opgave 1Sprintsnelheid
Een hardloopster is gespecialiseerd op de 100 meter. Bij dit atletiekonderdeel
moet je zo snel mogelijk je topsnelheid halen en die dan proberen vast te
houden tot de finish.
Haar trainer heeft haar sprint laten onderzoeken met behulp van supersnelle
camera’s.
In figuur 1 is het verband tussen de snelheid en de afgelegde afstand in een
grafiek weergegeven. Je vindt figuur 1 ook op de uitwerkbijlage.
figuur 1
14puitwerkbijlageTeken in figuur 2 op de uitwerkbijlage het toenamediagram dat past bij de
grafiek van figuur 1. Neem als stapgrootte 20 meter.
Op verzoek van de trainer heeft een wiskundige een formule gemaakt die goed
past bij de grafiek in figuur 1. Die formule is:
In deze formule is v de snelheid in kilometer per uur en x de afgelegde afstand
in meter.
In figuur 1 zie je dat de maximale snelheid ongeveer 38 km per uur is en de
snelheid bij de finish ongeveer 28 km per uur.
22pBereken met welke snelheid de hardloopster volgens de formule de finish
passeert. Geef je antwoord in één decimaal.
33pBereken de hoogste snelheid die de hardloopster bereikt volgens de formule.
Geef je antwoord in één decimaal.
In de grafiek zie je dat de snelheid tijdens een gedeelte van de sprint hoger dan
35 km per uur is.
45pBereken met behulp van de formule hoeveel meter de hardloopster aflegt met
een snelheid die hoger is dan 35 km per uur.
opgave 2Huiswerk
Uit onderzoek is gebleken dat leerlingen in de eerste klas van het voortgezet
onderwijs gemiddeld ruim 8 uur per week aan huiswerk besteden. De meeste tijd
besteden zij aan de vakken wiskunde, Engels en Nederlands.
Daarnaast besteden meisjes meer tijd aan huiswerk dan jongens.
De tijd in uren die leerlingen per week aan hun huiswerk besteden, noemen we
de huiswerktijd.
In figuur 2 zijn de resultaten van het onderzoek weergegeven.
figuur 2
huiswerktijd van meisjes
0-<4 4-<6 6-<8 8-<10 10-<12 12-<16
6-<8In figuur 2 kun je bijvoorbeeld zien dat ongeveer 27 procent van de jongens
minstens 6 uur maar minder dan 8 uur per week aan huiswerk besteedt.
53pHoeveel procent van de meisjes besteedt 8 uur of meer per week aan het
huiswerk? Licht je antwoord toe.
De gemiddelde huiswerktijd van de leerlingen in de eerste klas is ruim 8 uur.
Meisjes blijken gemiddeld meer dan 8 uur aan hun huiswerk te besteden. Met
behulp van de klassenmiddens kun je het gemiddelde voor de jongens schatten.
64pToon met behulp van een berekening met de klassenmiddens aan dat de
gemiddelde huiswerktijd van de jongens minder dan 8 uur is.
Docenten vinden dat leerlingen ongeveer 9 uur per week aan hun huiswerk
zouden moeten besteden.
Ga ervan uit dat de huiswerktijd van de meisjes bij benadering normaal verdeeld
is met een gemiddelde van 8,8 uur en een standaardafwijking van 3,2 uur.
73pBereken met deze gegevens hoeveel procent van de meisjes minstens 9 uur per
week aan huiswerk besteedt.
De huiswerktijd van de jongens is bij benadering ook normaal verdeeld. Het
gemiddelde is 7,5 uur. Verder zien we in figuur 2 dat 30 procent van hen minder
dan 6 uur per week aan huiswerk besteedt.
84pBereken met behulp van deze normale verdeling de standaardafwijking van de
huiswerktijd van de jongens.
