder
Deze hele opgave gaat alleen over mannen en vrouwen van 18 jaar of
ouder.
Op 1 juli 2015 telde Nederland 6 618 000 mannen en 6 853 000 vrouwen
van 18 jaar of ouder.
14pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Bereken met behulp van figuur 1 hoeveel procent van de rokers op
1 juli 2015 man was. Geef je antwoord in hele procenten.
Voor de periode vanaf 2018 heeft het RIVM een formule opgesteld om de
ontwikkeling van het percentage van de mannen dat rookt te voorspellen.
Men gaat uit van een lineaire afname volgens de volgende formule:
Hierin is Pm het percentage van de mannen dat rookt en t het aantal jaren
vanaf 1 juli 2018.
noot 1 RIVM = Rijksinstituut voor Volksgezondheid en Milieu
Het RIVM beweert dat volgens formule 1 het percentage van de mannen
dat rookt voor de start van het jaar 2040 gehalveerd is ten opzichte van
1 juli 2018.
23pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Onderzoek of deze bewering juist is.
Figuur 2 is ontstaan door in figuur 1 de trendlijn te tekenen voor het
percentage van de vrouwen dat rookt.
figuur 2 Percentage rokers 18 jaar of ouder
De percentages van de vrouwen die roken op 1 juli in 1995 en 2004 liggen
precies op de trendlijn.
Met deze gegevens kan een formule voor de trendlijn worden opgesteld:
Hierin is Pv het percentage van de vrouwen dat rookt en t het aantal jaren
vanaf 1 juli 1990.
De percentages van de vrouwen die roken in 1995 en 2004 zijn gehele
getallen.
33pLineaire functies 2p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Bereken met deze percentages de getallen in formule 2 in drie decimalen.
Het percentage van de mannen dat rookt, kan vanaf 1 juli 2018 worden
berekend met formule 1. Het percentage van de vrouwen dat rookt, kan
vanaf 1 juli 1990 worden berekend met formule 2.
opgave 2Voedselconsumptie
In de periode 2012-2014 is onderzocht wat kinderen en volwassenen aten
en dronken. Deze voedselconsumptiepeiling is uitgevoerd bij personen die
toen tussen de 1 en 79 jaar oud waren en in Nederland woonden.
Om een goed beeld te krijgen van wat er gedurende het jaar gegeten en
gedronken werd, is de gegevensverzameling gelijkmatig verdeeld over de
dagen van het jaar.
52pData presenteren en beoordelen 2p
Geef een voorbeeld van welk vertekend beeld je zou kunnen krijgen
wanneer de gegevensverzameling niet gelijkmatig over de dagen van het
jaar verdeeld is.
In de voedselconsumptiepeiling werd onderscheid gemaakt tussen vast
voedsel (inclusief zuivel) en dranken (zonder zuivel). Daarnaast werd ook
gekeken of de voedingsmiddelen binnen of buiten de Schijf van Vijf
vallen. De Schijf van Vijf is een hulpmiddel dat wordt gebruikt in de
voorlichting over gezonde voeding en bevat vijf categorieën met
aanbevolen voedingsmiddelen:
− dranken (zonder zuivel)
− brood, graanproducten en aardappelen
− smeer- en bereidingsvetten
− zuivel, noten, vis, peulvruchten, vlees en ei
− groente en fruit
Buiten de Schijf van Vijf vallen bijvoorbeeld koekjes, cola, chips, witbrood
en vla, maar ook groenten met toegevoegd zout in pot of fruit op siroop in
blik.
Op de volgende bladzijde staat op de verticale as van figuur 1 de
gemiddelde voedselconsumptie per persoon per dag (in gram).
figuur 1 Gemiddelde voedselconsumptie per persoon
64pTabellen en grafieken lezen en gebruiken 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 2p
Bereken met behulp van figuur 1 welk percentage van de totale
voedselconsumptie per persoon per dag bestond uit dranken (zonder
zuivel). Geef je antwoord in hele procenten.
Figuur 1 kwam tot stand op basis van een steekproef van 2237 personen.
Ga uit van de volgende aannames:
− de steekproef is aselect en representatief
− de populatie bestaat uit in Nederland wonende personen met een
leeftijd tussen de 1 en 79 jaar
− de gemiddelde voedselconsumptie per persoon is normaal verdeeld
− het bijbehorende 95%-betrouwbaarheidsinterval van het
populatiegemiddelde van de gemiddelde voedselconsumptie per
persoon is 25 gram breed
We kunnen dan de standaardafwijking berekenen die bij de steekproef
hoort.
opgave 3Aantal stemmen per liedje
De Top 2000 is een jaarlijks terugkerend radioprogramma. Mensen
kunnen vooraf stemmen op liedjes. De 2000 populairste liedjes worden
achter elkaar gedraaid. Alleen de aantallen stemmen op het liedje op
positie 1 en het liedje op positie 2000 worden openbaar gemaakt. Men
vermoedt dat de volgende formule een goede schatting geeft voor het
aantal stemmen op een liedje in de ranglijst:
voor
N = 1, 2, 3, …, 2000 (formule 1)
Hierin is:
− N de positie in de ranglijst;
− S het geschatte aantal stemmen op het liedje dat op positie N in de
ranglijst staat;
− E het werkelijke aantal stemmen op het liedje dat op positie 1 in de
ranglijst staat;
− L het werkelijke aantal stemmen op het liedje dat op positie 2000 in de
ranglijst staat.
Met formule 1 kun je een schatting maken van het aantal stemmen op het
liedje dat op positie 1 in de ranglijst staat.
92pRekenen met een gegeven formule 2p
Laat zien dat dit geschatte aantal overeenkomt met het werkelijke aantal
stemmen op dit liedje.