Men heeft een soortgelijk onderzoek gedaan onder studenten. Daarbij is
gekeken naar de tijd die mannelijke en vrouwelijke studenten thuis aan hun
studie besteden. Het onderzoek wijst uit dat vrouwen per week meer tijd aan
‘huiswerk’ besteden dan mannen. De spreiding in huiswerktijd bij de mannen is
kleiner dan bij de vrouwen. Bij beide is hier bij benadering ook weer sprake van
een normale verdeling.
Vier leerlingen kregen de opdracht om in één figuur van zowel de mannelijke als
de vrouwelijke studenten een verdeling van de tijd aan te geven die de
studenten thuis aan hun studie besteden. Het resultaat van deze opdracht staat
in figuur 3.
figuur 3
Eén van de bovenstaande figuren past het best bij de gegevens over de
studenten.
94pWelke figuur is dat? Licht je antwoord toe.
opgave 4Tientjes
‘Tientjes’ is een gokspel voor twee personen. Eén persoon is de speler, de
ander is de bank.
Er zijn vijf kaarten die aan één zijde met een getal bedrukt zijn: drie met het
getal –10 en twee met het getal +10.
Bij het begin van het spel schudt de bank deze kaarten en legt ze van links naar
rechts naast elkaar op tafel met de getallen naar beneden.
De drie kaarten met het getal –10 en de twee kaarten met het getal +10
kunnen in verschillende volgordes liggen.
143pBereken dit aantal verschillende volgordes.
Het spel gaat als volgt:
De speler kiest één kaart en draait die om.
Voor de afrekening worden de volgende spelregels gebruikt:
− als er –10 op de kaart staat, moet de speler 10 euro betalen aan de bank;
− als er +10 op de kaart staat, ontvangt hij 10 euro van de bank.
De gekozen kaart wordt weggelegd. De speler besluit of hij stopt of doorgaat.
Als hij doorgaat, kiest hij weer een kaart en draait die om. Daarna volgt een
afrekening volgens dezelfde regels als bij de eerste kaart en wordt de gedraaide
kaart weggelegd.
Iedere keer als de speler een kaart heeft omgedraaid en er is afgerekend, kan
hij stoppen of een volgende kaart omdraaien. Er kunnen natuurlijk hoogstens
vijf kaarten omgedraaid worden.
Speler Renske heeft de volgende strategie:
− Ze stopt met omdraaien als ze in het spel voor de tweede keer een kaart
met –10 heeft omgedraaid. Dan weet ze namelijk zeker dat ze niet meer met
winst kan eindigen.
− Ze stopt ook als ze voor de tweede keer een kaart met +10 heeft
omgedraaid. Daarna kan haar winst immers alleen maar kleiner worden.
Zij heeft alle mogelijkheden van haar strategie op een kladblaadje voor zich
liggen. Op dat blaadje heeft ze bij elk mogelijk spelverloop opgeschreven wat
het eindresultaat is als ze stopt. Zo betekent eindresultaat +10 een winst van
10 euro en eindresultaat –20 houdt in dat Renske 20 euro heeft verloren. Zie
figuur 6. In deze figuur zijn ook enkele kansen gegeven. Figuur 6 staat ook op
de uitwerkbijlage.
figuur 6
In tabel 1 staat een onvolledige kansverdeling van de eindresultaten.
tabel 1
In deze tabel staat dat de kans op eindresultaat
–10 gelijk is aan
.
154puitwerkbijlageToon dit aan. Je mag hierbij de figuur op de uitwerkbijlage gebruiken.
163pToon met behulp van de verwachtingswaarde aan dat Renske met haar strategie
per spel gemiddeld 6 euro zal verliezen.
Marlies heeft een andere strategie dan Renske. Nadat Marlies een kaart heeft
omgedraaid, draait ze alleen een volgende kaart om als ze op verlies staat. Ook
zij heeft een blaadje voor zich liggen. Zie figuur 7. Ook deze figuur staat op de
uitwerkbijlage.
figuur 7
We vergelijken de strategie van Marlies met die van Renske. We weten dat
Renske naar verwachting 6 euro per spel verliest. Om te onderzoeken of de
strategie van Marlies beter is, kunnen we kijken of bij Marlies de
verwachtingswaarde van het eindresultaat per spel hoger is.