Het liedje met de meeste stemmen komt op positie 1, het liedje dat
daarna de meeste stemmen heeft, komt op positie 2, enzovoort.
Logischerwijs zou dus het geschatte aantal stemmen S op een liedje lager
moeten worden naarmate N groter wordt.
103pRedeneren en uitleggen in de context 3p
Laat met een redenering zien dat formule 1 deze eigenschap heeft.
Voor de Top 2000 van 2006 geldt:
− het liedje op positie 1 had 10 000 stemmen;
− het liedje op positie 2000 had 150 stemmen.
Hiermee kan formule 1 herleid worden tot:
114pFormules herleiden en omwerken 4p
Geef deze herleiding.
Over de Top 2000 van 2006 is meer bekend dan gebruikelijk: er zijn in
totaal 1,5 miljoen stemmen uitgebracht.
123pRekenen met een gegeven formule 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken hoeveel procent van de stemmen in totaal op de top 3 van deze
Top 2000 is uitgebracht volgens formule 2. Geef je antwoord in hele
procenten.
Omdat het aantal stemmen per liedje normaal gesproken niet openbaar
gemaakt wordt, vraagt men zich af wat men bij de Top 2000 doet als een
liedje precies evenveel stemmen krijgt als een ander liedje.
Als we met formule 2 het geschatte aantal stemmen per liedje berekenen
en dat vervolgens afronden op een geheel getal, dan kan het zijn dat er
na afronding liedjes zijn die evenveel stemmen hebben gekregen.
opgave 4Geregistreerde misdrijven
In de onderstaande figuur staat voor Nederland het aantal geregistreerde
misdrijven per duizend inwoners per jaar. Er is ook een uitsplitsing
gemaakt naar verschillende types misdrijven, waaronder
vermogensmisdrijven en geweldsmisdrijven.
figuur
Van 1960 tot 1985 steeg het totaal aantal geregistreerde misdrijven van
13 naar 81 per duizend inwoners. Neem aan dat deze stijging
exponentieel verliep.
144pExponentiële functies en groei 4p
Bereken met deze gegevens het jaarlijkse groeipercentage.
Geef je antwoord in één decimaal.
In 1985 was bijna 80% van het totaal aantal geregistreerde misdrijven een
vermogensmisdrijf.
153pTabellen en grafieken lezen en gebruiken 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Beredeneer met behulp van de figuur, zonder een berekening te maken,
of dit percentage in 2002 hoger of lager was dan in 1985.
Sinds het begin van deze eeuw daalt het totaal aantal geregistreerde
misdrijven, met name door een daling van het aantal geregistreerde
vermogensmisdrijven.
Een voorbeeld van een vermogensmisdrijf is een woninginbraak. Iemand
vermoedt dat er in het begin van deze eeuw bij een kleiner percentage
van de woningen werd ingebroken dan aan het eind van de vorige eeuw.
Om hier zicht op te krijgen is in 2004 in een aselecte steekproef uit de
woningen gekeken bij welk percentage er in dat jaar was ingebroken.
De resultaten kunnen worden vergeleken met die van een aselecte
steekproef uit de woningen in 1998. Zie de tabel.
tabel
De tabel laat zien dat het steekproefpercentage woningen waarbij is
ingebroken in 2004 lager is dan in 1998. We gaan deze gegevens op twee
manieren met elkaar vergelijken.
163pStatistische uitspraken en groepen vergelijken 3p
Onderzoek of het steekproefpercentage uit 2004 in het
95%-betrouwbaarheidsinterval ligt van het populatiepercentage in 1998.
In 2004 is het steekproefpercentage woningen waarbij is ingebroken lager
dan in 1998.
opgave 5De 100 meter
In deze opgave bekijken we een wiskundig model van een sprint over
100 meter hardlopen. In dit model gaan we uit van 2 fases:
− fase I: zo snel mogelijk op topsnelheid komen;
− fase II: de topsnelheid vasthouden tot het einde van de sprint.
Van een bepaalde topatleet staat in figuur 1 de afgelegde afstand A in
meter uitgezet tegen de tijd t in seconden.
figuur 1
Deze atleet legt zijn sprint in 9,9 seconden af. Na 4,0 seconden bereikt hij
zijn topsnelheid; dan heeft hij al 31 meter afgelegd.
Je kunt met deze gegevens zijn topsnelheid berekenen; deze is afgerond
11,7 m/s.
183pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken deze topsnelheid in twee decimalen.
Het eerste deel van de grafiek is (toenemend) stijgend. Je kunt je
afvragen of er sprake is van exponentiële groei.
In de tabel staan een aantal waarden uit fase I van die sprint.
tabel
193pExponentiële functies en groei 3p
Onderzoek met behulp van de tabelwaarden of er sprake kan zijn van
exponentiële groei.
Het verband tussen de aflegde afstand A in meter en de tijd t in seconden
in fase I kan voor de atleet benaderd worden door de formule:
A = 3,8 ⋅ t1,5
De atleet moet in het begin nog op snelheid komen. Hij zal daarom ook
langer doen over de eerste 25 meter dan over de laatste 25 meter van de
100 meter. Bij de laatste 25 meter is hij immers al op topsnelheid.
213pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Rekenen met een gegeven formule 1p
Bereken met behulp van zijn topsnelheid de waarde van k voor deze
atleet.
In de vragen hiervoor is de hele sprint van een topatleet over 100 meter
beschreven. In figuur 2 staan vier globale grafieken (a, b, c, d), waarbij de
snelheid v uitgezet is tegen de tijd t.
figuur 2
Er is één grafiek die het best past bij de sprint van de topatleet.