176puitwerkbijlageOnderzoek of de strategie van Marlies beter is. Je mag voor het berekenen van
de kansen de figuur op de uitwerkbijlage gebruiken.
opgave 5Kookpunthoogtemeter
Voor bergbeklimmers is het belangrijk te weten op welke hoogte ze zich
bevinden. Daarvoor gebruiken ze tegenwoordig hoogtemeters die de hoogte met
behulp van de luchtdruk meten. Immers, hoe hoger je komt, hoe lager de
luchtdruk.
Toen Francisco José de Caldas in 1791 het Andesgebergte overstak, was er
geen hoogtemeter. Hij bedacht er zelf een: hij kookte water in een pannetje en
mat de temperatuur op het moment dat het water begon te borrelen en kwam op
die manier de hoogte te weten.
Op zeeniveau (op 0 meter hoogte) is de luchtdruk 1013 millibar en kookt water
bij 100 °C. Kom je hoger, dan daalt de luchtdruk, maar gaat ook het kookpunt
(de temperatuur waarbij water begint te borrelen) van water omlaag. Zo kookt
water op de top van de Mount Everest (8850 meter) al rond de 70 °C. Het
kookpunt van water is dus een maat voor de hoogte.
In figuur 8 zie je hoe de hoogte H, de luchtdruk P en het kookpunt T met elkaar
samenhangen. De drie schaalverdelingen zijn lineair. Figuur 8 staat ook op de
uitwerkbijlage.
figuur 8
In figuur 8 is punt K getekend: bij een hoogte van 1530 meter is de luchtdruk
845 millibar en het kookpunt 95 °C. Ook punt N is getekend (H = 0 meter,
P = 1013 millibar en T = 100 °C).
Thijs is op vakantie in de Duitse Eifel. Hij wil met de methode van De Caldas
weten op welke hoogte hij zit. Hij kookt water en meet de temperatuur. Het water
kookt bij 98,1 °C.
183puitwerkbijlageOp welke hoogte zit Thijs? Geef in de figuur op de uitwerkbijlage aan hoe je aan
je antwoord bent gekomen.
Tot 2 km hoogte gebruiken bergbeklimmers verschillende vuistregels.
Een vuistregel voor het verband tussen hoogte en luchtdruk is:
193pOnderzoek of deze vuistregel in overeenstemming is met figuur 8.
Met behulp van figuur 8 kun je ook een vuistregel maken voor het verband
tussen de hoogte en het kookpunt. Ook deze begint met: bij elke stijging van
100 meter …
203pGeef deze vuistregel. Licht je werkwijze toe.
In figuur 8 is duidelijk te zien dat er (tot een hoogte van 2 km) sprake is van een
lineair verband tussen het kookpunt T en de luchtdruk P.
215pStel een formule op voor dit verband. Gebruik daarbij de punten K en N.
Het lineaire model dat hierboven gebruikt werd, is maar een benadering. In
werkelijkheid is het verband tussen de luchtdruk en de hoogte exponentieel.
Het is bekend dat boven op de Mount Everest (8850 meter) de luchtdruk nog
maar een derde is van de luchtdruk op zeeniveau, dus zo’n 340 millibar. De
eerder genoemde vuistregel geldt niet voor zulke grote hoogtes.
De exponentiële afname van de luchtdruk kunnen we beschrijven met de
formule:
P = 1013 ⋅ 0,988h
Hierin is P de luchtdruk in millibar en h de hoogte in honderden meters.
Tot een hoogte van 2 km gebruikt men vaak voor het gemak, zoals ook uit de
vuistregel bij vraag 19 blijkt, een lineair verband tussen de luchtdruk en de
hoogte. Dit lineaire model wijkt dan niet veel af van het werkelijke exponentiële
model. In punt K is volgens het lineaire model de luchtdruk 845 millibar.
223pBereken hoeveel procent die 845 afwijkt van de waarde in het punt K volgens de
exponentiële formule.
